2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求,请将所选项的字母在答案纸指定位置上 x+x (1)曲线y 渐近线的条数() (A)0(B)1 (C)2 (D)3 (2)设函数y(x)=(e2-1)e2x-2)…(em-n),其中n为正整数,则y(0=() (A)(-1)(n-1)(B)(-1)"(n-1)(C)(-1)nl(D)(-1)"n! (3)如果函数f(xy)在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是() (A)若极限lmf(x,y)存在,则fxy)在(0,0)处可微 x+=x1+1y1 (B)若极阻1f(x,y)存在,则fxy)在(0,0)处可微 (C)若fxy)在(0,0)处可微,极限lmnf(x,y) 存在 (D)若Rxy)在(0,0)处可微,极限mf(xy)存在 (4)设1=e'smxd(k123)则有O) (A)I1<l2<I3(B)13<l2<I1(C)l2<l3<l1(D)I2<l1<l3 (5)设a1=0,a2=1,a3=-1,a4=1,其中 CI C2C3C:为任意常数,则 C3 下列向量组线性相关的为( (A)a1,a2,a3(B)a1,a2,a4(C)a1,a3,a4(D)a2,a3,a4 (6)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且PAP=010,若P=(a1,a2,a3),a 002 (a1+a2,a2,a3)则QAQ=()
1 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选项的字母在答案纸指定位置上. （1）曲线 1 2 2 − + = x x x y 渐近线的条数（ ） (A) 0 (B) 1 （C）2 （D）3 （2）设函数 ( ) ( 1)( 2) ( ) 2 y x e e e n x x nx = − − − ，其中 n 为正整数，则 y’(0)=( ) (A) ( 1) ( 1)! 1 − − − n n (B) (−1) (n −1)! n (C) ( 1) ! 1 n n− − (D) ( 1) n! n − (3) 如果函数 f(x,y)在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（） （A）若极限 | | | | ( , ) lim x y f x y y x + → → 存在，则 f(x,y)在（0，0）处可微 （B）若极限 2 2 ( , ) lim x y f x y y x + → → 存在，则 f(x,y)在（0，0）处可微 （C）若 f(x,y)在（0，0）处可微，极限 | | | | ( , ) lim x y f x y y x + → → 存在 （D）若 f(x,y)在（0，0）处可微，极限 2 2 ( , ) lim x y f x y y x + → → 存在 （4）设 = kx x k I e xdx 0 sin 2 （k=1,2,3）则有（） （A） I1<I2<I3 （B）I3< I2< I1 （C）I2< I3 <I1 （D）I2<I1 <I3 (5)设 = 1 1 0 0 C ， = 2 2 1 0 C ， = − 3 3 1 1 C ， − = 4 4 1 1 C ，其中 C1C2C3C4 为任意常数，则 下列向量组线性相关的为（） （A） 1 , 2 , 3 （B） 1 , 2 , 4 （C） 1 , 3 , 4 （D） 2 , 3 , 4 (6)设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 = − 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 P AP ，若 P=（ 1 , 2 , 3 ）， = （ 1 + 2， 2， 3 ）则 = − Q AQ 1 （）
200 (A)020(B)010(C)010(D)020 001 002 002 001 (7)设随机变量x与y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则p{xy}= (A)(B)(C (D) (8)将长度为1m的木棒截成两段,则两段长度的相关系数为() (A)1 (B) 1 (D)-1 填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案琯在答题纸指定位置上 (9)若函数f(x)满足方程f”x)+(x2f(x)=0及f(x)+fx)=2e,则fx)= (10)x√2x-x2= (1)grad(xy+-)l(21)= (2)x=《(xy2)|+y+=1x≥0y≥20),则y2db (13)设ⅹ为三维单位向量,E为三阶单位矩阵本,则矩体E-xx2的秩为 (14设A,B,C是随机文件,A与C互不相容,pAB=,pC=1,p(AB|()= 三、解答题:15~23小题,共94分,请将解答写在答题纸抒写位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分分) 证明xhn +cosx≥1+ (-1<x<1 (16)(本题满分分) 2
