延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）习题二

习题二 1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有 1件次品的概率。 解这是不放回抽取,样本点总数n 记求概率的事件为A,则有利于 A的样本点数k 45Y5 于是 k 45×44×5×3!99 P(A)=-= 5050×49×48×2392 2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后 放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可 能性相同。求 (1)第一次、第二次都取到红球的概率; (2)第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3)二次取得的球为红、白各一的概率; 4)第二次取到红球的概率 解本题是有放回抽取模式,样本点总数n=72.记(1)234题求概率的事 件分别为A,B,C,D (i)有利于A的样本点数k4=53,故P(A) 49 5×2 (i)有利于B的样本点数k=5×2,故P(B)=749 (i)有利于C的样本点数k2=2×5×2,故PC)=20 (iv)有利于D的样本点数k=7×5,故P(D) 7×535 72497 3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2

习题二 1．从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率。 解 这是不放回抽取，样本点总数         = 3 50 n ，记求概率的事件为 A ，则有利于 A 的样本点数                 = 1 5 2 45 k . 于是 392 99 50 49 48 2! 45 44 5 3! 3 50 1 5 2 45 ( ) =       =                         = = n k P A 2．一口袋中有 5 个红球及 2 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后 放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可 能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解 本题是有放回抽取模式，样本点总数 2 n = 7 . 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事 件分别为 A, B,C, D . (ⅰ)有利于 A 的样本点数 2 k A = 5 ，故 49 25 7 5 ( ) 2  =      P A = (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 kB = 52 ，故 49 10 7 5 2 ( ) 2 =  P B = (ⅲ) 有利于 C 的样本点数 kC = 25 2 ，故 49 20 P(C) = (ⅳ) 有利于 D 的样本点数 kD = 75 ，故 7 5 49 35 7 7 5 ( ) 2 = =  P D = . 3．一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2

只球,试求:(1)最小号码是3的概率;(2)最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式,样本点总数n=6×5 (i)最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有 次抽到3,因而有利样本点数为2×3,所求概率为 3 (i)最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利 样本点数为2×2,所求概率为 2×22 6×515 4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽 样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率: (1)2只都合格; (2)1只合格,1只不合格 (3)至少有1只合格 解分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C,则 P(4)=6=6×5×2=5 4×2×2 P(B)= 6×515 注意到C=A∪B,且A与B互斥,因而由概率的可加性知 P(C)=P(A)+P(B)==+ 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率: (1)点数之和为7;(2)点数之和不超过5;(3)点数之和为偶数。 解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为ABC,样本点总数n=62 (i)A含样本点(2,5)(5,2)、1.6)6,1)3,4)4,3) P(A)=

只球，试求：(1) 最小号码是 3 的概率；(2) 最大号码是 3 的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数 n = 65. (ⅰ) 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一 次抽到 3，因而有利样本点数为 23 ，所求概率为 5 1 6 5 2 3 =   . (ⅱ) 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利 样本点数为 2  2 ，所求概率为 15 2 6 5 2 2 =   . 4．一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽 样，接连取 2 次，每次取 1 只，试求下列事件的概率： (1) 2 只都合格； (2) 1 只合格，1 只不合格； (3) 至少有 1 只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 A, B,C ，则 5 2 6 5 2 4 3 2 2 6 2 4 ( ) =     =                 P A = 15 8 6 5 4 2 2 2 6 1 2 1 4 ( ) =    =                         P B = 注意到 C = A B ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知 15 14 15 8 5 2 P(C) = P(A) + P(B) = + = 5．掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为 7；(2) 点数之和不超过 5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为 A, B,C ,样本点总数 2 n = 6 (ⅰ) A 含样本点 (2,5),(5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 6 6 ( ) 2  P A = =

