2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题(18小题每小题4分共32分,下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所 选项前的字母填在题后的括号内) (1)极限lim x→(x-a)(x+b) (Be (2)设函数z=(x,y)由方程F(,二)=0确定其中F为可微函数且F≠0,则x+y= (A)x (3)设m2n为正整数,则反常积分 dx的收敛性 (A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关 (C)与m,n取值都有关 (D)与m,n取值都无关 1+x)1+y d dy 0(1+x)1+y) (5)设A为m×n型矩阵,B为n×m型矩阵若AB=E,则 (A)秩(A)=m,秩(B)=m (B秩(A)=m,秩(B)=n (C)秩(A)=n,秩(B)=m (D秩(A)=n秩(B)=n (6)设A为4阶对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于
2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所 选项前的字母填在题后的括号内.) (1)极限 2 lim ( )( ) x x x → x a x b − + = (A)1 (B) e (C) e a b− (D) e b a− (2)设函数 z z x y = ( , ) 由方程 ( , ) 0 y z F x x = 确定,其中 F 为可微函数,且 2 F 0, 则 z z x y x y + = (A) x (B) z (C) −x (D) −z (3)设 m n, 为正整数,则反常积分 2 1 0 ln (1 ) m n x dx x − 的收敛性 (A)仅与 m 取值有关 (B)仅与 n 取值有关 (C)与 m n, 取值都有关 (D)与 m n, 取值都无关 (4) 2 2 1 1 lim ( )( ) n n x i j n → n i n j = = + + = (A) 1 2 0 0 1 (1 )(1 ) x dx dy + + x y (B) 1 0 0 1 (1 )(1 ) x dx dy + + x y (C) 1 1 0 0 1 (1 )(1 ) dx dy + + x y (D) 1 1 2 0 0 1 (1 )(1 ) dx dy + + x y (5)设 A 为 m n 型矩阵 ,B 为 n m 型矩阵,若 AB E= , 则 (A)秩 ( ) , A = m 秩 ( ) B = m (B)秩 ( ) , A = m 秩 ( ) B = n (C)秩 ( ) , A = n 秩 ( ) B = m (D)秩 ( ) , A = n 秩 ( ) B = n (6)设 A 为 4 阶对称矩阵,且 2 A A+ = 0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于 (A) 1 1 1 0 (B) 1 1 1 0 −
x2 (A)0 (8)设f(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度 aJ1(xx≤0 f(x)= (a>0,b>0 bf,(xlx>0 为概率密度,则a,b应满足 (A)2a+3b=4 b=4 (C)a+b=1 (D)a+b=2 填空题(914小题每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位置上 (设x=e,y=「lm(1+12)dh dy (1)已知曲线L的方程为y=1-{x∈[-11起点是(-10),终点是(1,0) 则曲线积分「x+x2dby= (12)设Ω2={(x,y,)x2+y2≤二≤1},则Ω的形心的竖坐标2 (13)设a1=(1,2,-10),a2=(1,1,0,2)y,a3=(2,1,a),若由a1,a2,a13形成的向量空间的 维数是2,则C= (4设随机变量X概率分布为P{X=k}=(k=0,1,2,…),则EX2 三、解题(15-23小题共%分请将解箐写在答題纸指定的位上解应写出文字说明、证明过程 或演算步!)
(C) 1 1 1 0 − − (D) 1 1 1 0 − − − (7)设随机变量 X 的分布函数 F x( ) = 0 0 1 0 1, 2 1 e 2 x x x x − − 则 P X{ 1} = = (A)0 (B)1 (C) 1 1 e 2 − − (D) 1 1 e− − (8)设 1 f x( ) 为标准正态分布的概率密度 2 , ( ) f x 为 [ 1,3] − 上均匀分布的概率密度, f x( ) = 1 2 ( ) ( ) af x bf x 0 0 x x ( 0, 0) a b 为概率密度,则 a b, 应满足 (A) 2 3 4 a b + = (B) 3 2 4 a b + = (C) a b + =1 (D) a b + = 2 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设 2 0 e , ln(1 ) , t t x y u du − = = + 求 2 2 t 0 d y dx = = . (10) 2 0 x xdy cos = . (11)已知曲线 L 的方程为 y x x = − − 1 { [ 1,1]}, 起点是 ( 1,0), − 终点是 (1,0), 则曲线积分 2 L xydx x dy + = . (12)设 2 2 = + {( , , ) | 1}, x y z x y z 则 的形心的竖坐标 z = . (13)设 1 2 3 (1,2, 1,0) , (1,1,0,2) , (2,1,1, ) , T T T α = − = = α α 若由 1 2 3 α , , α α 形成的向量空间的 维数是 2,则 = . (14)设随机变量 X 概率分布为 { } ( 0,1,2, ), ! C P X k k k = = = 则 2 EX = . 三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.)
