2006年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 、填空题(本题共6小题每小题4分满分24分把答案填在题中横线上) (1)lim 1-cOS x (2)微分方程y y(1-x) 的通解是 (3)设∑是锥面 0≤z≤1)的下侧,则 xdyd=+2ydcdx+(2-D)dxdy (4)点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离 (5)设矩阵A21 E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+2E,则 (6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则 P{max{X,H}≤l 二、选择题(本题共8小题每小题4分满分32分.每小题给出的四个选项中只有一项 符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数y=f(x)具有二阶导数,且∫(x)>0,f(x)>0,Ax为自变量x在x0处的增 量,Δy与Φ分别为∫(x)在点x处对应的增量与微分,若x>0,则 (A)0<dx<△ (B)0<4y<dy (C)4y<dy<0 (D)dy<Ay<0 8)设∫(x,y)为连续函数则「def(rcos, sino)rdr等于 (A) ∫(x,yky f(x, yy (O)。2df(x,y)tx
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1) 0 ln(1 ) lim 1 cos x x x → x + = − . (2)微分方程 y x (1 ) y x − = 的通解是 . (3) 设 是锥面 2 2 z x y = + ( 0 1 z ) 的下侧 , 则 xdydz ydzdx z dxdy 2 3( 1) + + − = . (4)点 (2,1, 0) 到平面 3 4 5 0 x y z + + = 的距离 z = . (5) 设矩阵 2 1 1 2 = − A , E 为 2 阶 单 位 矩 阵 , 矩 阵 B 满 足 BA B E = + 2 , 则 B = . (6) 设随机变量 X 与 Y 相互独立 , 且均服从区间 [0,3] 上的均匀分布 , 则 P X Y max{ , } 1 = . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数 y f x = ( ) 具有二阶导数,且 f x f x ( ) 0, ( ) 0 , x 为自变量 x 在 0 x 处的增 量, y 与 dy 分别为 f x( ) 在点 0 x 处对应的增量与微分,若 x 0,则 (A) 0 dx y (B) 0 y dy (C) y dy 0 (D) dy y 0 (8)设 f x y ( , ) 为连续函数,则 1 4 0 0 d f r r rdr ( cos , sin ) 等于 (A) 2 2 1 2 0 ( , ) x x dx f x y dy − (B) 2 2 1 2 0 0 ( , ) x dx f x y dy − (C) 2 2 1 2 0 ( , ) y y dy f x y dx − (C) 2 2 1 2 0 0 ( , ) y dy f x y dx −
(9)若级数∑a收敛则级数 (A)∑收敛 (B∑(-1”an收敛 (C)∑a,an收敛 吐土收敛 (10)设f(x,y)与(x,y)均为可微函数且9(x,y)≠0.已知(x,y)是f(x,y)在约 束条件q(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是 (A)若f(x,y)=0,则f(x,y0)=0 (B)若f(x2y)=0 则 f(x0,y)≠0 (C)若f(x,y)≠0,则fy(x0,y)=0 (D)若f(x0,y)≠0 则 f(x0,y0)≠0 (1)设a1,a2,…,均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是 (A)若12a2,…a,线性相关,则Aa12Aa2…,Aa,线性相关 (B)若a1,2,…很,线性相关则Aa1,Aa2,…,Aa,线性无关 (C)若a1,a2,…,线性无关则Aa12Aa2…Aa,线性相关 (D)若a1,a2,…,a2,线性无关则Aa1,Aa2…Aa2,线性无关 (12)设A为3阶矩阵将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2 列得C,记P=010,则 (A)C=P-A (B)C=PAP (C)C=PAP (D)C=PAP (13)设A,B为随机事件,且P(B)>0,P(AB)=1,则必有 (A)P(AUB)>P(A) (B)P(AUB)>P(B)
(9)若级数 1 n n a = 收敛,则级数 (A) 1 n n a = 收敛 (B) 1 ( 1)n n n a = − 收敛 (C) 1 1 n n n a a + = 收敛 (D) 1 1 2 n n n a a + = + 收敛 (10)设 f x y ( , ) 与 ( , ) x y 均为可微函数,且 1 ( , ) 0 y x y .已知 0 0 ( , ) x y 是 f x y ( , ) 在约 束条件 ( , ) 0 x y = 下的一个极值点,下列选项正确的是 (A)若 0 0 ( , ) 0 x f x y = ,则 0 0 ( , ) 0 y f x y = (B) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y = , 则 0 0 ( , ) 0 y f x y (C)若 0 0 ( , ) 0 x f x y ,则 0 0 ( , ) 0 y f x y = (D) 若 0 0 ( , ) 0 x f x y , 则 0 0 ( , ) 0 y f x y (11)设 1 2 , , , , α α αs 均为 n 维列向量, A 是 m n 矩阵,下列选项正确的是 (A)若 1 2 , , , , α α αs 线性相关,则 1 2 , , , , Aα Aα Aαs 线性相关 (B)若 1 2 , , , , α α αs 线性相关,则 1 2 , , , , Aα Aα Aαs 线性无关 (C)若 1 2 , , , , α α αs 线性无关,则 1 2 , , , , Aα Aα Aαs 线性相关 (D)若 1 2 , , , , α α αs 线性无关,则 1 2 , , , , Aα Aα Aαs 线性无关. (12)设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C,记 1 1 0 0 1 0 0 0 1 = P ,则 (A) −1 C P AP = (B) −1 C PAP = (C) T C P AP = (D) T C PAP = (13)设 A B, 为随机事件,且 P B P A B ( ) 0, ( | ) 1 = ,则必有 (A) P A B P A ( ) ( ) (B) P A B P B ( ) ( )
