习题三 1.已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=06,条件概 率P(B|A)=0.8,试求P(AB)及P(AB) 解P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×08=04 P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB) =1-0.5-0.6+04=03 2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个), 求第三次才取得正品的概率 解 100×99×9899×981078 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28, 两项投资都做的概率为0.19 (1)已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2)已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少? 解记A={基金},B={股票},则P(A)=0.58,P(B)=028.P(AB)=019 (1)P(B|A) P(AB)0.19 0.327 P(A)0.58 (2)PB)=P(AB)_019 0.678 P(B)0.28 4.给定P(A)=0.5,P(B)=03,PAB)=0.15,验证下面四个等式: P(AlB)=P(A), P(AlB)=P(A), P(BIA)=P(B), P(B A)=P(B) 解P(A1B)=(46)=015=1=P(4 P(B)0.32 P(A1B)=P(4B)=P(4-P(4B=05-015=035=05=P(4 P(B) 1-P(B) P(BA P(AB)0.15 -=0.3=P(B) P(A)0.5 P(B1x、PB)=P(B)-P(AB)03-015=015=PB) P(A) P(A) 0.5
习题三 1．已知随机事件 A 的概率 P(A) = 0.5 ，随机事件 B 的概率 P(B) = 0.6 ，条件概 率 P(B | A) = 0.8 ，试求 P(AB) 及 P(AB). 解 P(AB) = P(A)P(B | A) = 0.5 0.8 = 0.4 P(AB) = P(A B) = 1− P(A B) = 1− P(A) − P(B) + P(AB) =1−0.5−0.6+ 0.4 = 0.3 2．一批零件共 100 个，次品率为 10%，从中不放回取三次（每次取一个）， 求第三次才取得正品的概率。 解 1078 9 99 98 81 100 99 98 10 9 90 = = p = . 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为 0.28， 两项投资都做的概率为 0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解 记 A = {基金}，B = {股票}，则 P(A) = 0.58, P(B) = 0.28, P(AB) = 0.19 (1) 0.327. 0.58 0.19 ( ) ( ) ( | ) = = = P A P AB P B A (2) 0.678 0.28 0.19 ( ) ( ) ( | ) = = = P B P AB P A B . 4．给定 P(A) = 0.5，P(B) = 0.3，P(AB) = 0.15 ，验证下面四个等式： P(A| B) = P(A), P(A| B) = P(A), P(B | A) = P(B)，P(B | A) = P(B). 解 ( ) 2 1 0.3 0.15 ( ) ( ) ( | ) P A P B P AB P A B = = = = 0.5 ( ) 0.7 0.35 0.7 0.5 0.15 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P A P B P A P AB P B P AB P A B = = = − = − − = = 0.3 ( ) 0.5 0.15 ( ) ( ) ( | ) P B P A P AB P B A = = = = ( ) 0.5 0.15 0.5 0.3 0.15 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) P B P A P B P AB P A P AB P B A = = − = − − = =
5.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1, 04,若坐火车,迟到的概率是025,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟 到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。 解B={迟到},A={坐火车},A2={坐船},A1={坐汽车},A={乘飞机}, 则B=∪B4,且按题意 P(B|A1)=025,P(B|A2)=0.3,P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0 由全概率公式有 P(B)=∑P(4)P(B|A)=03×025+02×03+0.1×0.1=0145 6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求 下列事件的概率 (1)随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2)合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。 解(1)记B={该球是红球},4={取自甲袋},A2={取自乙袋},已知 P(B|41)=6/10,P(B|A2)=8/14,所以 P(B)=P(A)P(B|4)+P(4)P(BA2)=2102×841 16 (2)P(B) 147 2412 7.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占 全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂 产品的次品率 解025×005×+035×004+04×002 =0.0125+0.0140+0.008=00345=345% 8.发报台分别以概率0.6,04发出"·和"-",由于通信受到干扰,当发出"。 时,分别以概率08和02收到"。"和"-",同样,当发出信号"-"时,分别以09 和0.1的概率收到"-"和""。求(1)收到信号"·"的概率;(2)当收到"●时,发