(i)B含样本点(1,1)(12)2,1)(13)(3,1)(14)(41)(22)(2,3)(3,2) 105 P(B) (ⅲi)C含样本点(1,1),(1,3)(3,1),(1,5)(5,1)(22)(2,4)4,2)、(2,6)(6,2)(3,3) (3,5),(5,3)(4,4)(4,6)(6,4)5,5)(66),一共18个样本点。 36 6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿 舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率 解记求概率的事件为A,样本点总数为53,而有利A的样本点数为5×4×3, 所以P(A) 5×4×312 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件 的概率: (1)事件A:“其中恰有一位精通英语”; (2)事件B:“其中恰有二位精通英语”; (3)事件C:“其中有人精通英语” 解样本点总数为 2Y3 (1)P(4) 12)2×3×363 5×4×3105 2)P(B)= 3×3!3 4×310 (3)因C=AUB,且A与B互斥,因而 PC=P(4)+P(B3310 339 10 8.设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x+y=1所围成的三角形

(ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 18 5 6 10 ( ) 2  P B = = ( ⅲ ) C 含样本点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。 2 1 36 18  P(C) = = 6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿 舍最多可住 8 人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。 解 记求概率的事件为 A ，样本点总数为 3 5 ，而有利 A 的样本点数为 543， 所以 25 12 5 5 4 3 ( ) 3 =   P A = . 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件 的概率： (1) 事件 A ：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件 B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件 C ：“其中有人精通英语”。 解 样本点总数为         3 5 (1) 5 3 10 6 5 4 3 2 3 3! 3 5 2 3 1 2 ( ) = =     =                         P A = ； (2) 10 3 5 4 3 3 3! 3 5 1 3 2 2 ( ) =    =                         P B = ； (3) 因 C = A B ，且 A 与 B 互斥，因而 10 9 10 3 5 3 P(C) = P(A) + P(B) = + = . 8．设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴、 y 轴及直线 x + y = 1 所围成的三角形

内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线x=1/3的左边 的概率 解记求概率的事件为A,则S 为图中阴影部分,而|s=1/2, 155 22(3)2918 最后由几何概型的概率计算公式可得 P(A) SA|_5/185 O l/3 1g|1/29 图23 9.(见前面问答题2.3) 10.已知AcB,P(A)=04,P(B)=06,求 (1)P(A),P(B);(2)P(A∪B);(3)P(AB);(4)P(BA,P(AB);(5)P(AB) 解(1)P(A)=1-P(4)=1-04=06,P(B)=1-P(B)=1-06=04; (2)P(AUB)=P(A)+PB)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)=P(B)=0.6 (3)P(AB)=P(A)=0.4 (4)P(BA)=P(A-B)=P(中)=0,P(AB)=P(AUB)=1-P(A∪B)=1-0.6=04 (5)P(AB)=P(B-4)=06-04=0.2 11.设A,B是两个事件,已知P(A)=0.5,P(B)=0.7,P(AUB)=08,试求P(A-B 及P(B-A) 解注意到P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),因而P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB) 0.5+0.7-08=04.于是,P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5-04=01; P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=0.7-04=0.3

内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线 x =1/3 的左边 的概率。 解 记求概率的事件为 A ，则 A S 为图中阴影部分，而 |  |= 1/ 2， 18 5 9 5 2 1 3 2 2 1 2 1 | | 2  =  =      S A = − 最后由几何概型的概率计算公式可得 9 5 1/ 2 5/18 | | | | ( ) = =  = S A P A . 9．（见前面问答题 2. 3） 10．已知 A  B，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6 ，求 (1) P(A), P(B) ；(2) P(A B) ；(3) P(AB) ；(4) P(BA), P(AB) ；(5) P(AB) . 解 (1) P(A) =1− P(A) =1− 0.4 = 0.6，P(B) =1− P(B) =1− 0.6 = 0.4 ； (2) P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(A) = P(B) = 0.6 ； (3) P(AB) = P(A) = 0.4 ； (4) P(BA) = P(A− B) = P() = 0, P(AB) = P(A B) = 1− P(A B) = 1− 0.6 = 0.4 ; (5) P(AB) = P(B − A) = 0.6 − 0.4 = 0.2. 11．设 A, B 是两个事件，已知 P(A) = 0.5，P(B) = 0.7，P(A B) = 0.8 ，试求 P(A − B) 及 P(B − A). 解 注意到 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) ，因而 P(AB) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0.5+ 0.7 −0.8 = 0.4 . 于是， P(A − B) = P(A − AB) = P(A) − P(AB) = 0.5−0.4 = 0.1 ； P(B − A) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = 0.7 − 0.4 = 0.3 . y x O 1/3 1 1  A S h 图 2.3