第六章参数估计 (一)基本内容 、参数估计的概念 1定义:取样本的一个函数6(X1,X2,…,Xn如果以它的观测 值作为未知参数的估计值,则称叭(x1,X2,…,X)是的 点估计量。而称其观测值创(x1,x2,…,xn)是的点估计值。 求点估计值的方法 1.矩估计法 用样本原点矩v=∑X来估计总体原点矩vk=E(X) i=1 (1)设总体分布函数F(x;)含有一个未知参数0,令 1()=E(X)=n∑X 解方程得:=0(X1,X2,…,Xn)—0的矩估计量
1 第六章 参数估计 一、参数估计的概念 (一)基本内容 , , , , ˆ X1 X2 Xn 取样本的一个函数 值作为未知参数θ的估计值，则称 1 定义： 如果以它的观测 点估计量。而称其观测值 是θ的点估计值。 是θ的 二、求点估计值的方法 1.矩估计法 用样本原点矩 来估计总体原点矩 （1）设总体分布函数F(x; )含有一个未知参数θ，令 v1 () E(X) 解方程得： ( , , , ) ˆ ˆ X1 X2 Xn ——θ 的矩估计量
(2)设总体分布函数F(x;1,O2)含有两个未知参数O1,02, 令v1(01,02)=E(X)=∑X (61,02)=E(X ∑ n 解方程得:的=6(X1,X2,,Xn)B2=6(X1,X2,…,Xn) 2.最大似然法估计法 (1)设总体X是离散随机变量 X=x的概率为p(x,0),x1,x2,…,x是一组样本观测值, (X=x1,X2=x2,…,Xn=xn)=p(x1,0)·p(x2,6)…D(xn,6) 似然函数:L()=I(x,O) i=1 d(6 dIn l(o de 0或 de 2
2 （2）设总体分布函数 ( ; , ) F x 1 2 含有两个未知参数θ1，θ2， v1 (1 ,2 ) E(X) 解方程得： ( , , , ) ˆ ˆ 1 X1 X2 Xn ( , , , ) ˆ ˆ 2 X1 X2 Xn ( , ) ( ) 2 v 2 1 2 E X 令 2.最大似然法估计法 （1）设总体X是离散随机变量 ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , ) P X x1 X2 x2 Xn xn p x1 p x2 p xn n i L p xi 1 似然函数： ( , ) X x的概率为 p( x, )， , , , , x1 x2 xn是一组样本观测值 令 0 ( ) d dL 0 ln ( ) d d L 或
(2)设总体X是连续随机变量 设总体X的概率密度为f(x;0),从总体X中抽取样本 X1,X2,…,Xn,如果得到的样本观测值为x1,x2,…,xn, 似然函数:L()=f(x,) 、衡量点估计量好坏的标准 1.无偏性 定义若E(0-0)=0或E(O)=0,则称日为的无偏估计量。 结论1样本均值ⅹ是总体均值μ的无偏估计量 结论2样本方差s是总体方差σ2的无偏估计量
3 （2）设总体X是连续随机变量 n i xi L f 1 似然函数： ( , ) 样本均值 是总体均值μ的无偏估计量. 1.无偏性 ) , ˆ ) 0 ( ˆ 若E( 或E 为θ的无偏估计量。 定 义 则 称 ˆ 结论1 结论2 样本方差 是总体方差 的无偏估计量. , , , , X1 X2 Xn 如果得到的样本观测值 , , , , 1 2 n 为 x x x 从总体 X中抽 取样本 三、衡量点估计量好坏的标准
2.有效性 定义6(X1,X2…,Xn)及6(X1,X2…,Xn都是的无偏估计量, 如果D(1)≤D(O2),则称较e2有效。 3.一致性(相合性) 定义如果当n→∞时,0按概率收敛于,即对任何正数e, 有limP 6<a}=1, n→ 则称b是的一致估计量。 结论1样本均值X是总体均值的一致估计量 结论2样本方差S是总体方差a的一致估计量
