考研1号网:专注考研有你有我共同进步 2001年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 填空题 (1)设生产函数为Q=AK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量而 A,a,B均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为 【答】 【详解】当Q=1时有K=A7L7 于是K关于L的弹性为 s≤tK(L) I A (2)某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加2百万.若以W表示第t 年的工资总额(单位:百万元),则W满足的差分方程是 【答】1.2W1+2 【详解】W=(1+0.2)H=1+2=1.2W1+2 k (3)设矩阵1k11 且秩(A)=3,则k= 11k1 111k 【答】-3 【详解】由题设r(A)=3,知必有 k11 1k11 11k1/≈(k+3k-1)3=0 解得k=1或k=-3显然k=1时r(A)=1, 不符合题意因此一定有k=-3 考研1号网网址:ww,kv007,com
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析 一、 填空题 （1）设生产函数为Q AL K , α β = 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而 A, , α β 均为大于零的参数,则当Q =1时 K 关于 L 的弹性为 . 【答】 α β − 【详解】 当Q =1时,有 , l K AL α β β − − = 于是 K 关于 L 的弹性为 1 1 1 '( ) . ( ) A L K L L L K L A L α β β α β β α β α ξ β − −− − − − = = =− i （2）某公司每年的工资总额比上一年增加 20％的基础上再追加 2 百万.若以Wt 表示第t 年的工资总额（单位：百万元），则Wt 满足的差分方程是___ 【答】 1 1.2. 2 Wt− + 【详解】 W 1 0.2 2 1.2. 2 t 11 = + += + ( )W W t t − − （3）设矩阵 111 1 11 , 11 1 111 k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A 且秩( ) 3, A = 则 k = . 【答】 -3 【详解】 由题设 r( ) 3, A = 知必有 3 111 1 11 ( 3)( 1) 0, 11 1 111 k k k k k k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =+ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 解得 k =1或 k = −3.显然 k =1时 r A( ) 1, = 不符合题意,因此一定有k = −3. 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 (4)设随机变量X,Y的数学期望都是2方差分别为1和4而相关系数为05则根据切比 雪夫不等式P{x-y≥6 【答】 【详解】另Z=X-Y,则 E(Z)=E(X)-E(Y)=0, D(Z=D(X-Y=D(X)+D(r)-2Cov(X, y 1+4-20.5√D(X√D(Y)=3 于是有 P{X-26}=P{z-E(z)≥6} D(Z) (5)设总体X服从正态分布N(002),而x,X2…X13是来自总体X的简单随机样本 则随机变量Y=+…+X服从分布,参数为 【答】 【详解】因为x~N(02)1=12…15于是~N(O.从而有 X 而且由样本的独立性可知 2)+…+(20)-x2(0)与 +…+1~x2(5)相互独立 /10 F(10,5 +…+X3)(X1 故Y服从第一个自由度为10,第二个自由度为5的F分布 选择题 考研1号网网址;ww,ky007.com
（4）设随机变量 X,Y 的数学期望都是 2,方差分别为 1 和 4,而相关系数为 0.5.则根据切比 雪夫不等式 PX Y { −≥ ≤ 6} . 【答】 1 12 【详解】 另 Z = X Y− , 则 EZ E X EY ( ) ( ) ( ) 0, = −= D Z D X Y D X D Y Cov X Y () ( ) ( ) () 2 ( ,) = −= + − =+ − 1 4 2 0.5 ( ) ( ) 3, i i D X DY = 于是有 { } { } 2 () 1 6 () 6 . 6 12 D Z P X Y P Z EZ −≥ = − ≥ ≤ = （5）设总体X服从正态分布 ( ) 2 N 0,0.2 ,而 1 2 15 X , , X X " 是来自总体X的简单随机样本， 则随机变量 ( ) 2 2 1 10 2 2 11 15 2 X X Y X X + + = + + " " 服从___分布，参数为_______。 