2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有 个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)已知当x→>0时,函数f(x)=3sinx-sin3x与是cx等价无穷小,则 A)k=1,c=4 C)k=3,c=4 (2)已知f(x)在x=0处可导,且(0)=0,则1mx(x)=2/(x) A)-2f(0)(B)-f(0)(C)f(0) (D)0 (3)设{un}是数列,则下列命题正确的是 (A)若∑un收敛,则∑(l2n1+2n)收敛 )若∑(2n-1+2n)收敛,则∑收敛 ()若∑un收敛,则∑(a2n-=t2)收敛 (D)若∑(2n1-2n)收敛,则∑un收敛 (4)设I=|4 In (sin x)dr,J=|4ln(cotx)ax,K=4ln(cosx)dx则I,J,K的大 小关系是 )I<J<K (B)I<K<J (C)J<Ⅰ<K(D)K<J<I (5)设A为3阶矩阵,将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3 行得单位矩阵记为P=110,P=001,则A 010 (A)PP (B)P-P PP (D)PP
2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1) 已知当 x →0 时，函数 f x x x ( ) 3sin sin 3 = − 与是 k cx 等价无穷小，则 (A) k c = = 1, 4 (B) k c = = − 1, 4 (C) k c = = 3, 4 (D) k c = = − 3, 4 (2) 已知 f x( ) 在 x = 0 处可导，且 f (0) 0 = ,则 2 3 3 0 ( ) 2 ( ) lim x x f x f x → x − = (A) ' −2 (0) f (B) ' − f (0) (C) ' f (0) (D) 0 (3) 设 un 是数列，则下列命题正确的是 (A) 若 1 n n u = 收敛，则 2 1 2 1 ( ) n n n u u − = + 收敛 (B) 若 2 1 2 1 ( ) n n n u u − = + 收敛，则 1 n n u = 收敛 (C) 若 1 n n u = 收敛，则 2 1 2 1 ( ) n n n u u − = − 收敛 (D) 若 2 1 2 1 ( ) n n n u u − = − 收敛，则 1 n n u = 收敛 (4) 设 4 0 I x dx ln(sin ) = , 4 0 J x dx ln(cot ) = , 4 0 K x dx ln(cos ) = 则 I , J , K 的大 小关系是 (A) I J K (B) I K J (C) J I K (D) K J I (5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵记为 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 P = ， 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 P = ，则 A = (A) PP1 2 (B) 1 P P 1 2 − (C) PP2 1 (D) 1 P P 2 1 −
()设A为4×3矩阵,,n2,73是非齐次线性方程组Ax=B的3个线性无关的 解,k1,k2为任意常数,则Ax=B的通解为 n2+73 k1(n2-71) B)2- +k2(72-n1) 2 ()++k(n3-m)+k(72-n) 2 72-73 k2(72-n1)+k3(3-7) (7)设F1(x),F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度f(x),f(x)是连续函数 则必为概率密度的是 (A)f(x)/2(x) (B)2/2(x)F1(x) C)f(x)F,(x) (D) f(x)F,(x)+f,(x)F(x) (8)设总体X服从参数(>0)的泊松分布,X1,x12…Xn(n≥2)为来自总体的简 单随即样本,则对应的统计量7 x1,72 X+-X (A)ET>ET, DT>DT. (BET1>E2,D7D72 ①D)E7<ET2,D7<DT2 填空题:9^14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (9)设∫(x)=limx(1+31)2,则f(x)= (10)设函数二=(1+-)”,则dl (11)曲线tan(x+y+)=e在点(0,0)处的切线方程为 2)曲线y=√x2-1,直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体 的体积 13)设二次型f(x1,X2,X3)=xAx的秩为1,A中行元素之和为3,则∫在正交变 换下x=Qy的标准型为
(6) 设 A 为 4 3 矩阵,1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax = 的 3 个线性无关的 解， 1 k , 2 k 为任意常数，则 Ax = 的通解为 (A) 2 3 1 2 1 ( ) 2 k + + − (B) 2 3 2 2 1 ( ) 2 k − + − (C) 2 3 1 3 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 k k + + − + − (D) 2 3 2 2 1 3 3 1 ( ) ( ) 2 k k − + − + − (7) 设 1 F x( ) , 2 F x( ) 为两个分布函数，其相应的概率密度 1 f x( ) , 1 f x( ) 是连续函数， 则必为概率密度的是 (A) 1 2 f x f x ( ) ( ) (B) 2 1 2 ( ) ( ) f x F x (C) 1 2 f x F x ( ) ( ) (D) 1 2 2 1 f x F x f x F x ( ) ( ) ( ) ( ) + (8) 