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为 0.3，0.2，0.1， 0.4，若坐火车，迟到的概率是 0.25，若坐船，迟到的概率是 0.3，若坐汽车，迟 到的概率是 0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。 解 B = {迟到}，A1 = {坐火车}，A2 = {坐船}，A3 = {坐汽车}，A4 = {乘飞机}， 则 4 =1 = i B BAi ，且按题意 P(B | A1 ) = 0.25，P(B | A2 ) = 0.3，P(B | A3 ) = 0.1，P(B | A4 ) = 0 . 由全概率公式有： = = = + + = 4 1 ( ) ( ) ( | ) 0.3 0.25 0.2 0.3 0.1 0.1 0.145 i P B P Ai P B Ai 6．已知甲袋中有 6 只红球，4 只白球；乙袋中有 8 只红球，6 只白球。求 下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。 解 (1) 记 B = {该球是红球}， A1 = {取自甲袋}， A2 = {取自乙袋}，已知 P(B | A1 ) = 6/10，P(B | A2 ) = 8/14 ，所以 70 41 14 8 2 1 10 6 2 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P B = P A1 P B A1 + P A2 P B A2 = + = (2) 12 7 24 14 P(B) = = 7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占 全厂的 25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为 5%，4%，2%，求该厂 产品的次品率。 解 0.250.05+0.350.04+ 0.40.02 = 0.0125+ 0.0140+ 0.008 = 0.0345 = 3.45% 8．发报台分别以概率 0.6，0.4 发出 "• " 和 "− " ，由于通信受到干扰，当发出 "• " 时，分别以概率 0.8 和 0.2 收到 "• " 和 "− " ，同样，当发出信号 "− " 时，分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 "− " 和 "• " 。求(1) 收到信号 "• " 的概率；(2) 当收到 "• " 时，发
出"·"的概率 解记B={收到信号""},A={发出信号""} (1) P(B)=P(A)P(B A)+P(A)P(B1 A) 0.6×0.8+04×0.1=048+004=0.52 (2)P(A|B)=P(4P(B|A06×0812 P(B) 9.设某工厂有A,BC三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产 量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%, 如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间ABC生产的概率。 解为方便计,记事件A,BC为A,BC车间生产的产品,事件D={次品},因 此 P(D)=P(A)P(D A)+P(B)P(D B)+P(C)P(DIC) =0.25×0.05+0.35×0.04+04×0.02 =0.0125+0.014+0.008=0.0345 P(ID)=P(A)P(DIA) 0.25×005 =0.362 P(D) 0.0345 P(BD)= P(B)P(D|B)0.35×0.04 0.406 D 0.0345 P(C|D)=P(P(DQ=04×002=023 P(D) 0.0345 10.设A与B独立,且P(A)=p,P(B)=q,求下列事件的概率:P(AUB),P(AUB P(A∪B) A P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=P+g-pq P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AP(B)=p+1-q-p(1-q)=1-g+ pq P(AUB)=P(AB)=1-P(A)P(B)=1-pq 11.已知A,B独立,且P(AB)=1/9,P(AB)=P(AB),求P(A,P(B) 解因P(AB)=P(AB),由独立性有 P(A)P(B)=P(A)P(B) 从而P(A)-P(A)P(B)=P(B)-PA)P(B)导致P(A)=P(B)
出 "• " 的概率。 解 记 B = {收到信号 "• " }， A = {发出信号 "• " } (1) P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) = 0.60.8+ 0.40.1= 0.48+ 0.04 = 0.52 (2) 13 12 0.52 0.6 0.8 ( ) ( ) ( | ) ( | ) = = = P B P A P B A P A B . 9．设某工厂有 A, B,C 三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产 量的 25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为 5%，4%，2%， 如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间 A, B,C 生产的概率。 解 为方便计，记事件 A, B,C 为 A, B,C 车间生产的产品，事件 D = {次品}，因 此 P(D) = P(A)P(D | A) + P(B)P(D | B) + P(C)P(D | C) = 0.250.05+ 0.350.04+ 0.40.02 = 0.0125+ 0.014+ 0.008 = 0.03450.362 0.0345 0.25 0.05 ( ) ( ) ( | ) ( | ) = = = P D P A P D A P A D 0.406 0.0345 0.35 0.04 ( ) ( ) ( | ) ( | ) = = = P D P B P D B P B D 0.232 0.0345 0.4 0.02 ( ) ( ) ( | ) ( | ) = = = P D P C P D C P C D 10．设 A 与 B 独立，且 P(A) = p, P(B) = q ，求下列事件的概率： P(A B) ，P(A B)， P(A B). 解 P(A B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = p + q − pq P(A B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = p +1− q − p(1− q) =1− q + pq P(A B) = P(AB) = 1− P(A)P(B) = 1− pq 11．已知 A, B 独立，且 P(AB) =1/ 9, P(AB) = P(AB) ，求 P(A), P(B) . 解 因 P(AB) = P(AB) ，由独立性有 P(A)P(B) = P(A)P(B) 从而 P(A) − P(A)P(B) = P(B) − P(A)P(B) 导致 P(A) = P(B)
再由P(AB)=1/9,有1/9=PA)P(B)=(1-P(A)1-P(B)=(1-P(A)2 所以1-P(4)=1/3。最后得到P(B)=P(A)=2/3 12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3 1/2,2/3,求目标被命中的概率。 解记B={命中目标},A={甲命中},A2={乙命中},4={丙命中},则 B=∪4,因而 P(B)=1-P∩4|=1-PA)P()P(4)=1 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达 的概率为p,求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的 解记A={通达}, A={元件i通达},i=12,3456 则A=A1A2UA14UAA4,所 P(A)=P(A142)+P(A34)+P(A5A) 图3.1 P(A1A2434)-P(A3A4546)-P(A142A346)+P(A142A3A44546) 3(1-p)2-3(1-p)2+(1-p) 14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为02,机器发生故障时全天停 止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作 日里发生3次故障的概率 解p=3102)(082=0012 15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率 解p=)02)2+|1×08×(022=00080096=0104 16.设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次 的概率等于19/27,求事件A在每次试验中出现的概率P(A)
