2002年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 、填空题(本题共5小题每小题3分满分15分把答案填在题中横线上) In2x (2)已知e"+6xy+x2-1=0,则y0) (3)y”+y2=0满足初始条件y(0)=1,y(0)=的特解是 (4)已知实二次型f(x1,x2,x3)=a(x2+x2+x3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换 可化为标准型∫=6y,则a= (5)设随机变量X~N(A,a2),且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5则 二、选择题本题共5小题每小题3分满分15分每小题给出的四个选项中只有一个符 合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质 ①f(x,y)在点(x,y)处连续,②∫(x,y)在点(x02y)处的一阶偏导数连续 ③f(x,y)在点(x0,y)处可微,④f(x,y)在点(x0,y)处的一阶偏导数存在 则有 (A)②→③→① (B)③→②→① (C)③→④→① (D)③→①→④ 2)设ln≠0,且 则级数∑(-1) )为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定 (3)设函数f(x)在R+上有界且可导,则 (A)当imf(x)=0时,必有limf(x)=0 (B)当limf(x)存在时,必有 (C)当imf(x)=0时,必有imf(x)=0(①D)当linf(x)存在时,必有 lim f(x)=0
2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) + e x x dx 2 ln = _____________. (2)已知 2 e 6 1 0 y + + − = xy x ,则 y (0) =_____________. (3) 0 2 yy + y = 满足初始条件 1 (0) 1, (0) 2 y y = = 的特解是_____________. (4)已知实二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = a(x1 + x + x ) + 4x x + 4x x + 4x x 经正交变换 可化为标准型 2 6 1 f = y ,则 a =_____________. (5)设随机变量 ~ ( , ) 2 X N ,且二次方程 4 0 2 y + y + X = 无实根的概率为 0.5,则 =_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数 f (x, y) 的四条性质: ① f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续, ② f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的一阶偏导数连续, ③ f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微, ④ f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)② ③ ① (B)③ ② ① (C)③ ④ ① (D)③ ① ④ (2)设 un 0 ,且 lim = 1 → n n u n ,则级数 ) 1 1 ( 1) ( 1 1 + + − + n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数 f (x) 在 + R 上有界且可导,则 (A)当 lim ( ) = 0 →+ f x x 时,必有 lim ( ) = 0 →+ f x x (B) 当 lim f (x) x →+ 存 在 时 , 必 有 lim ( ) = 0 →+ f x x (C) 当 lim ( ) 0 0 = → + f x x 时,必有 lim ( ) 0 0 = → + f x x (D) 当 lim ( ) 0 f x x → + 存在时 , 必 有 lim ( ) 0 0 = → + f x x
(4)设有三张不同平面其方程为ax+by+C1=d1(i=12,3)它们所组成的线性方程 组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X和y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fx(x)和f(y),分 布函数分别为Fx(x)和F(y),则 (A)fx(x)+f(y)必为密度函数 (B)fx(x)f(y)必为密度函数 (C)Fx(x)+F(y)必为某一随机变量的分布函数(D)Fx(x)F(y)必为某一随机变 量的分布函数 三、(本题满分6分) 设函数∫(x)在x=0的某邻域具有一阶连续导数,且f(O)f(0)≠0,当h→>0时,若 qy(h)+bf(2h)-f(0)=o(h)试求a,b的值 四、(本题满分7分) 已知两曲线y=f(x)与y=「。d在点(00)处的切线相同求此切线的方程并 求极限imnf(-) n 五、(本题满分7分) 计算二重积分∫eyd中D=(x,y)|0≤xs10sysl 六、(本题满分8分) 设函数∫(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线起 点为(a,b),终点为(c,d) 1+y f(xy)dx+-Ly-f(xy)-ldy
