2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题:1~8小题每小题4分共32分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合 题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)设函数f(x)在(一,+∞)内连续,其中二阶导数f(x)的图形如图所示,则曲 线y=f(x)的拐点的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)设y=e2x+(x-)e2是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay'+by=ce 个 特 则 (A)a=-3,b=2,c (B)a=3,b=2,c=-1 (C)a=-3,b=2,c= (D)a=3,b=2,c=1 (3)若级数∑a条件收敛,则x=√5与x=3依次为幂级数∑m(x-的 (A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 (4)设D是第一象限由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=√3x围成的平 面区域,函数f(xy)在D上连续,则∫/(xyd= a)de sin ze /(rcos e,sino)rdr f(coso, sino)rdn
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)设函数 f x( ) 在 (− + , ) 内连续，其中二阶导数 f x ( ) 的图形如图所示，则曲 线 y f x = ( ) 的 拐 点 的 个 数 为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设 1 1 2 ( ) 2 3 = + − x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程 + + = x y ay by ce 的 一 个 特 解 ， 则 ( ) (A) a b c = − = = − 3, 2, 1 (B) a b c = = = − 3, 2, 1 (C) a b c = − = = 3, 2, 1 (D) a b c = = = 3, 2, 1 (3) 若级数 1 = n n a 条件收敛，则 x = 3 与 x = 3 依次为幂级数 1 ( 1) = − n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线 2 1 xy = ，4 1 xy = 与直线 y x = ， y x = 3 围成的平 面区域，函数 f x y ( , ) 在 D 上连续，则 ( , ) D f x y dxdy = ( ) (A) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr cos , sin (B) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r rdr cos , sin
(c)2 de sine f(rcos e, rsin o)dr D)de vain2z0/(rcos, rsineydr (5)设矩阵A=12a,b=d,若集合Q={12},则线性方程组Ax=b d 有无穷多解的充分必要条件为 (A)ag9,d∈9 (B)a∈9,d∈9 (C)a∈9dgg (D)a∈,d∈g (6)设二次型∫(x,x2,x)在正交变换为x=Py下的标准形为2y2+y2-y2, 其中P=(e12e),若Q=(e1-e3,e2),则f(x1,x2,x3)在正交变换x=Q 下 的 标 准 为 (A)2y2-y2+y2 (B)2y2+y2-y2 (C)2y2-y2-y2 (D)2y2+y2+y3 (7)若AB为任意两个随机事件,则 (A)P(AB)SP(A)P(B) (B)P(AB)≥P(A)P(B) (C)P(AB P(A)P(B (D)P(AB)≥ P(A)P(B (8没随机变量Xy不相关,且EX=2,EY=1DX=3,则E[X(X+Y-2 (A)-3 (D)5 、填空题:9~14小题,每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位置上 In cos x (9) lir
(C) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr cos , sin (D) ( ) 1 3 sin 2 1 4 2sin 2 d f r r dr cos , sin (5) 设矩阵 2 1 1 1 1 2 1 4 A a a = ， 2 1 b d d = ，若集合 =1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a d , (B) a d , (C) a d , (D) a d , (6)设二次型 f x x x ( 1 2 3 , , ) 在正交变换为 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2y y y + − ， 其中 P e e e = ( 1 2 3 , , ) ，若 Q e e e = − ( 1 3 2 , , ) ，则 f x x x ( 1 2 3 , , ) 在正交变换 x Qy = 下 的标准形为 ( ) (A) 2 2 2 1 2 3 2y y y − + (B) 2 2 2 1 2 3 2y y y + − (C) 222 1 2 3 2yyy − − (D) 222 1 2 3 2yyy + + (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (B) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (C) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB (D) ( ) ( ) ( ) 2 P A P B P AB (8)设随机变量 X Y, 不相关，且 EX EY DX = = = 2, 1, 3 ，则 ( + − = 2) E X X Y ( ) (A) −3 (B) 3 (C) −5 (D) 5 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 2 0 ln cos lim _________ . x x → x =