【答】 1 12 【详解】 因为 ( ) 2 ~ 0, 2 1, 2, ,15. XN i i = " 于是 ~ 0,1 , ( ) 2 Xi N 从而有 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 10 15 2 2 ~ 10 , ~ 5, 22 2 2 X X X X χ χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " " 而且由样本的独立性可知， ( ) 2 2 1 10 2 ~ 10 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 与 ( ) 2 2 11 15 2 ~ 5 2 2 X X χ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " 相互独立. 故 ( ) ( ) 2 2 1 10 2 2 1 10 2 2 2 2 11 15 11 15 /10 2 2 ~ 10,5 . 2 /10 2 2 X X X X Y F X X X X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = + + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ " " " " 故 Y 服从第一个自由度为 10，第二个自由度为 5 的 F 分布. 二、选择题 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 (1)设函数f(x)的导数在x=a处连续,又lm ∫(x)=-1,则 x→ax-a (A)x=a是∫(x)的极小值点 (B)x=a是∫(x)的极大值点 (C)(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点 D)x=a不是∫(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点 【答】[B 【详解】由lim1=-1,知limf(x)=0,即f(a)=0,于是有 f(a=lim f(x)-f'(a) f'(x) 即f(a)=0,f"(a)=-1,故x=a是f(x)的极大值点 因此正确选项为(B) (x2+1),0≤x≤1 (2)设函数g(x)=f(n)dhn其中f(x) 则g(x)在区间 (x-1),1≤x≤2 (0,2)内 (A)无界 (B)递减 (C)不连续 (D)连续 【】 【答】[D 【详解】当0≤x<1时,有 g(x)=(x2+1)d=2x+x 2 62 当1≤x≤2时,有 21 g(x)=(x2+1)dx+(x-1)dx 即g(x) (x-1)2,1≤x≤ 36 显然g(x)在区间(0,2)内连续,所以,应选OD 考研1号网网址;ww,kvQ07com
（1）设函数 f ( ) x 的导数在 x = a 处连续,又 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 则 (A) x = a 是 f ( ) x 的极小值点. (B) x = a 是 f ( ) x 的极大值点. (C) ( , ( )) afa 是曲线 y fx = ( ) 的拐点. (D) x = a 不是 f ( ) x 的极值点, ( , ( )) afa 也不是曲线 y fx = ( ) 的拐点. 【 】 【答】 [ B] 【详解】 由 '( ) lim 1, x a f x → x a = − − 知lim '( ) 0, x a f x → = 即 f a'( ) 0 = ,于是有 '( ) '( ) '( ) "( ) lim lim 1, x a x a fx fa fx f a → → xa xa − = == − − − 即 f a'( ) 0 = , f a "( ) 1 = − ,故 x = a 是 f ( ) x 的极大值点, 因此,正确选项为(B). （2）设函数 0 () () , x g x f u du = ∫ 其中 1 2 ( 1),0 1 2 ( ) , 1 ( 1),1 2 3 x x f x x x ⎧ + ≤ ≤ ⎪⎪ = ⎨ ⎪ − ≤≤ ⎪⎩ 则 g x( ) 在区间 (0,2) 内 (A)无界 （B）递减 (C) 不连续 (D) 连续 【 】 【答】 [D] 【详解】 当0 1 ≤ x < 时,有 2 3 0 1 11 ( ) ( 1) , 2 62 x g x x dx x x = +=+ ∫ 当1 2 ≤ x ≤ 时,有 1 2 2 0 1 1 1 21 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) , 2 3 36 x g x x dx x dx x = + + − =+ − ∫ ∫ 即 3 2 1 1 ,0 1 6 2 ( ) 2 1 ( 1) , 1 2 3 6 x x x g x x x ⎧ + ≤< ⎪⎪ = ⎨ ⎪ + − ≤≤ ⎪⎩ 显然 g x( ) 在区间(0, 2) 内连续, 所以,应选(D). 