(C)P(AU∪B)=P(A (D)P(AUB)=P(B) (14)设随机变量X服从正态分布N(4,G2),服从正态分布N(2,a2) 且P{X-k1}>P{Y-2k1},则 (B)a1 11 三、解答题(本题共9小题满分9分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D2(x1)2+y25Lx≥0计算三重积分/= 1+x] dxd (16)(本题满分12分) 设数列{x}满足00}内数f(xy)是有连续偏导数且对任意的>0都有 f(ax,ty)=tf(x,y) 证明:对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
(C) P A B P A ( ) ( ) = (D) P A B P B ( ) ( ) = (14)设随机变量 X 服从正态分布 2 1 1 N( , ) ,Y 服从正态分布 2 2 2 N( , ) , 且 1 2 P X P Y {| | 1} {| | 1}, − − 则 (A) 1 2 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 1 2 三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分) 设区域 D= ( ) 2 2 x y x y x , 1, 0 + ,计算二重积分 2 2 1 1 D xy I dxdy x y + = + + . (16)(本题满分 12 分) 设数列 xn 满足 0 , sin 1,2,... = = x x x n 1 1 + n ( ). 求:(1)证明 lim n x x → 存在,并求之. (2)计算 2 1 1 lim n x n x n x x + → . (17)(本题满分 12 分) 将函数 ( ) 2 2 x f x x x = + − 展开成 x 的幂级数. (18)(本题满分 12 分) 设函数 f u( )在(0, , +)内具有二阶导数 且 ( ) 2 2 z f x y = + 满足等式 2 2 2 2 0 z z x y + = . (1)验证 ( ) ( ) 0 f u f u u + = . (2)若 f f (1 0, 1 1, ) = = ( ) 求函数 f u( ) 的表达式. (19)(本题满分 12 分) 设在上半平面 D x y y = ( , 0 ) 内,数 f x y ( , ) 是有连续偏导数,且对任意的 t 0 都有 ( ) ( ) 2 f tx ty t f x y , , = . 证 明 : 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L , 都 有
∮y(x,y)-8(xy)h=0 (20)(本题满分9分) 知非齐次线性方程组 x+x2+x3+x4=-1 4x1+3x,+5 ax,+x,+3x,-bx,=1 有3个线性无关的解 (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2 (2)求a,b的值及方程组的通解 (21)(本题满分9分) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3向量a1=(-12-1),a2=(0,-11)是线 性方程组Ax=0的两个解 (1)求A的特征值与特征向量 (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ=A (22)(本题满分9分) -1<x<0 随机变量x的概率密度为f(x)=1,0≤x<2令y=x2F(x,y)为二维随机变量 0,其它 (X,Y)的分布函数 (1)求y的概率密度f(y) (2)F-,4 (23)(本题满分9分) 0 设总体X的概率密度为F(X,01-01≤x<2,其中O是未知参数 0其它 (0<6<1),X1X2…,Xn为来自总体X的简单随机样本记N为样本值x1, 中小于1 的个数,求O的最大似然估计
( , ) ( , ) 0 L yf x y dx xf x y dy − = . (20)(本题满分 9 分) 已知非齐次线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x ax x x bx + + + = − + + − = − + + − = 有 3 个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2. (2)求 a b, 的值及方程组的通解. (21)(本题满分 9 分) 设3阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为3,向量 1 2 ( 1,2, 1 , 0, 1,1 ) ( ) T T α = − − = − α 是线 性方程组 Ax = 0 的两个解. (1)求 A 的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A ,使得 T Q AQ A= . (22)(本题满分 9 分) 随机变量 x 的概率密度为 ( ) ( ) 2 1 , 1 0 2 1 ,0 2 , , 4 0, 令 其它 x x f x x y x F x y − = = 为二维随机变量 ( , ) X Y 的分布函数. (1)求 Y 的概率密度 f y Y ( ). (2) 1 ,4 2 F − . (23)(本题满分 9 分) 设总体 X 的概率密度为 F X( ,0) = 1 0 − 0 1 1 2 x x 其它 , 其 中 是未知参数 (0 1) , 1 2 n X X X , ..., 为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 1 2 , ..., n x x x 中小于 1 的个数,求 的最大似然估计