sInx (10)2( (1)若函数=(x,y)由方程c+x+x+cosx=2确定,则dlan (12)设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则 (x+2y+32)dxdydz (13)n阶行列式 02:0 00:2 0 00 12 (14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布M(1,0;1,1,0),则P{Y-y<0}= 、解答题:15~23小题共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (15本题满分10分)设函数f(x)=x+am(1+x)+ basin x,g(x)=kx,若f(x)与 g(x)在x→0是等价无穷小,求abk的值 (16本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x∈1,由线 y=f(x)在点(x(x)处的切线与直线x=x及x轴所围成区域的面积恒为4,且 f(0)=2,求∫(x)的表达式 (17)(本题满分10分) 已知函数∫(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求∫(x,y) 在曲线C上的最大方向导数 (18)(本题满分10分) (I)设函数(x),v(x)可导,利用导数定义证明[x)v(x)=u(x)v(x)+l(x)v(x) (I)设函数(x),u12(x),…,ln(x)可导,f(x)=1(xu2(x)…un(x),写出f(x)的求 导公式 (19)(本题满分10分) 已知曲线L的方程为 起点为4(05.0),终点为B(Q-V.0) 计算曲线积分/=(y+)+(=2-x2+y)+x+y
(10) 2 2 sin ( )d ________. 1 cos x x x x − + = + (11)若函数 z z x y = ( , ) 由方程 + + + = cos 2 x e xyz x x 确定，则 (0,1) d ________ . z = (12) 设 是由平面 x y z + + =1 与 三 个 坐 标 平 面 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 ， 则 ( 2 3 ) __________. x y z dxdydz + + = (13) n 阶行列式 2 0 0 2 1 2 0 2 ___________. 0 0 2 2 0 0 1 2 − = − (14)设二维随机变量 ( , ) x y 服从正态分布 N(1,0;1,1,0) ，则 P XY Y { 0} ________. − = 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数 f x x a x bx x ( ) = + + + ln(1 ) sin ， 3 g x kx ( ) = ，若 f x( ) 与 g x( ) 在 x →0 是等价无穷小，求 a b k , , 的值. (16)(本题满分 10 分) 设函数 f x( ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 0 x I ，由线 y f x = ( ) 在点 ( x f x 0 0 , ( )) 处的切线与直线 0 x x = 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0 2 ) = ，求 f x( ) 的表达式. (17)(本题满分 10 分) 已知函数 f x y x y xy ( , ) = + + ，曲线 C： 2 2 x y xy + + = 3 ，求 f x y ( , ) 在曲线 C 上的最大方向导数. (18)(本题满分 10 分) （I）设函数 u x , v x ( ) ( ) 可导，利用导数定义证明 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x = + （II）设函数 ( ) ( ) ( ) 1 2 n u x , u x , , u x 可导， n f x u x u x u x = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ，写出 f x( ) 的求 导公式. (19)(本题满分 10 分) 已知曲线 L 的方程为 2 2 2 , , z x y z x = − − = 起点为 A(0, 2,0) ，终点为 B(0, 2,0 − ) ， 计算曲线积分 ( ) ( ) 2 2 2 2 d d ( )d L I y z x z x y y x y z = + + − + + +
(20)(本题满11分) 设向量组a1a2,a1内R的一个基,B=2a1+2ka3,B2=2a2,月=1+(k+)a3 (D)证明向量组B1B2B3为R3的一个基 (I)当k为何值时,存在非0向量在基a1a2,0与基月B2B3下的坐标相同,并求所 有的占 (21)(本题满分11分) 设矩阵A=-13-3相似于矩阵B=0b0 031 (I)求a,b的值 (II)求可逆矩阵P,使PAP为对角矩阵 2-ln2,x>0, (2)(题满分11分)设随机变量x的概率密度为f(x) 0,x≤0. 对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数 (I)求Y的概率分布 (II)求EY (23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为 b≤x≤1, f(x,O)={1- 0,其他. 其中b为未知参数,x1 为来自该总体的简单随机样本 (1)求的矩估计量 (I)求的最大似然估计量
(20) (本题满 11 分) 设向量组 1 , 2 3 α α ,α 内 3 R 的一个基， β1 1 3 =2 +2 α kα ， β2 2 =2α ， β3 1 3 = + +1 α (k )α . （I）证明向量组 1 2 3 为 3 R 的一个基; （II）当 k 为何值时，存在非 0 向量 ξ 在基 1 , 2 3 α α ,α 与基 1 2 3 下的坐标相同，并求所 有的 ξ . (21) (本题满分 11 分) 设矩阵 0 2 3 1 3 3 1 2 a − = − − − A 相似于矩阵 1 2 0 0 0 0 3 1 b − B = . (I) 求 a b, 的值； （II）求可逆矩阵 P ，使 −1 P AP 为对角矩阵.. (22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) 2 ln 2, 0, 0, 0. x x f x x − = 对 X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记 Y 为观测次数. (I)求 Y 的概率分布; (II)求 EY (23) (本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为： x f x = − 1 , 1, ( , ) 1 0, 其他. 其中 为未知参数， 1 2 n x , x , , x 为来自该总体的简单随机样本. (I)求 的矩估计量. (II)求 的最大似然估计量