2007年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 择愿本题共10小题每小题4分满分40分在每小题给的四个选项中只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当x→0时,与√x等价的无穷小量是 (2)曲线y=-+n(1+e)渐近线的条数为 (3)如图连续函数y=f(x)在区间[-3,-2][2,3]上的图 形分别是直径为1的上、下半圆属在区间20102的图形分+ 分别是直径为2的上、下半圆周设F(x)=f()dm则下列结 论正确的是 (A)F(3)=--F(-2) (B)F(3)=F(2) (C)F(3)=元F(2) (4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是 (A)若lim(x) 存在,则f(0)=0 (B)若lim f(x)+f(-x) f(0)=0 (C)若li ∫(x)存在则f(O)=0 f(x)-f(-x) 存在,则 x f'(0)=0 (5)设函数f(x)在0,+∞)上具有二阶导数,且∫"(x)>0,令ln=f(mn)=1,2,…n,则下列结 正确的是 (A)若1>l2,则{Ln}必收敛 (B)若41>2,则{Ln}必发散 (C)若1<l2,则{ln}必收敛 D)若1<l2,则{Ln}必发散
2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(本题共 10小题,每小题 4分,满分 40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当 x 0 → + 时,与 x 等价的无穷小量是 (A) 1 e x − (B) 1 ln 1 x x + − (C) 1 1 + − x (D) 1 cos − x (2)曲线 1 ln(1 e )x y x = + + ,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (3)如图,连续函数 y f x = ( ) 在区间 [ 3, 2],[2,3] − − 上的图 形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间 [ 2,0],[0,2] − 的图形 分别是直径为 2 的上、下半圆周,设 0 ( ) ( ) x F x f t dt = .则下列结 论正确的是 (A) 3 (3) ( 2) 4 F F = − − (B) 5 (3) (2) 4 F F = (C) 3 (3) (2) 4 F F = (D) 5 (3) ( 2) 4 F F = − − (4)设函数 f x( ) 在 x = 0 处连续,下列命题错误的是 (A)若 0 ( ) lim x f x → x 存在,则 f (0) 0 = (B) 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x → x + − 存 在 , 则 f (0) 0 = (C)若 0 ( ) lim x f x → x 存在,则 f (0) 0 = (D) 若 0 ( ) ( ) lim x f x f x → x − − 存 在 , 则 f (0) 0 = (5)设函数 f x( ) 在(0, + )上具有二阶导数,且 f x "( ) 0 , 令 ( ) 1,2, , , n u f n n = = 则下列结 论正确的是 (A)若 1 2 u u ,则{ n u }必收敛 (B)若 1 2 u u ,则{ n u }必发散 (C)若 1 2 u u ,则{ n u }必收敛 (D)若 1 2 u u ,则{ n u }必发散
(6)设曲线L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数,过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点 N,r为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是 「(xy) (B)f(x,y)dy (c)/(x,yds (D/'(x,y)dr+f"),(x,y)dy (7设向量组a1,2,2线性无关则下列向量组线形相关的是 (A)夏 2,,-d2,a3- (B)1+a2,2+33+1 D)1+2a2,Q12+23,a3+2a 8设矩阵A=-12-1,B=010,则A与B 000 (A)合同,且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 (9某人向同一目标独立重复射击每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好 第2次命中目标的概率为 (A)3p(1-P) (B)6p(1-p) 3p2(1-p)2 D)6p2(1-p) (10)设随即变量(X,)服从二维正态分布且X与】不相关,f(x),f(y)分别表示X,Y的概率 密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fxr(xy)为 (A)x(x) (B)fr() (C)x(x)fr() fx(x) fr(y 二、填空题(1-16小题每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位上 (12)设f(u2v)为二元可微函数,=f(x3,y2),则= (13)二阶常系数非齐次线性方程y"-4y+3y=2e2的通解为y
(6)设曲线 L f x y : ( , ) 1 = ( f x y ( , ) 具有一阶连续偏导数),过第 2 象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的点 N, 为 L 上从点 M 到 N 的一段弧,则下列小于零的是 (A) ( , ) x y dx (B) f x y dy ( , ) (C) f x y ds ( , ) (D) ' ( , ) ' ( , ) x y f x y dx f x y dy + (7)设向量组 1 2 3 α , , α α 线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A) , , α1 2 2 3 3 1 − − − α α α α α (B) , , α1 2 2 3 3 1 + + + α α α α α (C) 1 2 2 3 3 1 α − − − 2 , 2 , 2 α α α α α (D) 1 2 2 3 3 1 α + + + 2 , 2 , 2 α α α α α (8)设矩阵 2 1 1 1 2 1 1 1 2 − − = − − − − A , 1 0 0 0 1 0 000 = B ,则 A 与 B (A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p p (0 1 ),则此人第 4 次射击恰好 第 2 次命中目标的概率为 (A) 2 3 (1 ) p p − (B) 2 6 (1 ) p p − (C) 2 2 3 (1 ) p p − (D) 2 2 6 (1 ) p p − (10)设随即变量 ( , ) X Y 服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关, f x X ( ) , f y Y ( ) 分别表示 X Y, 的概率 密度,则在 Y y = 的条件下, X 的条件概率密度 f x y X Y| ( | ) 为 (A) f x X ( ) (B) f y Y ( ) (C) f x X ( ) f y Y ( ) (D) ( ) ( ) X Y f x f y 二、填空题(11－16 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11) 3 1 2 1 1 e x dx x =_______. (12)设 f u v ( , ) 为二元可微函数, ( , ) y x z f x y = ,则 z x =______. (13)二阶常系数非齐次线性方程 2 '' 4 ' 3 2e x y y y − + = 的通解为 y =____________
4设曲面∑:|x+1y1+1=1,则∮(x+y)d- (15设矩阵,0010,则A3的秩为 0000 (16)在区间(0,1)中随机地取两个数则这两个数之差的绝对值小于的概率为 三、解谷题(17-24小题共86分请将解答写在题纸指定的位量上解应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) (17(本题满分11分) 求函数f(x,y)=x2+2y2-x2y2在区域D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0}上的最大值和最 小值 (18)本题满分10分) 计算曲面积分I=xzdd+2tax+3nddy,其中∑为曲面 (0≤二≤1)的上侧 (19)本题满分11分) 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大 值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明存在5∈(a,b),使得f"()=g"() 20)(本题满分10分) 设幂级数∑ax”在(-∞,+∞)内收敛其和函数y(x)满足 (1)证明:an+2=,an,n=1,2, n+1 (2)求y(x)的表达式 (21)(本题满分11分) 设线性方程组{x+2x2+ax3=0,与方程x+2x2+x3=a-1 有公共解求a的值及所有公共解 (22)(本题满分11分) 设3阶实对称矩阵A的特征向量值入1=1,=2,3=-21=(,-11)是A的属于特征值
(14)设曲面 :| | | | | | 1 x y z + + = ,则 ( | |) x y ds + =_____________. (15)设矩阵 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0000 = A ,则 3 A 的秩为________. (16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于 1 2 的概率为________. 三、解答题(17－24 小题,共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) (17)(本题满分 11 分) 求函数 2 2 2 2 f x y x y x y ( , ) 2 = + − 在区域 2 2 D x y x y y = + {( , ) | 4, 0} 上的最大值和最 小值. (18)(本题满分 10 分) 计 算 曲 面 积 分 I xzdydz zydzdx xydxdy 2 3 , = + + 其 中 为曲面 2 2 1 (0 1) 4 y z x z = − − 的上侧. (19)(本题满分 11 分) 设函数 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 上连续 , 在 ( , ) a b 内具有二阶导数且存在相等的最大 值, f a g a f b g b ( ) ( ), ( ) ( ) = = ,证明:存在 ( , ) a b ,使得 f g ( ) ( ) = . (20)(本题满分 10 分) 设幂级数 0 n n n a x = 在 ( , ) − + 内收敛,其和函数 y x( ) 满足 y xy y y y − − = = = 2 4 0, (0) 0, (0) 1. (1)证明: 2 2 , 1,2, . 1 n n a a n n + = = + (2)求 y x( ) 的表达式. (21)(本题满分 11 分) 设线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 0 2 0 , 4 0 x x x x x ax x x a x + + = + + = + + = 与方程 1 2 3 x x x a + + = − 2 1, 有公共解,求 a 的值及所有公共解. (22)(本题满分 11 分) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征向量值 1 2 3 1 1, 2, 2. (1, 1,1)T = = = − = − α 是 A 的属于特征值 1
个特征向量记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (1)验证a1是矩阵B的特征向量并求B的全部特征值与特征向量 (2)求矩阵B (23)本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 2-x-y,02}} (2)求Z=X+Y的概率密度 ,0<x<6 (24)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 b≤x<l 其他 X1,X2…,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值 (1)求参数O的矩估计量O (2)判断42是否为O2的无偏估计量并说明理由
的一个特征向量,记 5 3 B A A E = − + 4 , 其中 E 为 3 阶单位矩阵. (1)验证 α1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵 B . (23)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 2 ,0 1,0 1 ( , ) 0, x y x y f x y − − = 其他 (1)求 P X Y { 2 }. (2)求 Z X Y = + 的概率密度. (24)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 1 , 0 2 1 ( ; ) , 1 2(1 ) 0, x f x x = − 其他 1 2 , , X X X n 是来自总体 x 的简单随机样本, X 是样本均值 (1)求参数 的矩估计量 ˆ . (2)判断 2 4X 是否为 2 的无偏估计量,并说明理由