习题九 1.设x1,X2…,xn是取自总体X的一个样本,在下列情形下,试求总体参数的 矩估计与最大似然估计 (1)x~B(np),其中p未知,00 解(1)E(x)=p,故p的矩估计量有p=R 另,Ⅹ的分布律为P(x=x)=p(-p)-x,x=01, 故似然函数为 L(p)=p(-p) 对数似然函数为 L(p)=∑x|p+|n-∑x|n(-p) dhL()2x,n-∑ 0 解得p的最大似然估计量p=-∑x=F。 n i=l 可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 (2)E(x)=1,令1=,故的矩估计量a=1。 另,Ⅹ的密度函数为 fx(x)E x>0 x≤0 故似然函数为 X,>0,i=1,2, 其他 对数似然函数为
习题九 1. 设 X X X n , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的 矩估计与最大似然估计： （1） X ~ B(n, p) ，其中 p 未知， 0 p 1 ； （2） X ~ E() ，其中 未知， 0。 解 （1） E(X ) = p ，故 p 的矩估计量有 p ˆ = X 。 另，X 的分布律为 ( ) (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X x p p x x x ， 故似然函数为 ( ) ( ) = = − = − n i i n i i n X X L p p p 1 1 1 对数似然函数为： L(p) X p n X ( p) n i i n i i − + − = = = ln ln ln 1 1 1 令 ( ) 0 1 ln 1 1 = − − = − = = p n X p X dp d L p n i i n i i 解得 p 的最大似然估计量 X X n p n i = i = =1 1 ˆ 。 可以看出 p 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 （2） ( ) 1 E X = ，令 = X 1 ，故 的矩估计量 X 1 ˆ = 。 另，X 的密度函数为 f X (x) = 0 x e − 0 0 x x 故似然函数为 L() = 0 1 = − n i Xi n e 其他 Xi 0,i =1,2,, n 对数似然函数为
hnL(x)=nh2-∑X dInL()-->X=0 解得x的最大似然估计量A=-n=1。 X 可以看出λ的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2.设x1,X2…,x是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为λ的泊松分 布,其中λ未知,廴>0,求λ的矩估计与最大似然估计,如得到一组样本观测值 X01234 频数17201021 求λ的矩估计值与最大似然估计值。 解E(x)=2,故的矩估计量之=x 由样本观测值可算得 x=0×17+1×20+2×10+3×2+4×1 另,X的分布律为 故似然函数为 A∑x L(x)= X,=0,1,2,…,i=1,2,…,n 对数似然函数为 ∑h(Xx,) d hn LO ∑x +型 d 解得x的最大似然估计量=S 故的最大似然估计值=1
( ) ( ) 0 ln ln ln 1 1 = − = = − = = n i i n i i X n d d L L n X 解得 的最大似然估计量 X X n n i i 1 ˆ 1 = = = 。 可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2. 设 X X X n , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为 的泊松分 布，其中 未知， 0 ，求 的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值 X 0 1 2 3 4 频数 17 20 10 2 1 求 的矩估计值与最大似然估计值。 解 E(X ) = ，故 的矩估计量 ˆ = X 。 由样本观测值可算得 1 50 0 17 1 20 2 10 3 2 4 1 = + + + + X = 另，X 的分布律为 ( ) , 0,1,2, ! = = = − x x P X x e x 故似然函数为 ( ) X i n X X X L e i n n i i n , 0,1,2, , 1,2, , !1 ! 1 = = = − = 对数似然函数为 ( ) ( ) ( ) 0 ln ln ln ln ! 1 1 1 = − + = − = − + = = = n i i n i i n i i X n d d L L n X X 解得 的最大似然估计量 X n X n i i = = ˆ =1 ， 故 的最大似然估计值 1 ˆ =
