延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第二章 随机变量及其分布 2.8 随机变量函数的分布

第八节随机变量函数的分布 随机变量的函数 ■离散随机变量函数的分布 ■连续随机变量函数的分布

第八节 随机变量函数的分布 随机变量的函数 离散随机变量函数的分布 连续随机变量函数的分布

、随机变量的函数 定义1设g(x)是一个定义在随机变量X的一切可能 值κ的集合上的函数,当随机变量X取值c时,随机 变量Y取值νg(x,则称随机变量Y是随机变量X的函 数记作Y=g(X 如Y=X2

一、随机变量的函数 设g(x)是一个定义在随机变量X的一切可能 值x的集合上的函数，当随机变量X取值x时，随机 变量Y取值y=g(x),则称随机变量Y是随机变量X的函 数,记作Y=g(X) 定义1 如 Y=X2

设随机变量X的分布已知,Yg(X)(设 g是连续函数),如何由X的分布求出Y的 分布? 下面进行讨论

设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设 g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的 分布？ 下面进行讨论

、离散随机变量函数的分布 如X的概率函数为 0.30.60.1 则F=X2的概率函数为: Y01 pV0.604

则 Y=X2 的概率函数为： 如X 的概率函数为 0.1 1 0.3 0.6 X −1 0 ( )i p x 0 6 0 4 0 1 . . Y ( )j p y 二、离散随机变量函数的分布

例1设X的概率函数为X 12 5 0.20.50.3 求F=2X+3的概率函数 解:Y的所有可能取值5,7,13, 故y的概率函数为:Y5713 (y)020.50.3

解：Y 的所有可能取值 5，7，13， 例1 设X的概率函数为 求 Y= 2X + 3 的概率函数. 故 0.3 5 0.2 0.5 X 1 2 ( ) p xi Y 的概率函数为： 0.3 13 0.2 0.5 Y 5 7 ( )j p y

例2已知X的概率分布为以、1x=12, r 求Y=nX的概率分布 x =2k- 解因为sin 3丌 2k兀--,k=1,2,3, 2 x 0 k x=4k-1 x=4-3k=1.2.3.… x=2k

例2 已知X 的概率分布为 ( ) = , x = 1,2, 2 1 p x x 解 求 的概率分布      = X 2 Y sin  1, 2 - 2 2 3 sin 1, 2 - , 1,2,3, 2 2 2 0, 2  − =        = = =      =   x k x x k k x k          因为 1 4 -1 1 4 - 3 1,2,3, 0 2 − =  = = =    = x k x k k x k

例2已知x的概率分布为(x)=2,X=12 求Y=sinX)的概率分布 x=4k-1 解 x SIn x=4-3k=1.2.3 0 x=2k 所以Y=sin4X只有三个可能取值:11

例2 已知X 的概率分布为 ( ) = , x = 1,2, 2 1 p x x 解 求 的概率分布      = X 2 Y sin  X -1，0，1 2 所 以Y sin 只有三个可能取值：      =  1 4 -1 sin 1 4 - 3 1,2,3, 2 0 2 − =      = = =      = x k x x k k x k 

例2已知x的概率分布为(x)=2,X=12 求Y=sinX)的概率分布 x=4k-1 解 x SIn x=4-3k=1.2.3 0 x=2k P{=0P∑x=2=2PX=2 2 2k k=1 k: 13

例2 已知X 的概率分布为 ( ) = , x = 1,2, 2 1 p x x 解 求 的概率分布      = X 2 Y sin  P Y{ 0} = 1 { 2 } k P X k  =   = =        = = k 1 2k 2 1 3 1 4 1 4 1 =       − = 1 1 { 2 } k P X k  = = =  1 4 -1 sin 1 4 - 3 1,2,3, 2 0 2 − =      = = =      = x k x x k k x k 

例2已知X的概率分布为p(x)=,x=1,2, 求Y=sin“X的概率分布 x=4k-1 解 x SIn x=4-3k=1.2.3 0 x=2k Py=1∑x=4k-3y∑ 8 2 4-3 115 16

例2 已知X 的概率分布为 ( ) = , x = 1,2, 2 1 p x x 解 求 的概率分布      = X 2 Y sin  P Y{ 1} = 1 { 4k 3} k P X  =   = = −        = = k 1 4k-3 2 1 15 8 16 1 2 1 =       − = 1 1 4 -1 sin 1 4 - 3 1,2,3, 2 0 2 − =      = = =      = x k x x k k x k 

例2已知X的概率分布为p(x)=,x=1, 2, x 求Y=sinX的概率分布 x=4k-1 x SIn x=4-3k=1.2.3 0 x=2k =-1}=P∑X=4k-1 4k-1 k=1 115 k=I 16

例2 已知X 的概率分布为 ( ) = , x = 1,2, 2 1 p x x 解 求 的概率分布      = X 2 Y sin  P Y{ 1} = − 1 { 4k 1} k P X  =   = = −        = = k 1 4k-1 2 1 15 2 16 1 8 1 =       − = 1 1 4 -1 sin 1 4 - 3 1,2,3, 2 0 2 − =      = = =      = x k x x k k x k 