2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 、填空题(本题共6小题每小题4分满分24分把答案填在题中横线上) (1)田线y-2x+1 的斜渐近线方程为 (2)微分方程xy+2y=xhx满足y(1)=一的解为 9 (3)设函数以(xy)=1++,x2 612+18,单位向量h=11,则 (4)设9是由锥面z=x2+y2与半球面z=√R2-x2-y2围成的空间区域Σ是Q 的整个边界的外侧则|xdx+yzdx+axdy= (5)设a123均为3维列向量记矩阵 A=(1,a2,a3),B=(1+2+3,1+22+4a31+302+93) 如果A=1那么B (6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2…,X中任取一个数,记为y,则 P{Y=2}= 二、选择题本题共8小题每小题4分满分32分每小题给出的四个选项中只有一项符 合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数f(x)=m√1+x”,则f(x)在(-∞+∞)内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"M分N表示"M的充分必要条件是 N",则必有 (A)F(x)是偶函数→→f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数→∫(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数分f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数→f(x)是单
2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 2 1 2 + = x x y 的斜渐近线方程为 _____________. (2)微分方程 xy + 2y = x ln x 满足 9 1 y(1) = − 的解为____________. (3) 设 函 数 6 12 18 ( , , ) 1 2 2 2 x y z u x y z = + + + , 单 位 向 量 {1,1,1} 3 1 n = , 则 n (1,2,3) u =.________. (4)设 是由锥面 2 2 z = x + y 与半球面 2 2 2 z = R − x − y 围成的空间区域, 是 的整个边界的外侧,则 xdydz + ydzdx + zdxdy = ____________. (5)设 1 2 3 α , , α α 均为 3 维列向量,记矩阵 1 2 3 A = ( , , ) α α α , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B = + + + + + + ( , 2 4 , 3 9 ) α α α α α α α α α , 如果 A =1,那么 B = . (6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X , 再从 1,2, , X 中任取一个数, 记为 Y , 则 P{Y = 2} =____________. 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数 n n n f x x 3 ( ) = lim 1+ → ,则 f x( ) 在 (−,+) 内 (A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点 (8)设 F x( ) 是连续函数 f x( ) 的一个原函数, "M N" 表示 "M 的充分必要条件是 N ", 则必有 (A) F x( ) 是偶函数 f x( ) 是奇函数 (B) F x( ) 是奇函数 f x( ) 是偶函数 (C) F x( ) 是周期函数 f x( ) 是周期函数 (D) F x( ) 是单调函数 f x( ) 是单
调函数 (9)设函数(x,y)=(x+y)+0(x-y)+[v()dh,其中函数g具有二阶导数,y 具有一阶导数,则必有 a2u a2 a-ua-u D)u andy ay (10)设有三元方程xy-lny+e=1,根据隐函数存在定理,存在点(O,1,1)的一个邻域, 在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数二=(x,y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,=)和z=x(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=x(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,2)和y=y(x,) (1)设A,乙2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为a12,则 a1,A(1+a2)线性无关的充分必要条件是 (A)1≠0 )1=0 (D)λ,=0 (12)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵交换A的第1行与第2行得矩阵BA",B分别为A,B 的伴随矩阵,则 (A)交换A的第1列与第2列得B (B)交换A的第1行与第2行得B (C)交换A的第1列与第2列得-B D)交换A的第1行与第2行得-B (13)设二维随机变量(X,)的概率分布为 0 0 0.4 已知随机事件{X=0}与{X+y=1}相互独立,则
调函数 (9)设函数 + − = + + − + x y x y u(x, y) (x y) (x y) (t)dt , 其中函数 具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u = − (B) 2 2 2 2 y u x u = (C) 2 2 2 y u x y u = (D) 2 2 2 x u x y u = (10)设有三元方程 ln e 1 xz xy z y − + = ,根据隐函数存在定理,存在点 (0,1,1) 的一个邻域, 在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z z x y = ( , ) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x y z = ( , ) 和 z z x y = ( , ) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y y x z = ( , ) 和 z z x y = ( , ) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x y z = ( , ) 和 y y x z = ( , ) (11) 设 1 2 , 是矩阵 A 的两个不 同的特征 值, 对应的特 征向量 分别为 1 2 α ,α , 则 α1 , 1 2 A( ) α +α 线性无关的充分必要条件是 (A) 1 0 (B) 2 0 (C) 1 = 0 (D) 2 = 0 (12)设 A 为 n n( 2) 阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 * * B A B . , 分别为 AB, 的伴随矩阵,则 (A)交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * B (B)交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * B (C)交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * −B (D)交换 * A 的第1行与第2行得 * −B (13)设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 {X = 0} 与 {X + Y = 1} 相互独立,则