再由 P(AB) =1/ 9 ，有 2 1/ 9 = P(A)P(B) = (1− P(A))(1− P(B)) = (1− P(A)) 所以 1− P(A) = 1/ 3 。最后得到 P(B) = P(A) = 2 / 3. 12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为 1/3， 1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记 B = {命中目标}，A1 = {甲命中}， A2 = {乙命中}，A3 = {丙命中}，则 3 =1 = i B Ai ，因而 9. 8 9 1 1 3 1 2 1 3 2 ( ) 1 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 3 1 = − = − = − = = − = P B P A P A P A P A i i 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达 的概率为 p ，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。 解 记 A = {通达}， Ai = {元件 i 通达}，i = 1,2,3,4,5,6 则 A = A1A2 A3A4 A5A6， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) P A = P A1A2 + P A3A4 + P A5A6 ( ) ( ) ( ) ( ) − P A1A2A3A4 − P A3A4A5A6 − P A1A2A5A6 + P A1A2A3A4A5A6 2 4 6 = 3(1− p) − 3(1− p) + (1− p) 14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停 止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作 日里发生 3 次故障的概率。 解 (0.2) (0.8) 0.0512 3 5 3 2 = p = . 15．灯泡耐用时间在 1000 小时以上的概率为 0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时以后最多只有一个坏了的概率。 解 0.8 (0.2) 0.008 0.096 0.104 2 3 (0.2) 3 3 3 2 = + = + p = . 16．设在三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等，若已知 A 至少出现一次 的概率等于 19/27，求事件 A 在每次试验中出现的概率 P(A) . 图 3.1 1 2 3 4 5 6
解记A={A在第次试验中出现},i=1.2,3,p=P(4) 依假设19 27=八U4=1-4424)=1-(-P) 所以,(1-p) 此即p=1/3 17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 2%、3%、5%假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。 解注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。 记A={第i道工序为次品},i=1,2,3.则次品率 18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,04 求此密码被译出的概率。 解记A={译出密码},A={第i人译出},i=12,3.则 P(4)=PU4|=1-P(A)P(4)P(4) 1-0.75×0.65×0.6=1-0.2925=0.7075 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次,恰有5次出现正面的概率是多少? 有4次至6次出现正面的概率是多少? 解(1) 20.某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T,各电梯正在运行 的概率均为0.75,求 (1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率; (2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3)在此时刻所有电梯都在运行的概率
解 记 Ai = { A 在第 i 次试验中出现}，i = 1,2,3. p = P(A) 依假设 3 1 2 3 3 1 1 ( ) 1 (1 ) 27 19 P A P A A A p i i = − = − − = = 所以， 27 8 (1 ) 3 − p = ， 此即 p = 1/ 3. 17．加工一零件共需经过 3 道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3 道工序中至少有一道出现次品。 记 Ai = {第 i 道工序为次品}，i = 1,2,3. 则次品率 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 0.98 0.97 0.95 1 0.90307 0.097 3 1 = − = − = − = = p P A P A P A P A i i 18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记 A = {译出密码}， Ai = {第 i 人译出}，i = 1,2,3. 则 1 0.75 0.65 0.6 1 0.2925 0.7075 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 1 = − = − = = − = = P A P A P A P A P A i i 19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷 10 次，恰有 5 次出现正面的概率是多少？ 有 4 次至 6 次出现正面的概率是多少？ 解 (1) 256 63 2 1 5 10 10 = ； (2) 10 6 4 2 10 1 k= k . 20．某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T ，各电梯正在运行 的概率均为 0.75，求： (1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率
解 (1)1-(-0751=1-(025)=255 (2),k0.753(0252=6x 2 4 4丿128 (3)(0.75) 81 4)256
解 (1) 256 255 1 (1 0.75) 1 (0.25) 4 4 − − = − = (2) 128 27 4 1 4 3 (0.75) (0.25) 6 2 4 2 2 2 2 = = (3) 256 81 4 3 (0.75) 4 4 = =