第五章 大数定律与中心极限定理 §5.1大数定律的概念 §52切贝谢夫不等式 §53切贝谢夫定理 §5.4中心极限定理
大数定律与中心极限定理 第五章 §5.1大数定律的概念 §5.2切贝谢夫不等式 §5.3切贝谢夫定理 §5.4中心极限定理
§5.1大数定律的概念 例1掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现么点的概 率是1/6,在掷的次数比较少时,出现么点的频率可能 与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现么点 的频率接近1/6几乎是必然的 例2测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量 的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的
例2 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量 的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的. •例1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现么点的概 率是1/6,在掷的次数比较少时,出现么点的频率可能 与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现么点 的频率接近1/6几乎是必然的. §5.1大数定律的概念
这两个例子说明: 在大量随机现象中,不仅看到了随 机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量 测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定 性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景 即无论个别随机现象的结果如何,或者它们 在进行过程中的个别特征如何,大量随机现 象的平均结果实际上与每一个别随机现象的 特征无关,并且几乎不再是随机的了
这两个例子说明： 在大量随机现象中,不仅看到了随 机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量 测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定 性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。 即无论个别随机现象的结果如何,或者它们 在进行过程中的个别特征如何,大量随机现 象的平均结果实际上与每一个别随机现象的 特征无关,并且几乎不再是随机的了
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律 性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了 这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现 象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作用, 大量随机因素的总体作用必然导致某种不依赖 于个别随机事件的结果 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理,称为大数定律( law of large number
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律 性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了 这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现 象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作用, 大量随机因素的总体作用必然导致某种不依赖 于个别随机事件的结果. 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number)
§5.2切贝谢夫不等式 个随机变量离差平方的数学期望就是它的方 差,而方差又是用来描述随时机变量取值的分散程 度的下面研究随机变量的离差与方差之间的关系 式
§5.2 切贝谢夫不等式 一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方 差,而方差又是用来描述随时机变量取值的分散程 度的.下面研究随机变量的离差与方差之间的关系 式
切比雪夫不等式(P104) 若随机变量ξ的期望和方差存在,则对任意 >0,有 P({2-E()6/s(2(5.1) 这就是著名的切比雪夫( Chebyshev)不等式 它有以下等价的形式: P{5-E(5)k}/、D(5)
切比雪夫不等式 (P104) 若随机变量ξ的期望和方差存在，则对任意 0，有 这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式： 2 ( ) {| ( ) | } 1 . D P E 2 ( ) {| ( ) | } (5.1) D P E
切贝谢夫不等式的证明 设随机变量ξ有期望值Eξ及方差D,则任给E>0,有 P(-E|≥6)≤ DE 把概率转化 P(5-E引|<)≥1 DS 为求和 正:如果ξ是离散型的随机变量,那么 把求和因 子放大 P(-E≥)=∑P(=x) xk-E5l2E (x,-Ec (xk-E5 Ds 把求和范 xk-E5l28 围放大
设随机变量 有期望值E D , >0, 及方差 则任给 有 •切贝谢夫不等式的证明: 2 ( ) 1 D P E 2 ( ) D P E 证:如果ξ是离散型的随机变量,那么 ( ) ( ) k k x E P E P x 把概率转化 为求和 把求和因 子放大 把求和范 围放大 2 2 2 2 2 ( ) ( ) k k k k k x E k x E x E D P p
例1设随机变量ξ的数学期望Eξ=μ,方差Dξ 则由切贝谢夫不等式有 P{5≥3} 解:根据切贝谢夫不等式 Pil E()Es(5) P{5-23o/s、D2 (30)29a29 P{5-≥3} 9
例1设随机变量ξ的数学期望Eξ=μ，方差Dξ= σ2 则由切贝谢夫不等式有 解：根据切贝谢夫不等式 P{ - 3 } 2 ( ) {| ( ) | } ; D P E 2 2 2 D 1 P{ - 3 } = = (3 ) 9 9 1 P{ - 3 } 9
例2设ξ是掷一颗骰子所出现的点数若给定 E=12,实际计算P(5E引|≥6) 并验证切贝谢夫不等式成立 解:因为ξ的概率函数是P(=k)=1/6(k=1,2,…6) 所以→E2=7/2 DE=35/12 P(|2-7/2|>1)=2/3 P(|2-7/2|>2)=P(2=1)+P(2=6)=1/3 E=1:D/82=35/12>2/3 E=2:D8/82=1/4×35/12=35/48>1/3 可见,ξ满足切贝谢夫不等式 P{|-E(5)s} D(2)
所以 1,2,实际计算P( -E ) 例2 设ξ是掷一颗骰子所出现的点数,若给定 并验证切贝谢夫不等式成立. 解:因为ξ的概率函数是P k k ( ) 1/ 6( 1, 2, 6) Eξ=7/2 Dξ=35/12 P(│ξ-7/2│≥1)=2/3 P(│ξ-7/2│≥2)=P(ξ=1)+P(ξ=6)=1/3 ε=1: Dξ/ε2=35/12>2/3 ε=2: Dξ/ε2=1/4×35/12=35/48>1/3 可见,ξ满足切贝谢夫不等式. 2 ( ) {| ( ) | } ; D P E
例3设电站供电网有1000电灯,夜晚每一盏电 灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概 →解:令E表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参 数n=1000,p=0.7的二项分布.若要准确计算,应该 用贝努里公式 7199 k=680710001×0.7×0.31000k P(6800Cb 如果用切贝谢夫不等式估计 E=np=10000×0.7=7000 D E=npg=2100 P6800<5<7200}=P{5-700020022100 2002≈0.95
例3 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏电 灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概 率. 解:令ξ表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参 数n=10000,p=0.7的二项分布.若要准确计算,应该 用贝努里公式: 如果用切贝谢夫不等式估计: Eξ=np=10000×0.7=7000 Dξ=npq=2100 P{6800 7200} P{6800 7200} 2 2100 =P{ -7000 200} 1- 200 0.95 7199 k k 10000 k 10000 k=6801 = C 0.7 0.3