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 a1 0001 21a22a23a24 0100 (3)设A= B P a3 0010 1000 0010 0100 ,其中A可逆,则B等于 (A) A PP (B) PA P (C)PPA (D) PA P 【答】[C] 【详解】因为P是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵,而P是交换第二、三列 所得的初等矩阵,于是有B=APP从而 B-=(APP)=P-P-A=PPA 故正确选项为(C) (4)设A是n阶矩阵,a是n维列向量若秩 秩(A),则线性方程组 A)AX=a必有无穷多解 (B)AX=a必有惟一解 a ax aa x (C)\a0人y 0仅有零解(O)a =0必有非零解 0八y 【】 【答】[D aa 【详解】由题设,显然有秩 =秩(A)≤n<n+1,即系数矩阵 非列满秩, 因此齐次线性方程组/Aa)X 0必有非零解 故正确选项为(D)。 (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数则X和y 的相关系数等于 【答】[A] 【详解】设X和y分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y=n-X,因此X和Y的相 考研1号网网址;ww,kvQ07com
（3）设 11 12 13 14 14 13 12 11 21 22 23 24 24 23 22 21 1 31 32 33 34 34 33 32 31 41 42 43 44 44 43 42 41 0001 0100 , ,, 0010 1000 aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ == = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ABP 2 1000 0010 , 0100 0001 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P 其中 A 可逆,则 −1 B 等于 (A) 1 1 2 − A P P （B） 1 1 2 − PA P (C) 1 1 2 − PP A (D) 1 2 1. − PA P 【 】 【答】 [C ] 【详解】 因为 P1是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而 P2 是交换第二、三列 所得的初等矩阵，于是有 B AP P = 2 1 从而 ( ) 1 1 1 1 1 1 21 1 2 1 2 − − −− − − B AP P P P A P P A == = 故正确选项为（C）. （4）设 A 是n 阶矩阵，α 是 n 维列向量.若秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ，则线性方程组 ( ) A AX =α 必有无穷多解 (B) AX =α 必有惟一解. ( ) 0 0 C y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 仅有零解 ( ) 0 0 D y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 【 】 【答】 [D] 【详解】由题设，显然有秩 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ Τ 秩（ ） Α α Α α ≤ n n < +1,即系数矩阵 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Τ Α α α 非列满秩， 因此齐次线性方程组 0 0 y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠ X Τ Α α α 必有非零解. 故正确选项为（D）。 （5）将一枚硬币重复掷 n 次,以 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 X和Y 的相关系数等于 (A) -1 (B) 0 (C) 1 2 (D) 1 【答】 [A ] 【详解】设 X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则有Y nX = − ,因此 X和Y 的相 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 关系数为r=-1 三、(本题满分8分) 设u=∫(x,y,)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及=(x)分别由下列两式 确定:e”-x=2和e'=["Smnr du dt 【详解】根据复合函数求导公式有 dz dx ax ay dx az dx 由e-xy=2两边对x求导得 e"(y+x,)-(y+x,)=0, dy -= sIn 由ex dt,两边对x求导得 e= sin(r-s) dz Sn(x-二 将其代入(*)式得 r@(、e(x du af y af 四、(本题满分8分) 已知∫(x)在(-∞,+∞)内可导且 lim/(x)=e, lim(tc)=lim[(x)-f(x-1)I 求c的值 【详解】因为lm(x+C)=lim+杂 又由拉格朗日中值定理,有 f(x)-f(x-1)=f(5y1, 于是ξ介于x-1与x之间于是 lim[f(x)-f(x-1)]=limf(s)=e 考研1号网网址;ww,kvQ07com
