2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题(18小题每小题4分共32分,下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所 选项前的字母填在题后的括号内) 当x→>0时,f(x)=x- sIna与g(x)=x2ln(1-bhx)等价无穷小则 (A)a=1,b= (B)a=1,b= 6 (如图,正方形(x,y)x1≤}被其对角线划分 为四个区域D(k=1234),1= ncos xdxdy,则 max -1 (B)l2 (C)l3 (3设函数y=f(x)在区间[-13上的图形为 f(r) 则函数F(x)=6f()d的图形为
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所 选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当 x →0 时, f x x ax ( ) = −sin 与 ( ) ( ) 2 g x x bx = − ln 1 等价无穷小,则 (A) 1 1, 6 a b = = − (B) 1 1, 6 a b = = (C) 1 1, 6 a b = − = − (D) 1 1, 6 a b = − = (2)如图,正方形 ( x y x y , 1, 1 ) 被其对角线划分 为四个区域 D k k ( =1,2,3,4) , cos k k D I y xdxdy = , 则 1 4 max k k I = (A) 1 I (B) 2 I (C) 3 I (D) 4 I (3)设函数 y f x = ( ) 在区间 −1,3 上的图形为 则函数 ( ) ( ) 0 x F x f t dt = 的图形为 1 f x( ) -2 0 2 3 x -1 O
f(r) (4设有两个数列{an},{bn},若iman=0,则
(A) (B) (C) (D) (4)设有两个数列 a b n n , ,若 lim 0 n n a → = ,则 f x( ) 0 -2 1 2 3 x -1 1 f x( ) 0 -1 1 2 3 x 1 f x( ) 0 -2 1 2 3 x -1 1 f x( ) 0 -2 1 2 3 x -1 1
(A)当∑b收敛时∑abn收敛 B)当∑b发散时∑abn发散 ()当∑|b收敛时∑ab2收敛 D)当∑bn发散时∑ab2发散 (5)设a1,2,a3是3维向量空间R的一组基,则由基a1,2,a3到基 a1+a2,2+a33+1的过渡矩阵为 (A)220 103 246 222 6设A,B均为2阶矩阵,A,B分别为A,B的伴随矩阵若|=2B=3,则分块矩阵 的伴随矩阵为 B O 0 3B O 2B (A) 2A O 3A O 2A 2B O 3B O 没随机变量X的分布函数为F(x)=03(x)+074(其中()为标准正态分布 函数则EX= (A)0 0.3 (C)0.7 (8设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(O,1),Y的概率分布为 P{Y=0}=P{Y=l}=,记F2()为随机变量Z=X的分布函数则函数F2(-)的间断点个数 为 (A)0
(A)当 1 n n b = 收敛时, 1 n n n a b = 收敛. (B)当 1 n n b = 发散时, 1 n n n a b = 发散. (C)当 1 n n b = 收敛时, 2 2 1 n n n a b = 收敛. (D)当 1 n n b = 发散时, 2 2 1 n n n a b = 发散. (5) 设 1 2 3 α , , α α 是 3 维 向 量 空 间 3 R 的 一 组 基 , 则 由 基 1 2 3 1 1 , , 2 3 α α α 到 基 1 2 2 3 3 1 α + + + α , , α α α α 的过渡矩阵为 (A) 1 0 1 2 2 0 0 3 3 (B) 1 2 0 0 2 3 103 (C) 1 1 1 2 4 6 1 1 1 2 4 6 1 1 1 2 4 6 − − − (D) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 4 4 4 1 1 1 6 6 6 − − − (6)设 A, B 均为 2 阶 矩阵, * * A B, 分别为 A, B 的伴随矩阵,若 A B = = 2, 3 ,则分块矩阵 O A B O 的伴随矩阵为 (A) * * 3 2 O B A O (B) * * 2 3 O B A O (C) * * 3 2 O A B O (D) * * 2 3 O A B O (7)设随机变量 X 的分布函数为 ( ) ( ) 1 0.3 0.7 2 x F x x − = + ,其中 ( x) 为标准正态分布 函数,则 EX = (A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1 (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 且 X 服 从 标 准 正 态 分 布 N (0,1) , Y 的 概 率 分 布 为 1 0 1 2 P Y P Y = = = = ,记 F z Z ( ) 为随机变量 Z XY = 的分布函数,则函数 F z Z ( ) 的间断点个数 为 (A)0 (B)1
(C2 (D)3 二、填空题(914小题每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位置上 (9设函数f(x,y)具有二阶连续偏导数=f(x,x),则= (0若二阶常系数线性齐次微分方程y”+a+by=0的通解为y=(C1+C2x)e,则非齐次方 程y+ay+by=x满足条件y(0)=2,y(0)=0的解为y ()己知曲线L:y=x(05x√52)则x= 2)没2=(x1:)x2+y2+25ad= (13)若3维列向量αβ满足αβ=2,其中α为α的转置,则矩阵β的非零特征值 (14设x1,x2…Xm为来自二项分布总体B(,P)的简单随机样本x和S2分别为样本均值和 样本方差若X+kS为np2的无偏估计量则k= 三、解谷題(15-23小题共%分请将解谷写在谷题纸指定的位量上解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) (15)本题满分9分) 二元函数f(xy)=x2(2+y2)+yhy的极值 (16本题满分9分) 设an为曲线y=x”与y=x(n=12…)所围成区域的面积记S=∑anS2=∑ 求S1与S2的值 (17)本题满分11分) 椭球面S是椭圆x+2,=1绕x轴旋转而成圆锥面S2是过点(40)且与椭圆 x+y=1相 切的直线绕x轴旋转而成 (1)求S1及S2的方程 (2)求S1与S2之间的立体体积 (18本题满分11分) (证明拉格朗日中值定理若函数f(x)在[a小]上连续,在(a.b)可导,则存在5∈(a,b),使得
