第十三节二维随机变量函数的分布 z=X+Y的分布 ■平方和的分布 M=max(X,及N=mn(X,刀的分布
第十三节 二维随机变量函数的分布 的分布 平方和的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 Z X Y = +
我们讨论了一维随机变量函数的分布 ,现在我们进一步讨论: 当二维随机变量(X,Y的联合分布已知时 如何求出它们的函数 z=g(X,Y) 的分布?
我们讨论了一维随机变量函数的分布 ，现在我们进一步讨论: 当二维随机变量 (X, Y) 的联合分布已知时 ，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?
一、Z=X+Y的分布 例1已知(X,Y)的联合概率函数 rYO 求z=X+Y的概率分布 -11/101/203/20 解:Z=X+Y的所有可能取值为: 23/1004/10 1,0,2,3,5. P区z=-}=P{X+￥=-1}=P{X=-1,=0}=10 P∠Z=0}=P{X+￥=0}=P{X=-1,F=1}=1/20 P=2=P{+￥-2}=P{X=-1,F=3}+PX=2,F=0}=3/20+3/10 Pz=3}=P{X+￥=3}=P{X=2,F=1}=0 Pz=5}=PX+Y=5}=PX=2,=3}=4/10 3 p(z)1/101/209/2004/10
例1．已知（X, Y ) 的联合概率函数 -1, 0, 2, 3, 5, 求Z = X+Y的概率分布. 解： Z = X + Y 的所有可能取值为： P{Z= -1} P{Z= 0}=P{X+Y=0}=P{X= -1,Y=1}=1/20 P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1,Y=3}+P{X=2,Y=0}= 3/20+3/10 p(z) 1/10 1/20 9/20 0 4/10 Z -1 0 2 3 5 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10 -1 2 0 1 3 X Y 一、 的分布 P{Z= 3}=P{X+Y=3}=P{X= 2,Y=1}= 0 P{Z= 5}=P{X+Y=5}=P{X=2,Y=3}= 4/10 =P{X+Y= -1}=P{X= -1,Y=0}=1/10
例2设随机变量x与X2相互独立,分别服从二项分布 B(n1,p)和B(m2,p),求Y=X1+X2的概率分布 解F=X1+X2的可能取值为0,1,2,,n1+ PAY=k)=P(X,+X2=k=>P(X,=kr,X2=k-k3 ∑P{X1=k}P{X2=k-k}=∑Cp(1-p)Cp(1-P) k1=0 ∑-ACp(-p)k由∑CC的 AU P(X+X2=kCK.p (1-p)ti2- 所以F=X1+X2服从二项分布B(m1+m2y)
例2设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布 B(n1 ,p)和B(n2 ,p)，求Y=X1+X2的概率分布. 解 Y=X1+X2的可能取值为0,1,2,...,n1+n2, 1 2 P X X k { } + = = 由 得 k k n n k Cn n p p + − = + − 1 2 1 2 (1 ) 1 2 P X X k { } + = 所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2 ,p) 1 1 1 2 1 0 { , } k k P X k X k k = = = − 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 0 (1 ) (1 ) k k k n k k k k k n k k n n k C p p C p p − − − − + = = − − 1 1 1 2 1 2 1 0 (1 ) k k k k n n k k n n k C C p p − + − = = − 1 1 1 2 1 2 1 0 k k k k k n n n n k C C C − + = = P Y k { } = = 1 1 1 2 1 0 { } { } k k P X k P X k k = = = = −
例3若X和Y相互独立,它们分别服从参数为1,2 的泊松分布,求Z=X+的概率分布 解z的可能取值为0,1,2,, A1 PX=ij i=0,1,2 e Pr=j j=0,1,2, 于是PZ=n=∑PX=1,y=r- i=0
解 例3 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 求Z=X+Y的概率分布 于是 i = 0 , 1 , 2 , … j = 0 , 1 , 2 , … 1 1 { } ! i e P X i i − = = 2 2 { } ! j e P Y j j − = = 1 2 λ , λ Z的可能取值为0,1,2
P区Z=r=∑P{X=1,=r-1 ∑Px=BPY=r-B=∑ee r (41+2) rI 1r-1 (1+2) r!台i(r-) (41+2) 0,1 即Z服从参数为1+λ2的泊松分布
r = 0 , 1 , … 即 Z服从参数为 的泊松分布
若X与相互独立,X~B(n1y),F~B(n2,p), 则X+Y~B(n1+n2yp) 同一个p,对 有可加性 二项分布的可加性。 类似可得: 若X,Y相互独立,X~P(Oλ1),Y-P(λ2), 则X+Y~P(λ1+2) 对参数入有 可加性 Possion分布的可加性
类似可得: 若X,Y相互独立,X~P(λ1 ),Y~P(λ2 ), 则 X+Y~P(λ1+λ2 ) Possion分布的可加性 若X与Y相互独立，X～B(n1 ,p)，Y～B(n２,p)， 则 X+Y～B(n1+n2 ,p) 即: 二项分布的可加性 同一个p,对 n有可加性 对参数λ有 可加性
例4设(X,Y的联合概率密度为∫(xy),求 z=XY的概率密度 解z=X+Y的分布函数是: F P{X+Y≤z f(x, y)dxdy r+y=z 这里积分区域D={(x,y):x+ysa} 它是直线x+=及其左下方的半平面
例4 设(X,Y)的联合概率密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. = D f (x, y)dxdy 这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 解 Z=X+Y的分布函数是: F z P Z z Z ( ) = = + P X Y z 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面. x y z + =x y 0
Fz(z)=‖f(x,y)xy x+v<z 化成累次积分得 F2(z) f(x,y)dx]小y rty=z 由概率密度与分布函数的关系,即得z=X+Y的概率 密度为: TOC f (z)=F(z)=f(z-y,y)dy
化成累次积分,得 + = x y z FZ (z) f (x, y)dxdy ( ) [ ( , ) ] z y F z f x y dx dy Z + − − − = x y z + =x y 0 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
f()=F2(z)=f(x-y,y) 由X和Y的对称性,/z(x)又可写成 f2(2)=F()=f(x,z-x) 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式