关系数为 r = −1. 三 、（本题满分 8 分） 设 u f xyz = (, ,) 有连续的一阶偏导数,又函数 y yx = ( ) 及 z zx = ( ) 分别由下列两式 确定: 2 xy e xy − = 和 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 求 du dx 【详解】 根据复合函数求导公式,有 . du f f dy f dz dx x y dx z dx ∂∂ ∂ =+ + ∂∂ ∂ i i (*) 由 2 xy e xy − = 两边对 x 求导,得 ( ) ( ) 0, xy dy dy e yx yx dx dx + −+ = 即 . dy y dx x = − 由 0 sin , x z x t e dt t − = ∫ 两边对 x 求导,得 sin( ) (1 ), x x z dz e x z dx − = − − i 即 ( ) 1 . sin( ) x dz e x z dx x z − = − − 将其代入(*)式,得 ( ) (1 ) . sin( ) x du f y f e x z f dx x x y x z z ∂ ∂ −∂ = − +− ∂ ∂ −∂ 四 、（本题满分 8 分） 已知 f ( ) x 在(,) −∞ +∞ 内可导,且 lim '( ) ,lim( ) lim[ ( ) ( 1)], x xxx x c fx e fx fx →∞ →∞ x c →∞ + = = −− − 求c 的值. 【详解】 因为 2 2 2 2 . lim( ) lim[(1 )] x c cx c x c x c x x x c c e xc xc − − →∞ →∞ + =+ = − − 又由拉格朗日中值定理,有 fx fx f ( ) ( 1) '( ) 1, − −= ξ i 于是ξ 介于 x −1与 x 之间,于是 lim[ ( ) ( 1)] lim '( ) x x f x fx f e ξ →∞ →∞ − −= = 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 从而 故 五、(本题满分8分) 求二重积分「y+xe2]ddy的值其中D是由直线y=x,y=-1及x=1围成 的平面区域 【详解1】积分区域如图所示 D y[l+ xe2 ]dxdy=ydxdy+rye dxdy, (1-y)dy dadu e' ldy=0 于是1y1+xe2+y dady= 【详解2】如图,D=D1+D2,其中D关于x轴对称,D2关于y轴对称,则 0 考研1号网网:ww,kv007,com D
从而 2c e e = 故 1 2 e = 五 、（本题满分 8 分） 求二重积分 1 2 2 ( ) 2 [1 ] x y D y xe dxdy + + ∫∫ 的值,其中 D 是由直线 y xy = , 1 = − 及 x =1围成 的平面区域 【详解 1】 积分区域如图所示 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 [1 ] , x y x y D D D y xe dxdy ydxdy xye dxdy + + + =+ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 其中 11 1 1 1 2 (1 ) ; y 3 D ydxdy dy dx y y dy − − = = − =− ∫∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 2 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) 2 2 1 x y x y y D xye dxdy ydy xe dx + + − = ∫∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 (1 ) 2 1 [ ]0 y y y e e dy + − = − = ∫ 于是 1 2 2 ( ) 2 2 [1 ] 3 x y D y xe dxdy + + = − ∫∫ 【详解 2】 如图， 1 2 DD D = + , ,其中 D1 关于 x 轴对称， D2 关于 y 轴对称，则 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 y[l+ xe2 ]dxdy=y[1+xe2]dxdy +y[l+xe 1(x2+y2 vandy+ ddv+0 ydxdy +0 六、已知抛物线y=px2+qx(其中p0)在第一象限捏与直线x+y=5相切, 且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S (1)问p和q为何值时,S达到最大 (2)求处此最大值 【详解】依题意知,抛物线如图所示,求得它与x轴交点的横坐标为: 0 q 面积S为 P q 5 0 q 有惟一公共点由方程组 考研1号网网址;ww,kvQ07com
