2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分下列每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设函数f(x)在区间[-1,1上连续,则x=0是函数g(x)= s(dt 的() (A)跳跃间断点 (B)可去间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点 (2)如图,曲线段方程为y=f(x),函数∫(x)在区间[0,a]上有连续的导数,则定积分 y-f() c(o,(a) A(a,s(a)) yf(xdx等于() (A)曲边梯形ABOD面积 (B)梯形ABOD面积 (C)曲边三角形ACD面积 (D)三角形ACD面积 3)已知f(xy)=e2+),则 (A)f(00),f(00)都存在 (B)f(0.0)不存在,f”(0.0)存在 (C)f(0.0)存在,f”(0.0)不存在 (D)J(0,0),f,(00)都不存在 )设函数厂连续,若F()=(+)小,其中八为图中阴影部分,则
2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 f x( ) 在区间 [ 1,1] − 上连续，则 x = 0 是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x = 的（ ） （A）跳跃间断点. （B）可去间断点. （C）无穷间断点. （D）振荡间断点. （2）如图，曲线段方程为 y f x = ( ) ，函数 f x( ) 在区间 [0, ] a 上有连续的导数，则定积分 0 ( ) a t xf x dx 等于（ ） （A）曲边梯形 ABOD 面积. （B） 梯形 ABOD 面积. （C）曲边三角形 ACD 面积. （D）三角形 ACD 面积. （3）已知 2 4 ( , ) x y f x y e + = ，则 （A） (0, 0) x f ， (0,0) y f 都存在 （B） (0, 0) x f 不存在， (0,0) y f 存在 （C） (0, 0) x f 存在， (0,0) y f 不存在 （D） (0, 0) x f ， (0,0) y f 都不存在 （4）设函数 f 连续，若 2 2 2 2 ( ) ( , ) Duv f x y F u v dxdy x y + = + ，其中 uv D 为图中阴影部分，则 F u =
(A) vf(u (B)-f(2)(C)yf(a)(D)-f(u) (5)设A为阶非0矩阵,E为n阶单位矩阵,若A3=0,则() (A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 6)设A 则在实数域上域与A合同的矩阵为() (A) (B) 1-2 (C) (7)随机变量X,Y独立同分布,且X分布函数为F(x),则Z=max{X,y}分布函 数为() (B)F(F( (C)1-[1-F(x) (D)[1-F(x)[1-F(y)] (8)随机变量X~N(01),y~N(14)且相关系数px=1,则( (A)P{Y=-2X-l}=1 (B)P{Y=2X-1}=1 (C)P{Y=-2X+l}=1 (D)P{Y=2X+l}=1 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上
（ ） （A） 2 vf u( ) （B） 2 ( ) v f u u （C） vf u( ) （D） ( ) v f u u （5）设 A 为阶非 0 矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 3 A = 0 ，则（ ） （A） E A − 不可逆， E A + 不可逆. （B） E A − 不可逆， E A + 可逆. （C） E A − 可逆， E A + 可逆. （D） E A − 可逆， E A + 不可逆. （6）设 1 2 2 1 A = 则在实数域上域与 A 合同的矩阵为（ ） （A） 2 1 1 2 − − . （B） 2 1 1 2 − − . （C） 2 1 1 2 . （D） 1 2 2 1 − − . （7）随机变量 X Y, 独立同分布，且 X 分布函数为 F x( ) ，则 Z X Y = max , 分布函 数为（ ） （A） ( ) 2 F x . （B） F x F y ( ) ( ) . （C） ( ) 2 1 1 − − F x . （D） 1 1 − − F x F y ( ) ( ) . （8）随机变量 X N~ 0,1 ( ) ，Y N~ 1, 4 ( ) 且相关系数 1 XY = ，则（ ） （A） P Y X = − − = 2 1 1 . （B） P Y X = − = 2 1 1 . （C） P Y X = − + = 2 1 1 . （D） P Y X = + = 2 1 1 . 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
< (9)设函数f(x)={2 在(-∞,+∞)内连续,则 (10)设f(x+ 则∫fx= (1)i设D=(x,y)2+y2s1,则(x-y (12)微分方程xy+y=0满足条件y(1)=1的解是y 13)设3阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为3阶单位矩阵,则44-E (14)设随机变量x服从参数为1的泊松分布,则P{X=EX2}= 三、解答题:15-283小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) sin x 求极限lim-ln (16)(本题满分10分) 设z=(x,y)是由方程x2+y2-=o(x+y+)所确定的函数,其中q具有2阶导数 且 (I)求dz (Ⅱ)记a(x,y)= (会)会 (17)(本题满分11分) 计算 [max(xy其D={(xy)0≤x20sys2 (18)(本题满分10分) 设∫(x)是周期为2的连续函数 (1)证明对任意的实数,有∫f(x=(x)d ()证明G()[20)()d边是明为2的周期函数 (19)(本题满分10分)
