2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学(三试卷 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)档x→0时,用o(x)表示比x的高阶无穷小,则下列式子中错误的是( A、xo(x2)=0(x3) B、o(x)o(x2)=o(x) O(x-)+O(x-)=0(x )、o(x)+o(x2)=o(x2) (2)设函数∫(x)= x(x+1)In/r 的可去间断点个数为() B.1 C.2 (3)设D是圆域D=(xy)2+y2≤1位于第K象限的部分,记1=(y-xb(k=1234则() A.>0 B.I>0 C.l3>0 D.l4>0 (4)设{an}为正项数列,下列选项正确的是() A若an>an1,则∑(-1y-an收敛B.若∑(-1y-an收敛,则an>an C若∑an收敛,则存在常数P>1,使mn°an存在 D若存在常数P>1,使mn"an存在则∑an收敛 (5)设矩阵ABC均为n阶矩阵,若AB=C,则B可逆,则() A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 200 (6)若矩阵aba和0b0相似的充分必要条件为() 1a1)(000 A.a=0,b=2 Ba=0,b为任意数 C.a=2,b=0 D.a=2,b为任意数 (7)设X1,X2,X3是随机变量,且X1~NO),x2~N(0,2),X3~N32) 则P=P2≤X,≤2=12.3)则()
2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(三)试卷 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）档 x →0 时，用 o(x) 表示比 x 的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（ ） A、 ( ) ( ) 2 3 x o x = o x B、 ( ) ( ) ( ) 2 3 o x o x = o x C、 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 o x + o x = o x D、 ( ) ( ) ( ) 2 2 o x + o x = o x （2）设函数 x x x x f x x ( 1)ln 1 ( ) + − = 的可去间断点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 （3）设 Dk 是圆域 ( , ) 1 2 2 D = x y x + y 位于第 K 象限的部分,记 = ( − ) ( =1,2,3,4), I y x dxdy k DK k 则( ) A. I 1 0 B. I 2 0 C. I3 0 D. I 4 0 （4）设 an 为正项数列,下列选项正确的是( ) A.若 an an+1 ，则 n n n a = − − 1 1 ( 1) 收敛 B.若 n n n a = − − 1 1 ( 1) 收敛，则 an an+1 C.若 n=1 n a 收敛，则存在常数 P 1 ,使 n p n n a → lim 存在 D.若存在常数 P 1,使 n p n n a → lim 存在,则 n=1 n a 收敛 （5）设矩阵 A.B.C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C,则 B 可逆，则（ ） A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B.矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C.矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D.矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 （6）若矩阵 1 1 1 1 a a b a a 和 0 0 0 0 0 2 0 0 b 相似的充分必要条件为（ ） A. a = 0,b = 2 B. a = 0,b 为任意数 C. a = 2,b = 0 D. a = 2，b 为任意数 （7）设 1 2 3 X , X , X 是随机变量，且 ~ (0,1), ~ (0,2 ), ~ (5,3 ) 2 3 2 X1 N X2 N X N , 则 P = P− 2 X 2( j =1,2,3), j j 则（ ）
AP>P>P BP>P>P C P>P>P DP>P>P (8)设随机变量X和Y相互独立,则X和Y的概率分布分别为: P P 8|8 则P{X+Y=2}=() C 6 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)设曲线y=f(x)和y=x2-x在点(0.1)处有公共的切线,则imny(n n+2 (10)设函数z=(x,y)由方程(z+y)=xy确定,则 In dx (1+x) (12)微分方程y”-y+y=0的通解为y (13)设A=(an)是三阶非零矩阵,A为A的行列式,A为an的代数余子势,若A+a=04+an=0(,j=12,3), 则 (14)设随机变量X服从标准正态分布X~N(0),则E(Xe2)= 三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 (15)(本题满分10分) 当x→0时,↓ 与为等价无穷小,求!与!的值。 (16)(本题满分10分) 设』是由曲线y=r3,直线x=(>O及!轴所围成的平面图形,2,F,分别是》绕!轴,!轴旋转一周所得旋 转体的体积,若V,=10V,求』的值 (17)(本题满分10分 设平面内区域』由直线x=3=3及x+y=8围成计算∫xdxd。 (18)(本题满分10分) 设生产某产评的固定成本为600元,可变成本为20元/件,价格函数为P=60Q(P是单价,单位:元:Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (D)该商品的边际利润 (I)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义
