习题十 1.某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径Ⅹ服从正态分布N02),从 某天生产的产品中随机抽取6个,量得直径如下(单位:mm): 14.7,150,14.9,14.8,152,15.1,求μ的09双侧置信区间和0.99双侧置信区间。 解由于=02已知,所以选用n的1-a置信区间x-n:,+ 当1-a=09,查表得n==14,当1-a=09,查表得n=0=2576 x=14.95,n=6, 代入数据得的双侧09置信区间观测值为1495-164.021495+164.02|,即为 4.82.15 n的双侧09置信区间观测值为1495-23760249+2537.2,即为4x31 2.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布Na),o未知。为了合理的 确定对该商品的进货量,需对μ和σ作估计,为此随机抽取七个月,其销售量分别为: 64,57,49,81,76,70,59,试求a的双侧095置信区间和方差a2的双侧09置信 区间。 解由于u和a都未知,故n的1-a双侧置信区间为 x-12(-)==,X+12(m-1) a2的1-a双侧置信区间为 x2(n-1)z2(n-1) 代入数据得 x=65.14,s2=10841,s=1125,lo96)=245,n=7,x35(6)zaos(6)=1635 的09双侧置信区间观测值为6H-2422H+2即为列 的09双侧置信区间观测值为「841,7841,即为6034614
习题十 1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径 X 服从正态分布 ( ) 2 ,0.2 ，从 某 天 生 产 的 产 品 中 随 机 抽 取 6 个 ， 量 得 直 径 如 下 （ 单 位 ： mm ）： 14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求 的 0.9 双侧置信区间和 0.99 双侧置信区间。 解 由于 2 2 = 0.2 已知，所以选用 的 1− 置信区间 − + − − n X u n X u 2 2 1 1 , 。 当 1− = 0.9 ， 查 表得 0.95 1.64 1 2 = = − u u ， 当 1− = 0.99 ， 查 表得 0.995 2.576 1 2 = = − u u 。 x =14.95,n = 6, 代入数据得 的双侧 0.9 置信区间观测值为 − + 6 0.2 ,14.95 1.64 6 0.2 14.95 1.64 ，即为 14.82,15.08。 的双侧 0.99 置信区间观测值为 − + 6 0.2 ,14.95 2.576 6 0.2 14.95 2.576 ，即为 14.74,15.16。 2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布 ( ) 2 , ， 未知。为了合理的 确定对该商品的进货量，需对 和 作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为： 64，57，49，81，76，70，59，试求 的双侧 0.95 置信区间和方差 2 的双侧 0.9 置信 区间。 解 由于 和 都未知，故 的 1− 双侧置信区间为 ( ) ( ) − − + − − − n S X t n n S X t n * 1 * 1 1 , 1 2 2 ， 2 的 1− 双侧置信区间为 ( ) ( ) − − − 1 , 1 2 2 2 1 2 2 2 n nS n nS ， 代入数据得 65.14, 108.41, 11.25, (6) 2.45, 7, (6) (6) 1.635 2 0.05 2 0.975 0.95 2 * x = s = s = t = n = = ， 的0.95 双侧置信区间观测值为 − + 7 11.25 ,65.14 2.45 7 11.25 65.14 2.45 ，即为 54.74,75.54。 2 的 0.9 双侧置信区间观测值为 1.635 7 108.41 , 12.592 7 108.41 ，即为60.3,464.14
3.随机地取某种子弹9发作试验,测得子弹速度的s‘=11,设子弹速度服从正态 分布No2),求这种子弹速度的标准差o和方差a2的双侧0.95置信区间。 解由于未知,故σ的双侧置信区间为y1小,代入数据得 σ的095双侧置信区间观测值为3×.31,即为5204031故的095 双侧置信区间观测值为520,、44037,即为743107 4.已知某炼铁厂的铁水含碳量(1%)正常情况下服从正态分布No3),且标准 差σ=0108。现测量五炉铁水,其含碳量分别是:4.28,444444.354.37(1%),试求 未知参数的单侧置信水平为095的置信下限和置信上限。 解由于口=0108已知,故n的1-a单侧置信下限为x-4的1a单侧置信 上限为x+1-·,代入数据得x=4361(%002=165,n=5,故的095单侧置信下限观 测值为4364-1645.008=4285,的095单侧置信上限观测值为4364+1645.0108=443 5.某单位职工每天的医疗费服从正态分布Nua2),现抽查了25天,得x=170元, 30元,求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间 解由于。2未知,故的1-a双侧置信区间为 S分 ,代入数据得 x=170,s=30n=25,log3(24)=20639,故μ的0.95双侧置信区间观测值为 170-2063910+2.063930 即为 5741826|。 6.某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并 假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质 量κ=501g,已知其总体标准差σ=5g8;从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量 =498g8,已知其总体标准差σ2=4g,求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值 差A1-2的双侧0.99置信区间。 解由于a1=5g02=4g已知,故1-m2的1-a的双侧置信区间为
3. 随机地取某种子弹 9 发作试验，测得子弹速度的 11 * s = ，设子弹速度服从正态 分布 ( ) 2 , ，求这种子弹速度的标准差 和方差 2 的双侧 0.95 置信区间。 解 由于 未知，故 2 的双侧置信区间为 ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − 1 1 , 1 1 2 *2 2 1 *2 2 2 n n S n n S ，代入数据得 9, 121, (8) 17.535, (8) 2.18 2 0.025 2 0.975 *2 n = S = = = ， 2 的 0.95 双侧置信区间观测值为 2.18 8 121 , 17.535 8 121 ，即为 55.204,444.037 。故 的 0.95 双侧置信区间观测值为 55.204, 444.037 ，即为 7.43,21.07。 4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布 ( ) 2 , ，且标准 差 = 0.108 。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求 未知参数 的单侧置信水平为 0.95 的置信下限和置信上限。 解 由于 = 0.108 已知，故 的 1− 单侧置信下限为 n X u − 1− ， 的 1− 单侧置信 上限为 n X u + 1− ，代入数据得 x = 4.364(%),u0.95 =1.645, n = 5 ，故 的 0.95 单侧置信下限观 测值为 4.285 5 0.108 4.364 −1.645 = ， 的 0.95 单侧置信上限观测值为 4.443 5 0.108 4.364 +1.645 = 。 