3.设x1,x2…,x,是取自总体X的一个样本,其中X服从区间0)的均匀分 布,其中e>0未知,求的矩估计。 解E(x)=,令9=x,故的矩估计量=2。 4.设x1,X2…,x是取自总体X的一个样本,X的密度函数为 f(r 其他 其中>0未知,求的矩估计 解{()=x.2=2,令2=,故的矩估计量为b=3x。 5.设x1,X2…,x是取自总体X的一个样本,X的密度函数为 (+1)x 00未知,求9的矩估计和最大似然估计。 解(x)=x(0+1)“=+,令O+=x,故的矩估计量为6=1=2x,另 似然函数 (e (0+)∏x 0<X1<1 其他 对数似然函数为 hnL()=nh(+1)+0∑hX d In L(e) n de 0+1 解得D的最大似然估计量为0=1-=1-。 6.设x1x2…,xn是取自总体X的一个样本,总体X服从参数为p的几何分布, 即P(X=x)=p(-p)-1(x=123…),其中p未知,o<p<1,求p的最大似然估计。 解似然函数(p)=p"(-p)2x- 对数似然函数
3. 设 X X X n , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从区间 (0, ) 的均匀分 布，其中 0 未知，求 的矩估计。 解 ( ) 2 E X = ，令 = X 2 ，故 的矩估计量 ˆ = 2X 。 4. 设 X X X n , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为 f (x) = 0 2 2 x 其他 0 x 其中 0 未知，求 的矩估计。 解 ( ) 3 2 2 0 2 = dx = x E X x ，令 = X 3 2 ，故 的矩估计量为 X 2 3 ˆ = 。 5. 设 X X X n , , , 1 2 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为 f (x) = ( ) 0 1 + x 其他 0 x 1 其中 0 未知，求 的矩估计和最大似然估计。 解 ( ) ( ) 2 1 1 1 0 + + = + = E X x x dx ，令 = X + + 2 1 ，故 的矩估计量为 1 1 2 ˆ − − = X X ，另， 似然函数 L( ) = ( ) 0 1 1 = + n i i n X 其他 0 Xi 1 对数似然函数为 ( ) ( ) ( ) ln 0 1 ln ln ln 1 ln 1 1 + = + = = + + = = n i i n i i X n d d L L n X 解得 的最大似然估计量为 X X n n i i 1 1 1 ˆ 1 = − − = − − = 。 6. 设 X X X n , , , 1 2 是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为 p 的几何分布， 即 ( ) (1 ) ,( 1,2,3, ) 1 = = − = − P X x p p x x ，其中 p 未知， 0 p 1 ，求 p 的最大似然估计。 解 似然函数 ( ) ( ) n X n n i i L p p p − = 1− =1 对数似然函数
zx n inou ∑X dhn L(p) n P 解得p的最大似然估计量为P=° 7.已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布E(x),其中x>0未知,现在 观测到六个时间间隔数据(单位:s):1.8,3.2,4,8,452.5,试求该路口车辆经过 的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值 解根据习题1的结果,的矩估计和最大似然估计量都为-,故平均时间 间隔的矩估计和最大似然估计都为-,即为x。 由样本观测值可算得x=(.8+32+4+8+45+25)=4。 8.设总体ⅹ的密度函数为(xo)=1、 c°,(∞0未知,设 x1,x2…,xn是取自这个总体的一个样本,试求a的最大似然估计 解似然函数(a)=e 对数似然函数为 ∑x dIn(o)n ∑|H do 得的最大似然估计量为G=x 9.在第3题中e的矩估计是否是的无偏估计? 解62=0 故θ的矩估计量2X是的无偏估计 10.试证第8题中a的最大似然估计是a的无偏估计
( ) ( ) ( ) 0 1 ln ln ln ln 1 1 1 = − − = − − = + − = = p X n p n d p d L p L p n p X n p n i i n i i 解得 p 的最大似然估计量为 X p 1 ˆ = 。 7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布 E() ，其中 0 未知，现在 观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过 的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。 解 根据习题 1 的结果， 的矩估计和最大似然估计量都为 X 1 ，故平均时间 间隔的矩估计和最大似然估计都为 ˆ 1 ，即为 X 。 由样本观测值可算得 (1.8 3.2 4 8 4.5 2.5) 4 6 1 X = + + + + + = 。 8. 设总体 X 的密度函数为 ( ) = (− +) − f x e x x , 2 1 ; ，其中 0 未知，设 X X X n , , , 1 2 是取自这个总体的一个样本，试求 的最大似然估计。 