（9）设函数 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x + = 在 ( , ) − + 内连续，则 c = . （10）设 3 4 1 ( ) 1 x x f x x x + + = + ，则 2 2 2 f x dx ( ) ______ = . （11）设 2 2 D x y x y = + {( , ) 1} ，则 2 ( ) D x y dxdy − = . （12）微分方程 xy y + = 0 满足条件 y(1) 1 = 的解是 y = . （13）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则 1 4 _____ A E − − = . （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 2 P X EX = = . 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 10 分） 求极限 2 0 1 sin lim ln x x → x x . (16) （本题满分 10 分） 设 z z x y = ( , ) 是由方程 ( ) 2 2 x y z x y z + − = + + 所确定的函数，其中 具有 2 阶导数 且 −1 时. （Ⅰ）求 dz （Ⅱ）记 ( ) 1 , z z u x y x y x y = − − ，求 u x . (17) （本题满分 11 分） 计算 max( ,1) , D xy dxdy 其中 D x y x y = {( , ) 0 2,0 2}. (18) （本题满分 10 分） 设 f x( ) 是周期为 2 的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数 t ，有 ( ) ( ) 2 2 0 t t f x dx f x dx + = ； （Ⅱ）证明 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 x t t G x f t f s ds dt + = − 是周期为 2 的周期函数． (19) （本题满分 10 分）
设银行存款的年利率为r=0.05,并依年复利计算,某基金会希望通过存款A万元,实 现第一年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规 律一直提取下去,问A至少应为多少万元? (20)(本题满分12分) 设n元线性方程组Ax=b,其中 b 0 (1)求证行列式A=(n+1)a (Ⅱ)a为何值时,该方程组有唯一解,并求x; (Ⅲ)a为何值时,方程组有无穷多解,并求通解 (21)(本题满分10分) 设A为3阶矩阵,a22为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足 (I)证明a1,a2a3线性无关; (Ⅱ)令P=(a,a2,a3),求PAP (22)(本题满分11分) 设随机变量x与Y相互独立,X的概率分布为P{X=l}=1(=-1,01),Y的概率 密度为f(y)= 10≤y≤1 l0其它 记Z=X+Y (I)求P{Z≤2X=0}: (Ⅱ)求Z的概率密度f2() (23)(本题满分11分) 设X12X2…X是总体为N(a2)的简单随机样本.记X=-∑X n
设银行存款的年利率为 r = 0.05 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，实 现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此规 律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分 12 分） 设 n 元线性方程组 Ax b = ，其中 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a = ， 1 2 n x x x x = ， 1 0 0 b = （Ⅰ）求证行列式 ( 1) n A n a = + ; （Ⅱ） a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 1 x ； （Ⅲ） a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。 （21）（本题满分 10 分） 设 A 为 3 阶矩阵， 1 2 a a, 为 A 的分别属于特征值 −1,1 的特征向量，向量 3 a 满足 Aa a a 3 2 3 = + ， （Ⅰ）证明 1 2 3 a a a , , 线性无关； （Ⅱ）令 P a a a = ( 1 2 3 , , ) ，求 1 P AP − . （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为 ( ) 1 1, 0,1 3 P X i i = = = − ，Y 的概率 密度为 ( ) 1 0 1 0 Y y f y = 其它 ，记 Z X Y = + （Ⅰ）求 1 0 2 P Z X = ； （Ⅱ）求 Z 的概率密度 ( ) Z f z ． （23） （本题满分 11 分） 设 1 2 , , , X X X n 是 总 体 为 2 N( , ) 的 简 单 随 机 样 本 . 记 1 1 n i i X X n = =
X-X,T=X--S (I)证明T是2的无偏估计量 (Ⅱ)当=0,G=1时,求DT
2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n = = − − ， 2 1 2 T X S n = − . （Ⅰ）证明 T 是 2 的无偏估计量. （Ⅱ）当 = = 0, 1 时，求 DT