5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布 ( ) 2 , ，现抽查了 25 天，得 x =170 元， 30 * s = 元，求职工每天医疗费均值 的双侧 0.95 置信区间。 解 由于 2 未知，故 的 1− 双侧置信区间为 − + − − n S X t n S X t * 1 * 1 2 2 , ，代入数据得 170, 30, 25, 0.975 (24) 2.0639 * x = s = n = t = ， 故 的 0.95 双 侧 置 信 区 间 观 测 值 为 − + 24 30 ,170 2.0639 24 30 170 2.0639 ，即为 157.4,182.6。 6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并 假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取 10 只管头测得其平均质 量 x = 501g ，已知其总体标准差 1 = 5g ；从乙生产线抽取 20 只罐头测得其平均质量 y = 498g ，已知其总体标准差 2 = 4g ，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值 差 1 − 2 的双侧 0.99 置信区间。 解 由于 1 = 5g, 2 = 4g 已知，故 1 − 2 的 1− 的双侧置信区间为
02 02 Y+u 代入数据得x=501,j=498.m=10,n=20,o2=2502=16.no5=2576,故-n2的0.99双侧 置信区间观测值为501-498=2.51D+56501-498925612071,即为168768} 7.为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命Ⅹ和Y,随机的抽取甲、乙两种显像 管各10只,得数据x…,x0和y…,y0(单位:10+h),且由此算得x=2.3,y=075, ∑(x1-x)2=275Σy-y)2=192,假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布,且由生产 过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差-2的双侧095置信区间。 解由于2=a2=a2未知,故A1-n2的1-a双侧置信区间为 X--14m+n-2)S 2)S m n 其中S2=- m+n-2 (x,-对)--F) 代入数据得x=233=075m=10=n,sn=1611008)=2100,故m1-n2的095双侧置 信区间观测值为 233-075-2.1009×1611+,2.33-075+2.1009×1Nx10 1010 即为0063094] 8.在3091个男生,3581个女生组成的总体中,随机不放回地抽取100人,观察 其中男生的成数,要求计算样本中男生成数的SE。 解由于样本大小n=100相对于总体容量N=672来说很小,因此可使用有放回抽 样的公式 样本成数x=10×0301。46,估计a=√46×5450,标准差SE的估计为s=50=5 9.抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数, 样本中有543人拥有私人汽车,(1)求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE;(2) 求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间 解 543 ×100=543(%)G=√543×457≈49.8 1000
− − + − + + − − m n X Y u m n X Y u 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 , 代入数据得 501, 498, 10, 20, 25, 16, 0.995 2.576 2 2 2 x = y = m = n = 1 = = u = ，故 1 − 2 的 0.99 双侧 置信区间观测值为 − − + − + + 20 16 10 25 ,501 498 2.576 20 16 10 25 501 498 2.576 ，即为 −1.68,7.68。 7. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命 X 和 Y，随机的抽取甲、乙两种显像 管各 10 只，得数据 1 10 x , , x 和 1 10 y , , y （单位： h 4 10 ），且由此算得 x = 2.33, y = 0.75 ， ( ) 27.5, ( ) 19.2 10 1 2 10 1 2 − = − = = i= i i i x x y y ，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产 过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差 1 − 2 的双侧 0.95 置信区间。 解 由于 2 2 2 2 1 = = 未知，故 1 − 2 的 1− 双侧置信区间为 ( ) ( ) − − + − + − + + − + − − m n X Y t m n S m n X Y t m n Sw w 1 1 , 2 1 1 2 2 2 1 1 其中 ( ) ( ) − − − + − = = = n i i m i w Xi X Y Y m n S 1 2 1 2 2 2 1 ， 代入数据得 x = 2.33, y = 0.75,m =10 = n,sw =1.611,t 0.975 (18) = 2.1009 ，故 1 − 2 的 0.95 双侧置 信区间观测值为 − − + − + + 10 1 10 1 ,2.33 0.75 2.1009 1.611 10 1 10 1 2.33 0.75 2.1009 1.611 , 即为 0.066,3.094。 8. 在 3091 个男生，3581 个女生组成的总体中，随机不放回地抽取 100 人，观察 其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的 SE。 解 由于样本大小 n =100 相对于总体容量 N = 6672 来说很小，因此可使用有放回抽 样的公式。 样本成数 46 6672 3091 x =100 ，估计 ˆ = 4654 50 ，标准差 SE 的估计为 5 100 50 SEˆ = = 。 9. 抽取 1000 人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数， 样本中有 543 人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的 SE；（2） 求总体中拥有私人汽车的人的百分数的 95%的置信区间。 解 100 54.3(%), ˆ 54.3 45.7 49.8 1000 543 x = = =
故SE x1.575,41gSE=097s×1575=3087, 所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为(51.21357387)
故 1.575 3.087 ˆ 1.575, 1000 498 ˆ 1 0.975 2 = = = − SE u SE u ， 所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的 95%的置信区间观测值为 (51.213,57.387)