设总体 X 服从参数 ( 0) 的泊松分布， 1 1 , , ( 2) X X X n n 为来自总体的简 单随即样本，则对应的统计量 1 1 1 n i i T X n = = ， 1 2 1 1 1 1 n i n i T X X n n − = = + − (A) 1 2 1 2 ET ET DT DT , (B) 1 2 1 2 ET ET DT DT , (C) 1 2 1 2 ET ET DT DT , (D) 1 2 1 2 ET ET DT DT , 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设 0 ( ) lim (1 3 ) x t t f x x t → = + ，则 ' f x( ) = ______. (10) 设函数 (1 ) x x y z y = + ，则 (1,1) dz | = ______. (11) 曲线 tan( ) 4 y x y e + + = 在点 (0,0) 处的切线方程为______. (12) 曲线 2 y x = −1 ，直线 x = 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体 的体积______. (13) 设二次型 1 2 3 ( , , ) T f X X X x Ax = 的秩为 1， A 中行元素之和为 3，则 f 在正交变 换下 x Qy = 的标准型为______
(14)设二维随机变量(X,Y)服从N(A,,a2,a2;0),则E(XY2)= 三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) V1+2sin 求极限lim xIn(1+x) (16)(本题满分10分) 已知函数∫(lν)具有连续的二阶偏导数,f(1,1)=2是f(l,v)的极值 a2 z=/[(x+y)f(x,y)。求 Croy (17)(本题满分10分) arcs in√x+hnx (18)(本题满分10分) 证明4 arctan x-x+4-√3=0恰有2实根 (19)(本题满分10分) f(x)在[有连续的导数,f(0)=1,且∫/(x+y)oh=J(0db, D D4={(x,y)10sx≤t,0sys1,0≤x+yst}(0<t≤1),求f(x)的表达式 (20)(本题满分11分) 设3维向量组a1=(10,1),a2=(,1,1),a3=(1,3,5)不能由B1=(1,a,1), B2=(1,2,3),B3=(,3,5)线性标出 求:(I)求a (Ⅱ)将月,B2,B3由a1,a2,a3线性表出 (21)(本题满分11分) 已知A为三阶实矩阵,R(4)=2,且400=00
(14) 设二维随机变量 ( , ) X Y 服从 2 2 N( , ; , ;0) ，则 2 E XY ( ) = ______. 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分) 求极限 0 1 2sin 1 lim ln(1 ) x x x → x x + − − + . (16) (本题满分 10 分) 已知函数 f u v ( , ) 具 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ， f (1,1) 2 = 是 f u v ( , ) 的极值， z f x y f x y = + ( ), ( , ) 。求 2 (1,1) | z x y . (17) (本题满分 10 分) 求 arcsin ln x x dx x + (18) (本题满分 10 分) 证明 4 4arctan 3 0 3 x x − + − = 恰有 2 实根。 (19) (本题满分 10 分) f x( ) 在 0,1 有 连 续 的 导 数 ， f (0) 1 = ， 且 ' ( ) ( ) D D t t f x y dxdy f t dxdy + = ， {( , ) | 0 , 0 , 0 }(0 1) t D x y x t y t x y t t = + ，求 f x( ) 的表达式。 (20) (本题满分 11 分) 设 3 维向量组 1 1,0,1 T =（ ）， 2 0,1,1 T =（ ）， 3 1,3,5 T =（ ） 不能由 1 1, ,1 T =（ a ）， 2 1, 2,3 T =（ ）， 3 1,3,5 T =（ ） 线性标出。 求：(Ⅰ)求 a ； (Ⅱ)将 1， 2 ， 3 由 1 ，2 ， 3 线性表出. (21) (本题满分 11 分) 已知 A 为三阶实矩阵， R A( ) 2 = ，且 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 A − = −
求:(1)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求A (22)(本题满分11分) 已知X,Y的概率分布如下: P|1/32/3 P1/31/3|1/3 且P(X2=y2)=1, 求:(I)(X,Y)的分布 (I)Z=XY的分布 (ⅢD)px (23)(本题满分11分) 设(X,)在G上服从均匀分布,G由x-y=0,x+y=2与y=0围成 求:(1)边缘密度fx(x) (II)fr(xly)o
求：(Ⅰ) 求 A 的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求 A (22) (本题满分 11 分) 已知 X ，Y 的概率分布如下： X 0 1 Y -1 0 1 P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3 且 2 2 P( ) 1 X Y = = ， 求：(Ⅰ) ( ) X Y ， 的分布； (Ⅱ) Z XY = 的分布； (Ⅲ) XY . (23) (本题满分 11 分) 设 ( , ) X Y 在 G 上服从均匀分布， G 由 x y − = 0， x y + = 2 与 y = 0 围成。 求：(Ⅰ)边缘密度 ( ) X f x ； (Ⅱ) | ( | ) X Y f x y