(4)设有三张不同平面,其方程为 i i i di a x + b y + c z = ( i = 1,2,3 )它们所组成的线性方程 组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设 X 和 Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 f (x) X 和 f (y) Y ,分 布函数分别为 F (x) X 和 F (y) Y ,则 (A) f (x) X ＋ f (y) Y 必为密度函数 (B) f (x) X f (y) Y 必为密度函数 (C) F (x) X ＋ F (y) Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) F (x) X F (y) Y 必为某一随机变 量的分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域具有一阶连续导数,且 f (0) f (0) 0 ,当 h →0 时,若 af (h) + bf (2h) − f (0) = o(h) ,试求 a,b 的值. 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y = f (x) 与 arctan 2 0 e x t y dt − = 在点 (0,0) 处的切线相同.求此切线的方程,并 求极限 ) 2 lim ( n nf n→ . 五、(本题满分 7 分) 计算二重积分 2 2 max{ , } e x y D dxdy ,其中 D = {( x, y) | 0 x 1,0 y 1} . 六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在 R 上具有一阶连续导数, L 是上半平面( y >0)内的有向分段光滑曲线,起 点为( a,b ),终点为( c, d ). 记 y f x y dy y x y f x y dx y I [1 ( )] [ ( ) 1] 1 2 2 2 = + + −
(1)证明曲线积分I与路径L无关 (2)当ab=cd时,求的值 七、(本题满分7分) (1)验证函数y(x)= (3m(-<x<+∞)满足微分方程y”+y+y=e (2)求幂级数y(x)= 的和函数 (3n) 八、(本题满分7分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为 D={(x,y)|x2+y2-xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75-x2-y2+xy (1)设M(x0,y)为区域D上一点问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若 此方向的方向导数为g(x0,y),写出g(x0,y0)的表达式 (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起 点也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点试确定攀登起点的位 置 九、(本题满分6分) 已知四阶方阵A=(12a2,a3,a4),1232a4均为四维列向量其中a23,4线性 无关,a1=22-3,若阝=a1+a2+3+4,求线性方程组Ax=β的通解 十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵, (1)若A,B相似证明A,B的特征多项式相等 (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立 (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立 十一、(本题满分7分) 设维随机变量X的概率密度为 cos ≤x≤X f(x)=2 其它
(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关. (2)当 ab = cd 时,求 I 的值. 七、(本题满分 7 分) (1)验证函数 = = 0 3 (3 )! ( ) n n n x y x ( − x + )满足微分方程 e x y y y + + = . (2)求幂级数 = = 0 3 (3 )! ( ) n n n x y x 的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设 有 一 小 山 , 取 它 的 底 面 所 在 的 平 面 为 xoy 面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为 {( , ) | 75} 2 2 D = x y x + y − xy ,小山的高度函数为 h(x, y) = − x − y + xy 2 2 75 . (1)设 ( , ) 0 0 M x y 为区域 D 上一点,问 h(x, y) 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若 此方向的方向导数为 ( , ) 0 0 g x y ,写出 ( , ) 0 0 g x y 的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起 点.也就是说要在 D 的边界线上找出使(1)中 g(x, y) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位 置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵 1 2 3 4 A = ( , , , ) α α α α , 1 2 3 4 α , , , α α α 均为四维列向量,其中 234 α , , α α 线性 无关, 1 2 3 α = − 2α α .若 β = + + + α1 2 3 4 α α α ,求线性方程组 Ax = β 的通解. 十、(本题满分 8 分) 设 AB, 为同阶方阵, (1)若 AB, 相似,证明 AB, 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当 AB, 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为 f x( ) = 1 cos 0 2 2 0 x x x 其它
对X独立地重复观察4次用y表示观察值大于z的次数求y2的数学期望 十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为 26(1-6) 其中6(0<6<)是未知参数,利用总体X的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3 求θ的矩估计和最大似然估计值
对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 3 的次数,求 2 Y 的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2 2 (1− ) 2 1−2 其中 ( 1 0 2 )是未知参数,利用总体 X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3. 求 的矩估计和最大似然估计值