(15)本题满分10分) 求微分方程y-3y+2y=2xe的通解 16本题满分10分) 求函数f(x)=.(x2-1)edt的单调区间与极值 (17)本题满分10分 )比数m(1+)t与rmd(m=12…)的大小说明理由 记n=mm+)d(m=12,)求板限lmn (18)本题满分10分) 求幂级数∑(=,x2”的收 攵敛域及和函数 (19)(本题满分10分) 设P为椭球面S:x2+y2+2-y2=1上的动点若S在点P的切平面与xoy面垂直求P点的 轨迹C,并计算曲面积分I (x+√3y-2 dS,其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分 (20(本题满分11分) 设A=02-10,b=1,已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解 (1)求,a (2)求方程组Ax=b的通解 (21)本题满分11分) 设二次型f(x1,x2,x)=xAx在正交变换x=Qy下的标准形为y2+y2,且Q的第三列为 (,0.,0-) (1)求A (2)证明A+E为正定矩阵其中E为3阶单位矩阵 (22)(本题满分11分 设二维随机变量(X+1)的概率密度为f(x,y)=x2+2-2-0<x<0,-0<y<∞,求 常数及A条件概率密度fx(y|x (23)(本题满分11分) 设总体X的概率分布为
(15)(本题满分 10 分) 求微分方程 3 2 2 ex y y y x − + = 的通解. (16)(本题满分 10 分) 求函数 2 2 1 ( ) ( )e x t f x x t dt − = − 的单调区间与极值. (17)(本题满分 10 分) (1)比较 1 0 ln [ln(1 )]n t t dt + 与 1 0 ln ( 1,2, ) n t t dt n = 的大小,说明理由. (2)记 1 0 ln [ln(1 )] ( 1,2, ), n n u t t dt n = + = 求极限 lim . n x u → (18)(本题满分 10 分) 求幂级数 1 2 1 ( 1) 2 1 n n n x n − = − − 的收敛域及和函数. (19)(本题满分 10 分) 设 P 为椭球面 2 2 2 S x y z yz : 1 + + − = 上的动点,若 S 在点 P 的切平面与 xoy 面垂直,求 P 点的 轨迹 C, 并计算曲面积分 2 2 ( 3) 2 , 4 4 x y z I dS y z yz + − = + + − 其中 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分) 设 1 1 0 1 0 , 1 , 1 1 1 a = − = A b 已知线性方程组 Ax b = 存在两个不同的解. (1)求 , . a (2)求方程组 Ax b = 的通解. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 1 2 3 ( , , ) T f x x x = x x A 在正交变换 x y = Q 下的标准形为 2 2 1 2 y y + , 且 Q 的第三列为 2 2 ( ,0, ) . 2 2 T (1)求 A. (2)证明 A E+ 为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵. (22)(本题满分 11 分) 设二维随机变量 ( ) X Y+ 的概率密度为 2 2 2 2 ( , ) e , , , x xy y f x y A x y − + − = − − 求 常数及 A 条件概率密度 | ( | ). Y X f y x (23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的概率分布为
X 2 P 1-b 6-6 其中∈(0,1)未知,以N来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数 (=12,3,试求常数a,a2,a3,使=∑aN为的无偏估计量并求T的方差
X 1 2 3 P 1− 2 − 2 其 中 (0,1) 未 知 ,以 Ni 来 表 示 来 自 总体 X 的 简 单 随 机 样本 ( 样 本容 量 为 n ) 中等于 i 的个数 ( 1,2,3), i = 试求常数 1 2 3 a a a , , , 使 3 1 i i i T a N = = 为 的无偏估计量,并求 T 的方差