4 如果 D( ˆ 1 ) D( ˆ 2 ), 则称 较 有效。 2.有效性 1ˆ 2ˆ X X Xn , , , ˆ 1 1 2 X X Xn , , , ˆ 定义 及 2 1 2 都是θ的无偏估计量， 则称 是θ的一致估计量。 样本方差 是总体方差 的一致估计量. 1, ˆ lim n n P n ˆ 3.一致性（相合性） n 定义 ˆ 如果当n→∞时， 按概率收敛于θ，即对任何正数ε, 结论1 样本均值 是总体均值μ的一致估计量. 结论2 有
四、一个正态总体参数的区间估计 1.正态总体均值的区间估计 (1)设总体X~N2a2)已知o=o0求参数的置信区间。 样本函数u x-N(01) 0/vn 对于置信水平1-a,总体均值的置信区间为 Va<<X+00.W 2 (2)设总体X~N(,2)未知o,求的置信区间。 X 用S代替σ,则样本函数t= S
5 1.正态总体均值μ的区间估计 (1)设总体X～ 已知 求参数μ的置信区间。 四、一个正态总体参数的区间估计 样本函数 对于置信水平1-α，总体均值μ的置信区间为 (2)设总体X～ 未知σ，求μ的置信区间。 用 S 代替 0，则样本函数
对应于置信水平1-a,总体均值的置信区间为 S X (n-1)<<X+ (n-1) 2.正态总体方差a的区间估计 (1)设总体X~N(x,2)已知H=A0,求a2的置信区间。 考虑样本函数x2=∑(x1-m0)2~x(m) 对应于置信水平1-a,总体方差a的置信区间为 ∑(X1-)∑(X-A) 2 <0< I= x2(n) 2
6 对应于置信水平1-α，总体均值μ的置信区间为 2.正态总体方差 的区间估计 （1）设总体X～ 已知 ，求 的置信区间。 考虑样本函数 对应于置信水平1-α，总体方差 的置信区间为
(2)设总体X~N(,a2)未知∠,求2的置信区间 用x代替A0,样本函数 ∑(x1-x) x 对应于置信水平1-a,总体方差a的置信区间为 (n-1)S22(n-1)S2 <0 za(n-1) 2 x2a(n-1)
7 （2）设总体X～ 未知 ，求 的置信区间。 用 代替 样本函数 对应于置信水平1-α，总体方差 的置信区间为
五、两个正态总体均值差与方差比的区间估计 1两个正态总体均值差的区间估计 (1)设两个总体x~N(a1,2及~N({a22)已知1及2 求A1-2的置信区间 考虑样本函数U (x-y)(1-∠2) N(0,) ∴两个总体均值差H1-H2的置信水平1-a的置信区间为: ⅹ-y +2<1-2<X-Y+ua
8 （1）设两个总体X～ 及Y～ ， 求 的置信区间。 已知 及 ， 考虑样本函数 ∴两个总体均值差 1 2的置信水平1- α的置信区间为： 五、两个正态总体均值差与方差比的区间估计 1 两个正态总体均值差的区间估计
(2)设两个总体x~N(1,o2及P~N(a2,2)o1及o2未知, 假设a1=02求1-P2的置信区间。 考虑样本函数T (x-y)(x1-2) 对应于置信水平1-a,两个总体均值差H1-H2的置信区间为: X-Y-t·S 一< <X-y+t·s 2
9 （2）设两个总体X～ 及Y～ ， 求 的置信区间。 及 未知， 假设 考虑样本函数 ∴对应于置信水平1- α ，两个总体均值差 1 2 的置信区间为:
2两个正态总体方差比的区间估计 (1)设两个总体X~N(x1,2)及P~N(2,a2)已知及2, 求2的置信区间。 2 ∑(X-) 选取样本函数:F=21 F 192 ∑(x-2)mn 对于已给的置信水平1-a.可2 2的置信区间为 2 ∑(x;-1) ∑(X1-k1) i=1 < ∑(y1-2 ∑(y1-m2 2j=1
10 选取样本函数： 2 两个正态总体方差比的区间估计 （1）设两个总体X～ 及Y～ 求 的置信区间。 已知 及 ， 对于已给的置信水平1-α， 2 2 2 1 的置信区间为