2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 、填空题:本题共6小题,每小题4分,满分24分.请将答案写在答题纸指定位置 上 (1)若 lim sinx (cosx-b)=5,则a= (2)函数f(x)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定,其中函数g(y)可微,且 g(y)≠0,则 af ≤X√Dx}= ()设总体X服从正态分布N(A1a2),总体y服从正态分布N(22) X1,X2,…,Xn和},2…,2分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则 选择题:本题共8小题,每小题4分,满分24分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (7)函数f(x)= Isin(r-2) 在下列哪个区间内有界 x(x-1)(x-2)2 (A)(-10)(B)(01)C)(,2) (D) x≠0 (8)设f(x)在(,+)内有定义,且Imf(x)=a,g(x)= x
2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置 上. (1) 若 ( ) 0 sin lim cos 5 x x x x b → e a − = − ，则 a =______，b = ______. (2) 函数 f u v ( , ) 由关系式 f xg y y x g y ( ), = + ( ) 确定，其中函数 g y( ) 可微，且 g y( ) 0 ，则 2 f u v = ______. (3) 设 ( ) 2 1 1 , , 2 2 1 1, , 2 x xe x f x x − = − 则 ( ) 2 1 2 f x dx − = 1 _____. (4) 二次型 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 f x x x x x x x x x , , = + + − + + 的秩为______. (5) 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P X DX = ______. (6) 设总体 X 服从正 态分布 ( ) 2 1 N , ，总 体 Y 服从正态 分布 ( ) 2 2 N , ， 1 1 2 , , , X X X n 和 2 1 2 , , , Y Y Y n 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 1 2 2 n n i j i j X X Y Y E n n = = − + − = + − ______. 二、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (7) 函数 ( ) ( ) ( )( ) 2 sin 2 1 2 x x f x x x x − = − − 在下列哪个区间内有界. （A） (−1,0) （B） (0,1) （C） (1,2) （D） (2,3) (8) 设 f x( ) 在 (− + , ) 内有定义，且 lim ( ) x f x a → = ， ( ) 1 , 0, 0, 0, f x g x x x = = 则
(A)x=0必是g(x)的第一类间断点(B)x=0必是g(x)的第二类间断点 (C)x=0必是g(x)的连续点 (D)g(x)在点x=0处的连续性与a的值 有关 (9)设f(x)=(1-x),则 (A)x=0是f(x)的极值点,但(00)不是曲线y=f(x)的拐点 (B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (C)x=0是∫(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点 (10)设有以下命题 ①若∑(a2n1+a2n)收敛,则∑un收敛 ②若∑un收敛,则∑un10o收敛 ③若lm>1,则∑发散 ④若∑(un+v)收敛,则∑a∑v都收敛 则以上命题中正确的是 (A)①② (B)②③(C)③④ (D)①④ (1)1设∫(x)在b]上连续,且f"(a)>0,f(b)f(a) (B)至少存在一点x∈(ab),使得∫(x)>f(b) (C)至少存在一点x∈(ab),使得f(x)=0 (D)至少存在一点x∈(a,b),使得f(x)=0 (12)设n阶矩阵A与B等价,则必有
（A） x = 0 必是 g x( ) 的第一类间断点 （B） x = 0 必是 g x( ) 的第二类间断点 （C） x = 0 必是 g x( ) 的连续点 （D） g x( ) 在点 x = 0 处的连续性与 a 的值 有关. (9) 设 f x x x ( ) = − (1 ) ，则 （A） x = 0 是 f x( ) 的极值点，但 (0,0) 不是曲线 y f x = ( ) 的拐点 （B） x = 0 不是 f x( ) 的极值点，但 (0,0) 是曲线 y f x = ( ) 的拐点 （C） x = 0 是 f x( ) 的极值点，且 (0,0) 是曲线 y f x = ( ) 的拐点 （D） x = 0 不是 f x( ) 的极值点， (0,0) 也不是曲线 y f x = ( ) 的拐点 (10) 设有以下命题： ① 若 ( 2 1 2 ) 1 n n n u u − = + 收敛，则 1 n n u = 收敛 ② 若 1 n n u = 收敛，则 1000 1 n n u + = 收敛 ③ 若 1 lim 1 n n n u u + → ，则 1 n n u = 发散 ④ 若 ( ) 1 n n n u v = + 收敛，则 1 n n a = ， 1 n n v = 都收敛 则以上命题中正确的是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ (11) 设 f x ( ) 在 a b, 上连续，且 f a f b ( ) 0, 0 ( ) ，则下列结论中错误的是 （A）至少存在一点 x a b 0 ( , ) ，使得 f x f a ( 0 ) ( ) （B）至少存在一点 x a b 0 ( , ) ，使得 f x f b ( 0 ) ( ) （C）至少存在一点 x a b 0 ( , ) ，使得 f x ( 0 ) = 0 （D）至少存在一点 x a b 0 ( , ) ，使得 f x( 0 ) = 0 (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有
