随机事件及其概率 §110撬率论的公理化体系 §15梳年加法定理 率的公理化定改 二,撬率的性质
第一章 随机事件及其概率 §1.5 概率加法定理 §1.10 概率论的公理化体系 一．概率的公理化定义 二．概率的性质
、概率的公理化定义 概率的公理化定义设E是随机试验,g是它的 样本空间,对于E的每一个事件A赋予一个实数P(A), 称之为事件A的概率,如果它满足下列三个理: (1)P()≥0;(非负性) (2)P(92)=1;(规范性) (3)设有限个事件A4241互不相容,则 P(4+4+…+A)=P(4)+P(4)+…+P(A) (有限可加性) 其中公理3可以换为更一般地
一、概率的公理化定义 概率的公理化定义 设 , E 是随机试验 是它的 样本空间,对于 E的每一个事件 A赋予一个实数 P(A), 称之为事件A的概率,如果它满足下列三个公理 : (1) P(A) 0; ( 非负性 ) (2 1 ; ) P( =) ( 规范性 ) 1 2 (3) , , , , 设有限个事件 A A A n 互不相容 则 ( 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) . P A A A P A P A P A + + + = + + + n n ( 有限可加性) 其中公理3也可以换为更一般地
3)对于互不相容事件A,42…有 P(41+A2+…)=P(41)+P(42)+ (完全可加性)
( ) 1 2 3 , , , 对于互不相容事件 A A 有 P(A1 + A2 +) = P(A1 ) + P(A2 ) + ( 完全可加性 )
二、概率的性质 性质1P(⑦)=0 证因为A=A+则P(A)=P(4)+P() P(⑦)=0
性质1 P( =) 0 . 证 因为 P( =) 0 . 二、概率的性质 A= A+ 则P(A) = P(A)+ P()
性质2对于任何事件A,有 P(4)=1-P(A) 证因为A∪A=9,且AA=团 所以P(4+)=P(2)=1 并且P(4+)=P()+P(A 由以上两式可得,P(4+P(4)=1 即 P(A)=1-P(4)
性质2 对于任何事件A,有 P(A) = 1− P(A). 证 因为 A A AA = = , . 且 所以 P(A+ A) = P() = 1 . 并且 P(A+ A) = P(A)+ P(A) 由以上两式可得, P(A) + P(A) = 1 即 P(A) = 1− P(A)
概率的单调不减性 性质3若事件A∈B则P(A)≤P(B) 证B=A+B则P(B)=P()+P(AB) P(AB)≥0则P(4)≤P(B) AB
若事件 , A B 则P A P B ( ) ( ) 证 B = 则P B P A P AB ( ) = + ( ) ( ) 概率的单调不减性 性质 3 A AB + P AB ( ) 0,则P A P B ( ) ( ) Ω A B
性质4对于任一事件A,都有P(4)≤1 证因为对于任一事件A,都有AcΩ 故由性质3,可得P(4)≤P(2)=1 性质5设A,B为任意两个事件,则 P(AUB)=P(A+P(B)-P(AB) (一般概率加法定理)
性质4 对于任一事件A,都有 P(A) 1 . 证 因为对于任一事件A,都有 A 故由性质3 ,可得 P(A) P( ) = 1. 设 A,B为任意两个事件,则 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) （一般概率加法定理） 性质5
2 证如图所示, B AB A∪B=AB+AB+AB 所以P(∪B)=P(AB)+P(B)+P(4B) 又A=4B+AB,故P(4)=P(AB)+P(AB) P(AB)=P(4)-P(B),同理P(B)=P(B)-P(4B) 得P(A∪B)=P(4)+P(B)-P(B) 由此性质还可推得P(∪B≤P(A)+P(B) 而且此结果还可以推广:
证 如图所示, B A AB A B= + AB 所以 P(A B) = + + P AB P AB P AB ( ) ( ) ( ) 得P A B P A P B P AB ( ) . = + − ( ) ( ) ( ) 由此性质还可推得 P(A B) P(A) + P(B). 而且此结果还可以推广: AB+AB 又A AB AB = + ,故P A P AB P AB ( ) = + ( ) ( ), P AB P A P AB ( ) = − ( ) ( ), 同理P AB P B P AB ( ) = − ( ) ( )
P(A∪B∪C)=P(4)+P(B)+P(C)-P(AB) P(Ac)-P(BC)+P(ABC) P(A∪B∪C∪D)=P(4)+P(B)+P(C)+P(D) P(AB) P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD +P(ABC)+P(ABD)+P(BCD)+P(ACD)-PABCd 84)=∑P(4)∑P(4)+>(4) l≤i<j<k≤n i=1 1≤i<i≤n +(-1)P(4142…An
P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) P(A B C D)= P(A) + P(B) + P(C) + P(D) − P(AB)− P(AC)− P(AD)− P(BC)− P(BD)− P(CD) + P(ABC) + P(ABD) + P(BCD) + P(ACD) − P(ABCD) 1 = i n i P A ( ) = = n i P Ai 1 ( ) − i j n P Ai Aj 1 ( ) + i j k n P Ai Aj Ak 1 ( ) ( ) n n −+ − P A A A − 1 2 1 1
性质6如果事件A,A2…,4构成互不相容的完备事件 组,则这些事件的概率和等于
性质 6 1 2 , , , 1 如果事件 A A A n 构成互不相容的完备事件 组，则这些事件的概率和等于