2 2 2 2 2 2 1 2 1 11 ( ) ( ) ( ) 2 22 [1 ] [1 ] [1 ] x y x y x y D DD y xe dxdy y xe dxdy y xe dxdy + ++ + =+ ++ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 2 2 1 2 1 ( ) 2 0 x y D D ydxdy xye dxdy + =+ + ∫∫ ∫∫ 1 2 0 . 3 D = + =− ydxdy ∫∫ 六、 已知抛物线 2 y px qx = + （其中 p q ）在第一象限捏与直线 x y + = 5相切， 且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S. （1） 问 p和q 为何值时，S 达到最大? （2）求处此最大值. 【详解】依题意知，抛物线如图所示，求得它与 x 轴交点的横坐标为： 1 2 0, . q x x p = =− 面积 S 为 ( ) 3 2 32 2 0 . 32 6 0 p q p p q q S px qx dx x x q q − ⎛ ⎞ − = + =+ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 因直线 x y + = 5与抛物线 2 y px qx = + 相切，故它们有惟一公共点.由方程组 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 x+y=0 得y=px2+(q+1)x-5=0,其判别式必为零,即 △ +20p=0 1+ 将P代入S中,得 s(a 令S(q)= 200q2(3-4)=0 得驻点q=3当10,q>3时,S(x)1) 证明至少存在一点5∈(0.1,使得f(5)=2(1-5)/(5 详解】由f(1)=[xe-(xk,及积分中值定理知至少存在一点5∈(0.)m01 使得 f(1)=k5x2f(xk=e3f(5)即f()e2=5e-f(5) 在[51,令F(x)=xf(x)那么,F(x)在[51上连续,在(5,1)内可导,且 F(51)=F(1) 由罗尔中值定理知至少存在一点∈(51,1)c(0,1),使得 F(2)=ef(5)+5ef(e)=0, 即f(5)=(1-5-)f(2) 八、已知f(x)满足f(x)=(x)+x“e(n为正整数)且(1)=二,求函数项级数 n 考研1号网网址;ww,ky007.com
2 x y 0 y px qx ⎧ + = ⎨ ⎩ = + 得 ( ) 2 y px q x = + + −= 1 5 0, 其判别式必为零，即 ( ) ( ) 2 2 1 1 20 0, 1 . 20 ∆= + + = =− + q pp q 将 p 代入 S 中，得 ( ) ( ) 3 4 200 . 3 1 q S q q = + 令 ( ) ( ) ( ) 2 5 200 3 0. 3 1 q q S q q − ′ = = + 得驻点 q = 3.当1 3 0; q > 3时， S x ′( ) ∫ 证明至少存在一点ξ ∈(0,1), 使得 ( ) 1 f f '( ) 2 1 ( ). ξ ξ ξ − = − 【详解】由 1 1 0 (1) ( ) , x k f k xe f x dx − = ∫ 及积分中值定理,知至少存在一点 1 (0, ) [0,1], k ξ ∈ ⊂ 使得 1 1 1 1 1 1 0 (1) ( ) '( ) x k f k xe f x dx e f ξ ξ ξ − − = = ∫ 即 ( ) 1 1 1 1 f e ef (1) . ξ ξ ξ − − = 在 1 [ ,1] ξ ， 令 ( ) ( ). x F x xe f x − = 那 么 , F x( ) 在 1 [ ,1] ξ 上连续 , 在 1 ( ,1) ξ 内可导 , 且 1 F F ( ) (1). ξ = 由罗尔中值定理知,至少存在一点 1 ξ ∈( ,1) (0,1), ξ ⊂ 使得 F ef ef '( ) ( ) '( ) 0, ξ ξ ξ ξξ ξ − − =+ = , 即 ( ) 1 f f '( ) 1 ( ). ξ ξ ξ − = − 八、已知 fn ( ) x 满足 ( ) ( ) n x 1 n n f x fx xe − ′ = + （ n 为正整数）且 ( ) 1 , n e f n = 求函数项级数 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 ,n(x)之和 【详解】由已知条件可见f(x)-fn(x)=xe,这是以fn(x)为未知函数的一阶线性 非齐次微分方程,其通解为 1()=(Jx-k+c)=c|x+c 由条件/()=三,得C=0,故,(吵=e n f,(x) 记s(x)= ∑x,其收敛域为[-1),当x∈(-1)时,有 s(x)-51d=1(-x) 当x=-1时,∑(x)=-ehn2 于是,当-1≤x≤1时,有∑(x)=-eln(1-x) 九、(本题满分13分) 设矩阵A=1a1|,月=1已知线性方程组AX=B有解但不唯一试求 (!)a的值; (2)正交矩阵Q使QAQ为对角矩阵 【详解】 (1)对线性方程组AX=B的增广矩阵作行初等变换,有 考研1号网网址;ww,kvQ07com