2 （A） 0 0 1 0 2 0 1 0 0 （B） 0 0 2 0 1 0 1 0 0 （C） 0 0 2 0 1 0 2 0 0 （D） 0 0 1 0 2 0 2 0 0 (7)设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 p{x<y}=() (A) 5 1 (B) 3 1 (C) 5 2 (D) 5 4 （8）将长度为 1m 的木棒截成两段，则两段长度的相关系数为（） （A） 1 （B） 2 1 （C） 2 1 − （D） -1 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 请将答案琯在答题纸指定位置上 （9）若函数 f(x)满足方程 f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0 及 f’(x)+f(x)=2e, 则 f(x)= (10) − = x x x dx 2 0 2 2 (11) ( + ) | (2,1,1) = y z grad xy (12)设Σ=｛（x,y,z）|x+y+z=1,x≥0,y≥0,z≥0｝,则 y ds 2 = (13)设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵本，则矩体 2 E − xx 的秩为 (14)设 A，B，C 是随机文件，A 与 C 互不相容，p(AB)= 2 1 , p(C)= 3 1 , ( | ) = _ p AB C 三、解答题：15～23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸抒写位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 分） 证明 2 cos 1 1 1 ln 2 x x x x x + + − + （-1<x<1） (16)（本题满分 分）
求函数∫(x,y)=xe2的极值 (17)(本题满分分) 求幂级数∑4+4+3 x2n的收敛域及和函数 (18)(本题满分分) f() 已知曲线L: (O≤t≤),其中函数邱t)具有连续导数,且f0)=0,f'()>0( y=cost 若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离为1,求函数ft)的表达式,并求此曲线L与x 轴与y轴无边界区域的面积 (19)(本题满分分) 已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2=4 到点(0.2)的曲线段,计算曲线积分J=』3x2y+(x2+x-2y)b (20)(本题满分分)
3 求函数 2 2 2 ( , ) x y f x y xe + − = 的极值 (17)（本题满分 分） 求幂级数 n x x n n n 2 2 0 2 1 4 4 3 + + + = 的收敛域及和函数 (18) （本题满分 分） 已知曲线 L： ) 2 ( cos ( ) = = o t y t x f t ，其中函数 f(t )具有连续导数，且 f(0)=0, f’(t)>0 (0<t< 2 ), 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离为 1，求函数 f(t)的表达式，并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界区域的面积. (19) （本题满分 分） 已知 L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周 x y 2x 2 2 + = 到点（2，0），再沿圆周 4 2 2 x + y = 到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分 = + + − L J 3x ydx (x x 2y)dy 2 3 (20)（本题满分 分）
01a0 设A= 001a a001 00 (1)计算行列式|A (2)当实数a为何值时,方程Ax=β有无穷多解,并求其通解 (21)(本题满分11分) 已知A 二次型f(x,x2,x1)=x(AA)x的秩为2 0 (1)求实数a的值 (2)求正交变换x=Qy将f化为标准型 (22)(本题满分11分)
4 设 = 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 a a a a A ， − = 0 0 1 1 （1）计算行列式｜A｜ （2）当实数 a 为何值时，方程 Ax = 有无穷多解，并求其通解 (21)（本题满分 11 分） 已知 − − = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 a a A ，二次型 f x x x x A A x T T ( , , ) ( ) 1 2 3 = 的秩为 2 （1） 求实数 a 的值： （2） 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准型; (22) （本题满分 11 分）
设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为: 2 0140 0 0 (Ⅰ)求P{X=2Y (Ⅱ)求cov(XY,Y) (23)(本题满分分) 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(u,a2)与N(u,2a2),其中是未知 参数且>0,设Z=X-Y (1)求Z的概率密度f(x,a2) (2)设二1,=2,…,二n为来自总体Z的简单随机样本,求σ的最大似然估计量。; (3)证明σ2为82的无偏估计量
5 设二维离散型随机变量 X、Y 的概率分布为： 0 1 2 0 4 1 0 4 1 1 0 3 1 0 2 12 1 0 12 1 （Ⅰ）求 P｛X=2Y｝； （Ⅱ）求 cov(X-Y,Y); (23) （本题满分 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(u, 2 )与N（u,2 2） ，其中 是未知 参数且 >0，设 Z=X-Y. (1)求 Z 的概率密度 ( , ) 2 f z ； （2）设 n z ,z , ,z 1 2 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 2 ； （3）证明 2 为 2 的无偏估计量；