(A)a=0.2,b=03 (B)a=04,b=0.1 (C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=04 (14)设X1,X2…Xn(n≥2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为 样本方差,则 (A)nX~N(0,1) r(n-1) (D) 1~F(,n-1) S ∑2 三、解答题(本题共9小题满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设D={x,y)x2+y2≤√2,x≥0,y20,x2+y2表示不超过1+x2+y2的最 大整数计算二重积分1+x2+y21dd (16(本题满分12分) 求幂级数∑(-1)”(1+-)x2的收敛区间与和函数f(x) (17)(本题满分11分) 如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点 直线l与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线其交点 为(2,4).设函数∫(x)具有三阶连续导数,计算定积分 [(x2+x)/x)k (18)(本题满分12分) 已知函数∫(x)在[0,上连续在(O,1)内可导,且f(O)=0,f(1)=1.证明 (1)存在∈(01),使得f()=1-5 (2)存在两个不同的点7,∈(0,1),使得f(7)f(=)=1 (19)(本题满分12分) 设函数φ(y)具有连续导数在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分
(A) a b = = 0.2, 0.3 (B) a b = = 0.4, 0.1 (C) a b = = 0.3, 0.2 (D) a b = = 0.1, 0.4 (14)设 , , , ( 2) X1 X2 Xn n 为来自总体 N(0,1) 的简单随机样本, X 为样本均值, 2 S 为 样本方差,则 (A) nX ~ N(0,1) (B) 2 2 nS n ~ ( ) (C) ~ ( 1) ( 1) − − t n S n X (D) 2 1 2 2 ( 1) ~ (1, 1) n i i n X F n X = − − 三 、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 11 分) 设 {( , ) 2, 0, 0} 2 2 D = x y x + y x y ,[1 ] 2 2 + x + y 表示不超过 2 2 1+ x + y 的最 大整数. 计算二重积分 + + D xy[1 x y ]dxdy. 2 2 (16)(本题满分 12 分) 求幂级数 = − − − + 1 1 2 ) (2 1) 1 ( 1) (1 n n n x n n 的收敛区间与和函数 f x( ) . (17)(本题满分 11 分) 如图,曲线 C 的方程为 y f x = ( ) ,点 (3,2) 是它的一个拐点, 直线 1 l 与 2 l 分别是曲线 C 在点 (0,0) 与 (3,2) 处的切线,其交点 为 (2,4) . 设函数 f x( ) 具有三阶连续导数 , 计算定积分 + 3 0 2 (x x) f (x)dx. (18)(本题满分 12 分) 已知函数 f x( ) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导,且 f f (0) 0, (1) 1 = = . 证明: (1)存在 (0,1), 使得 f ( ) = 1− . (2)存在两个不同的点 , (0,1) ,使得 f () f ( ) = 1. (19)(本题满分 12 分) 设函数 ( y) 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上,曲线积分
o() 的值恒为同一常数 ()证明对右半平面x>0内的任意分段光滑单闭曲线C,有y在+2=0 (2)求函数p(y)的表达式 (20)(本题满分9分) 已知二次型f(x1,x2x3)=(1-a)x12+(1-a)x2+2x3+2(+a)x1x2的秩为2 (1)求a的值; (2)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2x3)化成标准形 (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解 (21)(本题满分9分) 123 知3阶矩阵A的第一行是(a.bc)a,b,c不全为零矩阵B=246k为常数 且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解 (22)(本题满分9分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 104x2)为来自总体N(O,1)的简单随机样本,X为样本均值,记 X-X 求(1)11的方差D,=1,2,…,n (2)Y1与Xn的协方差Cov(Y1,n)
2 4 ( ) 2 L 2 y dx xydy x y + + 的值恒为同一常数. (1)证明:对右半平面 x 0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C, 有 2 4 ( ) 2 0 C 2 y dx xydy x y + = + . (2)求函数 ( y) 的表达式. (20)(本题满分 9 分) 已知二次型 1 2 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f (x , x , x ) = (1− a)x + (1− a)x + 2x + 2(1+ a)x x 的秩为 2. (1)求 a 的值； (2)求正交变换 x y = Q ,把 ( , , ) 1 2 3 f x x x 化成标准形. (3)求方程 ( , , ) 1 2 3 f x x x =0 的解. (21)(本题满分 9 分) 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 (a,b,c), a,b,c 不全为零,矩阵 123 2 4 6 3 6 k = B ( k 为常数), 且 AB O= ,求线性方程组 Ax = 0 的通解. (22)(本题满分 9 分) 设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 f x y ( , ) = 1 0 0 1,0 2 x y x 其它 求:(1) ( , ) X Y 的边缘概率密度 f (x), f (y) X Y . (2) Z = 2X −Y 的概率密度 f (z). Z (23)(本题满分 9 分) 设 , , , ( 2) X1 X2 Xn n 为来自总体 N(0,1) 的简单随机样本, X 为样本均值, 记 Y X X,i 1,2, ,n. i = i − = 求:(1) Yi 的方差 DYi ,i =1,2, ,n . (2) Y1 与 Yn 的协方差 Cov( , ). Y Y1 n