第五节随机变量的分布函数 ˇ随机变量分布函数的定义 分布函数的性质 离散随机变量的分布函数
第五节 随机变量的分布函数 ✓随机变量分布函数的定义 ✓分布函数的性质 ✓离散随机变量的分布函数
、分布函数的定义 设X是一个随机变量,称 F(x)=P{X≤x}(-∞<x<+∞) 为X的概率分布函数或分布函数,记作F(x) 分布函数是一个普通的函数, 正是通过它,我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量
一、分布函数的定义 设 X 是一个 随机变量，称 F x P X x ( ) { } = (− x +) 为 X 的概率分布函数或分布函数 , 记作F(x) . 分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量
请注意: F(x)=P{X≤x},-0<x<0 (1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是自变量. (2)F(x)是随机变量X取值不大于x的概率 (3)对X—一任何随机变量都有分布函数
(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是自变量. (2) F(x) 是随机变量 X取值不大于 x 的概率. 请注意 : (3) 对 X ——任何随机变量都有分布函数
F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞ 重要公式 1)P{x<X≤x1}=F(x)=F(x1), 证明因为{X≤x2}={X≤x}+{x1<X≤x2} {X≤x∩{x1<X≤x2}= 所以P{X≤x2}=P{X≤x1}+P{x1<X≤x2} PIxsxsx2-PX<x23-Pix<x13= F(x2)-F(x)
重要公式 证明 2 1 1 2 因为 { } { } { }, X x X x x X x = + 1 1 2 { } { } , X x x X x = 2 1 1 2 所以 P X x P X x P x X x { } { } { }, = + P{ x1<X x2 } =P{ X x 2 } – P{ X x 1 }= F(x2 )-F(x1 )
F(x)=P{X≤x},-∞a}=1-F(a) 证明P{X>a}=1-P{Xsa}=1-F(a
重要公式 证明
二、分布函数的性质 (1)单调性 F(x)在(-∞,+∞)上是一个单调不减函数 即对Vx1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,都有 (x1)≤F(x2); FG2-F(=P(, <X<x 20
二、分布函数的性质 F x( ) 在(− + , , ) 上是一个单调不减函数 (1)单调性 ( ) ( ) ( ); , , , 1 2 1 2 1 2 F x F x x x x x 即 对 − + 且 都 有
二、分布函数的性质 (2)F(-∞)=IimF(x)=imPX≤x}=0 F(+∞)=limF(x)=imPX≤x}=1 x→+0
二、分布函数的性质 (2) F( ) − = lim ( ) x F x →− lim ( ) x F x →+ F( ) + = = 0 = 1 x lim { } P X x →− = x lim { } P X x →+ =
三、离散随机变量的分布函数 例1设随机变量X的概率函数为 X|012 p(x13161/2 求X的分布函数F(x) 解 F(x)=PX≤x 当x<0时,F(x)=P{X≤x}=0 当0sx<1时,F(x)=PX≤x}=P{X=0}= 3
当 x<0 时， 例1 设 随机变量 X 的概率函数为 当0≤x < 1时， 解 F(x) = P{X x} X p x( ) 0 1 2 1 3 1 6 1 2 求 X 的分布函数 F (x) . 0 x x x 1 2 = P{X=0} 3 1 = F(x) = P{X≤ x}=0 F(x) = P{X≤ x} 三、离散随机变量的分布函数
当1x<2时,F(x)=P区Yx=P{X=0}+PX=1} 2 当x≥2时,F(x)=P{￥x =P{X=0}+PX=1}+P{X=21 y<0 0<X< 故F(x)=3 1≤x< x≥2 x 2x
当1≤x < 2时， 0 x 1 x 2 = P{X=0}+P{X=1} 2 1 F(x) = P{X≤ x} = 当x ≥ 2时， = P{X=0}+P{X=1} +P{X=2} = 1 F(x) = P{X≤ x} x 故 = 1, 2 , 1 2 2 1 , 0 1 3 1 0, 0 ( ) x x x x F x
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