( ) 1 n i f x ∞ = ∑ 之和. 【详解】 由已知条件可见 () () 1 , n x n n f x fx xe − ′ − = 这是以 fn ( x) 为未知函数的一阶线性 非齐次微分方程，其通解为 ( ) 1 , n dx dx n x n x f x e x e dx C e C n − − ⎛ ⎞ ∫ ∫ ⎛ ⎞ = += + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ 由条件 ( ) 1 , n e f n = 得C = 0, 故 ( ) , n x n x e f x n = ( ) 11 1 . n x n x n ii i x e x fx e n n ∞∞ ∞ == = ∑∑ ∑ = = 记 ( ) 1 , n i x s x n ∞ = = ∑ 其收敛域为[−1,1) ，当 x∈ −( 1,1) 时，有 ( ) 1 1 , 1 n i sx x x ∞ = ′ = = − ∑ 故 ( ) ( ) 0 1 ln 1 . 1 x s x dt x t = =− − − ∫ 当 x = −1时， ( ) 1 1 ln 2. n i fx e ∞ − = ∑ = − 于是，当 −≤ ≤ 1 1 x 时，有 () ( ) 1 ln 1 . x n i f xe x ∞ = ∑ =− − 九、（本题满分 13 分） 设矩阵 11 1 1 1, 1 11 2 a a a ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎢⎥ ⎦ ⎣⎦ − A β .已知线性方程组 AX = β 有解但不唯一,试求: (!) a 的值; (2) 正交矩阵 Q,使 T Q AQ 为对角矩阵. 【详解】 (1) 对线性方程组 AX = β 的增广矩阵作行初等变换,有. 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com
考研1号网:专注考研有你有我共同进步 0 0 2」100(a-1)(a+2) 因为方程组AX=B有解但不唯一,所以r(A)=r(4)<3,故a=-2 (2)由(1),有 A的特征多项式E-A=1(-3)(2+3) 故A的特征值为 4=3,2=-3,23=0 对应的特征向量依次为 ax1=(1,0.-1),a2=(1-2,1),a2=(1,1,1) 由于他们是三个不同特征值的特征向量,因此相互正交将a,a2a3单位化得 B=(=,0,-=),B2=( ),月3=( 6 √2√6 31万1 则有Q4Q=9AQ=0-30 000 十、设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=,4是A=(a)中元素an的代数余子式 (,j=12,…,n),二次型 (1)记A=(x1,x2…,x),把f(x,x2…,x) Ax,写成矩阵形式,并证 考研1号网网址;ww,ky007.com
11 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0. 1 1 2 0 0 ( 1)( 2) 2 a a a aa a a a a ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = → − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎢ + + ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ # # # # # # A 因为方程组 AX = β 有解但不唯一,所以 rr a ( ) ( ) 3, 2 A A = < =− 故 . (2) 由(1),有 11 2 1 2 1. 21 1 ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − A A 的特征多项式 λ λλ λ E A− =−+ ( 3)( 3). 故 A 的特征值为 12 3 λ = =− = 3, 3, 0. λ λ 对应的特征向量依次为 123 (1,0, 1) , (1, 2,1) , (1,1,1) T TT ααα = − =− = 由于他们是三个不同特征值的特征向量,因此相互正交,将 123 α , , α α 单位化,得 12 3 1 1 1 21 111 ( ,0, ) , ( , , ) , ( , , ) . 2 2 6 66 333 T TT ββ β = − =− = 令 1 11 2 63 2 1 0 , 6 3 111 263 Q ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则有 1 300 0 3 0. 000 T Q AQ Q AQ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 十、设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩（A）=n， Aij 是 ( ij)n n a × A = 中元素 ij a 的代数余子式 ( ) ij n , 1, 2, , = " ，二次型 ( ) 1 2 1 1 ,,, . n n ij n ij i j A f x x x xx = = A " = ∑∑ （1） 记 ( ) 1 2 ,,, n A = x x x " ,把 ( ) 1 2 1 1 ,,, . n n ij n ij i j A f x x x xx = = A " = ∑∑ 写成矩阵形式，并证 考研1号网：专注考研 有你有我 共同进步 考研1号网网址：www.ky007.com