A. P1 P2 > P3 B. P2 > P1 > P3 C. P3 > P1 > P2 D. P1 > P3 > P2 (8)设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为： 则 PX +Y = 2= ( ) A. 12 1 B. 8 1 C. 6 1 D. 2 1 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. （9）设曲线 y = f (x) 和 y = x − x 2 在点（0,1）处有公共的切线，则 ) 2 lim ( → n + n nf n =______. (10)设函数 z = z(x, y) 由方程 z y xy x ( + ) = 确定，则 (1,2) x z =________. (11)求 dx x x + 1 + 2 (1 ) ln =______. (12) 微分方程 0 4 1 y − y + y = 的通解为 y = _____ （13）设 A=（ ij a ）是三阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， Aij 为 ij a 的代数余子势，若 Aij + ij a =0 A + a = 0(i, j =1,2,3) ij ij ， 则 A =_________. (14)设随机变量 X 服从标准正态分布 X ~ N(0,1),则 ( ) ____ 2 = X E Xe 。 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 当 x → 0 时， 1coscos2cos3 − x x x 与 n a x 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。 （16）（本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 1 3 y x = ，直线 x aa = ( 0) 及 x 轴所围成的平面图形， , x y V V 分别是 D 绕 x 轴， y 轴旋转一周所得旋 转体的体积，若 10 V V y x = ，求 a 的值。 （17）（本题满分 10 分） 设平面内区域 D 由直线 x yy x = = 3, 3 及 x y + =8 围成.计算 2 D x d x d y 。 （18）（本题满分 10 分） 设生产某产评的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为 1000 60 Q P = − .( P 是单价，单位：元； Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： (I) 该商品的边际利润。 (II) 当 P = 50时的边际利润，并解释其经济意义。 X 0 1 2 3 P 2 1 4 1 8 1 8 1 X -1 0 1 P 3 1 3 1 3 1
(I使得利润最大的定价P (19)(本题满分10分) 设函数f(x)在+]上可导,f()=0且lmf(x)=2,证明 ()存在a>0,使得f(a) (m)对于(1)中的a,存在5∈(0.a),使得r(5)=a-()=1 (20)(本题满分11分) 设/ 当a,b为何值时,存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C (21)(本题满分11分) 设二次型等,记a (1)证明二次型对应的矩阵为2xa+fB (Ⅱ)若a,B正交且均为单位向量,证明二次型」在正交变化下的标准形为二次型2y2+y2 (22)(本题满分11分) 设(X,H)是二维随机变量,X的边缘概率密度为fx(x)= 3x,0<x<1 ,在给定X=x(0<x<1)的条件下,Y的 0,其他 0<y<x 条件概率密度为()=0.其他 (I)求(X,Y)的概率密度∫(x,y) (I)Y的边缘密度f1(y) (23)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为f(x)={x3 其中b为未知参数且大于零,X1,X2…XN为来自总体X的简 0,其他 单随机样本。 (I)求b的矩估计量 (ⅡI)求θ的最大似然估计量
(III)使得利润最大的定价 P 。 （19）（本题满分 10 分） 设函数 f (x) 在 0,+ 上可导， f (0) = 0 且 lim ( ) = 2 →+ f x x ，证明： （I）存在 a 0 ，使得 f (a) =1。 （II）对于（1）中的 a ，存在 (0, a) ，使得 a a f a f f 1 0 ( ) (0) ( ) = − − = 。 （20）（本题满分 11 分） 设 = 1 0 1 a A ， = b B 1 0 1 ，当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC−CA= B,并求所有矩阵 C . （21）（本题满分 11 分） 设二次型 ( )( )( ) 2 2 fxxx axaxaxbxbxbx 123 112233 112233 ,, 2=+++++ ，记 1 1 2 2 3 3 , a b a b a b = = 。 （I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T + ； （II）若 , 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型 2 2 1 2 2 y y + 。 （22）（本题满分 11 分） 设 (X,Y) 是二维随机变量， X 的边缘概率密度为 f X (x) = 0,其他 3 ,0 1 2 x x ，在给定 X = x(0 x 1) 的条件下， Y 的 条件概率密度为 f ( y x) = Y X 0，其他 ,0 3 3 2 y x x y （I）求 (X,Y) 的概率密度 f (x, y) （II） Y 的边缘密度 f (y) Y （23）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 f (x) = − 0,其他 , 0 3 2 e x x x 其中 为未知参数且大于零， X1 X2, X N , 为来自总体 X 的简 单随机样本。 （I）求 的矩估计量。 （II）求 的最大似然估计量