解 似然函数 ( ) ( ) = − = n i Xi n L e 1 2 1 ， 对数似然函数为 ( ) ( ) ( ) 0 ln 1 ln ln 2 2 1 1 = − + = = − − = = n i i n i i X n d d L L n X 得 的最大似然估计量为 = = n i Xi n 1 1 ˆ 。 9. 在第 3 题中 的矩估计是否是 的无偏估计？ 解 ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = = = n i n i i n i i n E X n X n E E X E X E 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ˆ 故 的矩估计量 2X 是 的无偏估计。 10. 试证第 8 题中 的最大似然估计是 的无偏估计
证明:E(G)=E(sx=Ex: ∑e=∑2x,e=a 故的最大似然估计a=x是的无偏估计 1l.设x1,x2,x1为总体x~Na2)的样本,证明 都是总体均值u的无偏估计,并进一步判断哪一个估计有效 证明E()=Ex1+2x2+X3 E(x1)+E(x2)+E(x3) 6 +|(x)=E(x)= E(2)=E2x1+x2+2X =2E(X1)+E(X2)+E(X3) 2+1+2)(x)=E(x)= 所以,2都是总体均值的无偏估计 又D()=D1x+x2+ 1m(x)+(x2)+2D(x2) 、5+9+/(x)= =D(x) D(2)=D2x1+x2+2X D(X1)+D(x2)+D(x3) D( X)=-a 可见DGa2)<D(G1),所以二个估计量中2更有效
证明： ( ) ( ) = = = = n i i n i i E X n X n E E 1 1 1 1 ˆ = = = − = + − = + − x e dx n x e dx n x n i x n i 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 故 的最大似然估计 = = n i Xi n 1 1 ˆ 是 的无偏估计。 11. 设 1 2 3 X , X , X 为总体 ( ) 2 X ~ , 的样本，证明 2 1 2 3 1 1 2 3 5 2 5 1 5 2 ˆ 2 1 3 1 6 1 ˆ X X X X X X = + + = + + 都是总体均值 的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。 证明 ( ) 1 = 1 + 2 + 3 2 1 3 1 6 1 E ˆ E X X X ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = + + = + + E X E X E X E X E X 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + + = + + = + + E X E X E X E X E X E E X X X 5 2 5 1 5 2 5 2 5 1 5 2 5 2 5 1 5 2 ˆ 1 2 3 2 1 2 3 所以 1 2 ˆ , ˆ 都是总体均值 的无偏估计。 又 ( ) = + + 6 3 2 ˆ 1 2 3 1 X X X D D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 18 7 18 7 4 1 9 1 36 1 4 1 9 1 36 1 = = = + + = + + D X D X D X D X D X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 2 3 25 9 25 9 25 4 25 1 25 4 5 2 5 1 5 2 ˆ = = = + + = + + D X D X D X D X D D X X X 可见 ( ) ( ) 2 1 D ˆ D ˆ ，所以二个估计量中 2 ˆ 更有效
12.设x,x2…,xn是取自总体xNa2)的一个样本,其中2>0未知,令 2=x,试证2是2的相合估计。 n iel 证明易见))) 又 由第九章公式(9), 故 由切比雪夫不等式,当n→∞,对任给>0, 0 即a2是2的相合估计
12. 设 X X X n , , , 1 2 是取自总体 ( ) 2 X ~ 0, 的一个样本，其中 0 2 未知，令 = = n i Xi n 1 2 1 2 ˆ ，试证 2 ˆ 是 2 的相合估计。 证明 易见 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 ˆ = = = = = n i i n i i E X n X n E E 又 X (n) n i i 2 1 2 2 ~ 1 = ， 由第九章公式（9）， D X n n i i 2 1 1 2 2 = = ， 故 ( ) n n D D X n i i 4 2 4 1 2 2 2 1 2 ˆ = = = 。 由切比雪夫不等式，当 n→ ，对任给 0， ( ) ( ) 0 ˆ 2 ˆ 2 4 2 2 2 − 2 = → n D P 即 2 ˆ 是 2 的相合估计