(C)2 (D)3 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数 f u v ( , ) 具有二阶连续偏导数,z f x xy = ( , ),则 2 z x y = . (10)若二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by + + = 0 的通解为 ( 1 2 )e x y C C x = + ,则非齐次方 程 y ay by x + + = 满足条件 y y (0 2, 0 0 ) = = ( ) 的解为 y = . (11)已知曲线 ( ) 2 L y x x : 0 2 = ,则 L xds = . (12)设 ( ) 2 2 2 = + + x y z x y z , , 1 ,则 2 z dxdydz = . (13) 若 3 维 列 向 量 α,β 满 足 2 T α β = , 其 中 T α 为 α 的 转 置 ,则 矩 阵 T βα 的 非 零 特 征 值 为 . (14)设 1 2 , , , X X X m 为来自二项分布总体 B n p ( , ) 的简单随机样本, X 和 2 S 分别为样本均值和 样本方差.若 2 X kS + 为 2 np 的无偏估计量,则 k = . 三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) (15)(本题满分 9 分) 求二元函数 ( ) 2 2 f x y x y y y ( , ) 2 ln = + + 的极值. (16)(本题满分 9 分) 设 n a 为曲线 n y x = 与 ( ) 1 1,2,..... n y x n + = = 所围成区域的面积,记 1 2 2 1 1 1 , n n n n S a S a − = = = = , 求 1 S 与 2 S 的值. (17)(本题满分 11 分) 椭球面 1 S 是椭圆 2 2 1 4 3 x y + = 绕 x 轴旋转而成,圆锥面 2 S 是过点 (4,0) 且与椭圆 2 2 1 4 3 x y + = 相 切的直线绕 x 轴旋转而成. (1)求 1 S 及 2 S 的方程. (2)求 1 S 与 2 S 之间的立体体积. (18)(本题满分 11 分) (1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f x( ) 在 a b, 上连续,在 ( , ) a b 可导,则存在 (a b, ) ,使得
f(b)-f(a)=f(5(b-a) (2证明若函数∫(x)在x=0处连续在(0,)(6>0)内可导且imf"(x)=A则f(0)存 在且f(0)=A (19)(本题满分10分) dyd=+ ydcdx +dxd 计算曲面积分I= 其中∑是曲面2x2+2y2+2=4的外侧 (20)(本题满分11分) 设A=-111.51=1 0-4-2 (1)求满足A2=51的52A23=51的所有向量2,ξ3 (2)对()中的任意向量2,3证明152,3无关 (21)(本题满分11分) 设二次型f(x,x2,x)=ax2+ax2+(a-1)x2+2x1-2xx (1)求二次型∫的矩阵的所有特征值 2)若二次型∫的规范形为y2+y2求a的值 (22)(本题满分11分) 袋中有1个红色球2个黑色球与3个白球现有回放地从袋中取两次每次取一球,以X,Y,Z分别表示 两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数 ()求p{X=12=0} (2求二维随机变量(X,)概率分布 (23)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为f(x)= ∫2xek,x>0 0其他 ,其中参数(2>0)未知,X1,X2…Xn是来自 总体X的简单随机样本 (1)求参数的矩估计量 (2)求参数的最大似然估计量
f b f a f b a ( ) − = − ( ) ( )( ) . (2)证明:若函数 f x( ) 在 x = 0 处连续,在 (0, 0 )( ) 内可导,且 ( ) 0 lim x f x A → + = ,则 f + (0) 存 在,且 f A + (0) = . (19)(本题满分 10 分) 计算曲面积分 ( ) 3 2 2 2 2 xdydz ydzdx zdxdy I x y z + + = + + ,其中 是曲面 2 2 2 2 2 4 x y z + + = 的外侧. (20)(本题满分 11 分) 设 1 1 1 1 1 1 0 4 2 − − = − − − A , 1 1 1 2 − = − ξ (1)求满足 Aξ2 1 = ξ 的 2 ξ . 2 A ξ3 1 = ξ 的所有向量 2 ξ , 3 ξ . (2)对(1)中的任意向量 2 ξ , 3 ξ 证明 1 2 3 ξ , , ξ ξ 无关. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 f x x x ax ax a x x x x x , , 1 2 2 = + + − + − . (1)求二次型 f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型 f 的规范形为 2 2 1 2 y y + ,求 a 的值. (22)(本题满分 11 分) 袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以 X Y Z , , 分别表示 两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1)求 p X Z = = 1 0. (2)求二维随机变量 ( X Y, ) 概率分布. (23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 2 , 0 ( ) 0, x xe x f x − = 其他 ,其中参数 ( 0) 未知, X1 , X2 ,… X n 是来自 总体 X 的简单随机样本. (1)求参数 的矩估计量. (2)求参数 的最大似然估计量