延安大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（经管类）第四章 几种重要的分布

第四章几种重要的分布 4.1二项分布 4.2超几何分布 4.3普哇松分布 4.4指数分布 4.5-分布 4.6正态分布

第四章几种重要的分布 4.1 二项分布 4.2 超几何分布 4.3 普哇松分布 4.4 指数分布 4.5 Γ-分布 4.6 正态分布

4.1二项分布 (一)随机变量ξ的分布律 贝努里( Berno11i)概型与二项分布 1.(0-1)分布(26) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数,则称 X服从(0-1)分布(两点分布) X~PX=k}=pk(1-p)1-k,(0<p<1)k=0,1 或 X10 k p 1-p

贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布(p26) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称 X服从(0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 或 X 1 0 k p p 1 p 4.1二项分布 （一）随机变量ξ的分布律

2(024)定义设将试验独立重复进行m次,每次 试验中,事件发生的概率均为p,则称这m试 验为重重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为 P5=}=Cmp(1-p) ,(k=0,1,…,n)(1.16 (P79)定义4.1如果随机变量ξ有概率函数, P=P{5=k}=Cnmq,(k=0,1,…,m)(4.1) 其中0<P<1,q=1-p, 则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作E~B(n,p)

(P79)定义４.1 如果随机变量ξ有概率函数， 2.(p24)定义 设将试验独立重复进行n次，每次 试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试 验为n重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为 { } (1 ) , ( 0,1,..., ) (1.16) k k n k n P k p p k n  C      则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作ξ~B（n,p) P = { } q , ( 0,1,..., ) (4.1) k k k n k n P k p k n  C     其中0<P<1,q=1-p

P{ξ=k}的值恰妤是二项式(q+px)η展开式中第 k+1项xk的系数。 点的分布函数为:F(x)∑CPq(42) 事件A至多出现m次的概率是 P0≤5≤m}=∑Ch kpk n-k k=0 事件A出现次数不小于不大于的概率是 P{1≤5m}=∑CPq

事件Ａ至多出现m次的概率是 m k k n-k n k=0 P{0 m}= C P q     事件Ａ出现次数不小于 不大于 的概率是 m k k n-k n k=l P{l m}= C P q     k k n-k n k F( )= C P q (4.2) x x  ξ的分布函数为:  P{ξ=k}的值恰好是二项式（q+px)n展开式中第 k+1项x k的系数

例从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交 通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是 1/3. (1)设ξ为汽车行驶途中遇到的红灯数,求ξ的分布律 (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 解:(1)由题意,ξB(6,1/3),于是,ξ的分 布律为: P{5=k}=C6 k=0.1..6 3(3 (2)P{5≥5}=P{=5}+P{=6} c()(3+() 13 729

例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交 通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是 1/3. (1)设ξ为汽车行驶途中遇到的红灯数,求ξ的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 解:(1)由题意,ξ~B(6,1/3),于是,ξ的分 布律为: 6 6 1 2 { } 0,1,...,6 3 3 k k k P k C k                  (2) { 5} { 5} { 6} P P P         5 6 5 6 1 2 1 13 3 3 3 729 C                     

例1某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4 求最近6天内用水量正常的天数的分布 解设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从 二项分布,~B(60.75) 用公式(4.1)计算其概率值,得到 P{=k}=C(0.75)(1-075)k=0.12…6 P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780

例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4， 求最近６天内用水量正常的天数的分布。 解 设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从 二项分布，ξ～B(6 0.75) 用公式（4.1）计算其概率值，得到： P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780 0 1 2 3 4 5 6 k k 6 k P{ =k}=C (0.75) (1 0.75) k=0,1, ,6 6    

例210部机器各自独立工作,因修理调整等原因, 每部机器停车的概率为02,求同时停车数目ξ的分布 解:ξ服从二项分布,E~B(100.2) 可用贝努里公式计算pk 现将计算结果列成分布表如下 P{=k}=C(02)(1-0.2)0kk=0,…,10 012345678910 p0.1110270300.200090030.010000000.000.00

例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布 解：ξ服从二项分布，ξ～B(10 0.2) 可用贝努里公式计算p k 。 现将计算结果列成分布表如下: p 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k k 10 k P{ =k}=C (0.2) (1 0.2) k=0,1, ,10 10    

例3一批产品的废品率p=0.03,进行20次重复抽样 (有放回抽取),求出现废品的频率为0.1的概率 解令ξ表示20次重复抽取中废品出现的次数, 它服从二项分布。~B(200.03) P5=0.1}=P(5=2)=C 20 20×0.032×0.978≈0.0988

例３ 一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样 （有放回抽取），求出现废品的频率为０.１的概率。 解 令ξ表示2０次重复抽取中废品出现的次数， 它服从二项分布。ξ～B(20 0.03) 2 2 18 P =0.1 =P( =2)=C 0.03 0.97 0.0988 20 20           

(二)二项分布的期望和方差二项分布B(n,p) P{=k}=Cp(1-p)”kk=0.1,n E()=∑k n! p"(1-p) k=6k!(n-k)! k(k-1)(n-k) (n-1) p p2=(1-p))k k(k-1)(n-k) 令1=k-1m∑CnP(-p)=mp

（二）二项分布的期望和方差 二项分布B(n, p) { } (1 ) 0.1,... k k n k P k C p p k n n       0 ! ( ) (1 ) !( )! n k n k k n E k p p k n k        1 ! (1 ) ( 1)!( )! n k n k k n p p k n k        1 ( 1) ( 1) 1 ( 1)! (1 ) ( 1)!( )! n k n k k n np p p k n k             np 1 1 1 0 1 (1 ) n l l n l n l l k np C p p      令    

二项分布B(n,p):E()=np P{=k}=C6p(1-p)”k=0.1,n E(2)=∑k p(1-p)”k k-=o k!(n-k) kn! k-i(k-1ln-h)ip(-p)k (k-1+1)n! n-k (k-1)(n-6) (1-p)

二项分布B(n, p)： E np ( )   { } (1 ) 0.1,... k k n k P k C p p k n n       2 2 0 ! ( ) (1 ) !( )! n k n k k n E k p p k n k        1 ! (1 ) ( 1)!( )! n k n k k kn p p k n k        1 ( 1 1) ! (1 ) ( 1)!( )! n k n k k k n p p k n k         