(A)当A=a(a≠0)时,B=a(B)当4=a(a≠0)时,|B=-a (C)当4≠0时,|B (D)当4=0时,|B(=0 (13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A≠0,若5,523,54是非齐次线性方程组Ax=b的 互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系 (A)不存在 (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量 14)设随机变量x服从正态分布N(Q1),对给定的a∈(01),数n满足 P{X>un}=a,若P{Xk<x}=a,则x等于 三、解答题:本题共9小题,满分94分.请将解答写在答题纸指定的位置上解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分8分) COS x (16)(本题满分8分) 求j(2+y+y,其中D是由圆x2+y2=4和(x+1)+y21所围成的平面 区域(如图) (17)(本题满分8分) 设∫(x)g(x)在[ab]上连续,且满足
（A）当 A a a = ( 0) 时， B a = （B）当 A a a = ( 0) 时， B a = − （C）当 A 0 时， B = 0 （D）当 A = 0 时， B = 0 (13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 * A 0 ，若 1 2 3 4 , , , 是非齐次线性方程组 Ax b = 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系 （A）不存在 （B）仅含一个非零解向量 （C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量 (14) 设随 机 变量 X 服 从 正 态分 布 N (0,1) ， 对 给 定的 (0,1) ， 数 n u 满 足 P X u = ，若 P X x = ，则 x 等于 （A） 2 u （B） 1 2 u − （C） 1 2 u − （D） 1 u − 三、解答题：本题共 9 小题，满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 8 分） 求 2 2 2 0 1 cos lim x sin x → x x − . （16）（本题满分 8 分） 求 ( ) 2 2 D x y y d + + ，其中 D 是由圆 2 2 x y + = 4 和 ( ) 2 2 x y + + = 1 1 所围成的平面 区域（如图）. （17）（本题满分 8 分） 设 f x g x ( ), ( ) 在 a b, 上连续，且满足
f(t)d=」g()dt 证明:Jx/(x)ds!x(x)d (18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量 (1)求需求量对价格的弹性E(E>0) (m)推导元=9(1-E)(其中R为收益),并用弹性E说明价格在何范围内变 化时,降低价格反而使收益增加 (19)(本题满分9分) 设级数 24246+246.8+(-0xx+)的和函数为S()求 (I)S(x)所满足的一阶微分方程 (Ⅱ)S(x)的表达式 (20)(本题满分13分) 设a1=(1,2,0),a2=(1,a+2,-3a),ax3=(-1,-b-2,a+2b),B=(13-3) 讨论当a,b为何值时, (I)B不能由a1,a23线性表示; (Ⅱ)B可由a12a2,a3唯一地线性表示,并求出表示式 (Ⅲ)B可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式 (21)(本题满分13分) b 设n阶矩阵b1 b bb (Ⅰ)求A的特征值和特征向量 (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得PAP为对角矩阵
( ) ( ) x x a a f t dt g t dt ， x a b , ) ， ( ) ( ) b b a a f t dt g t dt = 证明： ( ) ( ) b b a a xf x dx xg x dx . （18）（本题满分 9 分） 设某商品的需求函数为 Q P = − 100 5 ，其中价格 P(0,20) ，Q 为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性 E E d d ( 0) ； （Ⅱ）推导 (1 d ) dR Q E dP = − （其中 R 为收益），并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变 化时，降低价格反而使收益增加. （19）（本题满分 9 分） 设级数 ( ) 4 6 8 2 4 2 4 6 2 4 6 8 x x x + + + − + x 的和函数为 S x( ) .求： （Ⅰ） S x( ) 所满足的一阶微分方程； （Ⅱ） S x( ) 的表达式. （20）（本题满分 13 分） 设 1 2 3 (1,2,0 , 1, 2, 3 , 1, 2, 2 ) ( ) ( ) T T T = = + − = − − − + a a b a b ， (1,3, 3) T = − . 试 讨论当 a b, 为何值时， （Ⅰ） 不能由 1 2 3 , , 线性表示； （Ⅱ） 可由 1 2 3 , , 唯一地线性表示，并求出表示式； （Ⅲ） 可由 1 2 3 , , 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式. （21）（本题满分 13 分） 设 n 阶矩阵 1 1 1 b b b b A b b = . （Ⅰ）求 A 的特征值和特征向量； （Ⅱ）求可逆矩阵 P ，使得 1 P AP − 为对角矩阵
(22)(本题满分13分) 设AB为两个随机事件,且P()=,P(B|A)=,P(4|B) 3 X ∫1发生, Y ∫1B发生 0,A不发生 0,B不发生 求:(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布 (Ⅱ)X与Y的相关系数puy (Ⅲ)Z=X2+Y2的概率分布 (23)(本题满分13分) 设随机变量X的分布函数为 F(r; a, B) 0, x≤a 其中参数a>0.B>1.设X1,x2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本 (I)当a=1时,求未知参数β的矩估计量 (Ⅱ)当a=1时,求未知参数B的最大似然估计量 (Ⅲ)当B=2时,求未知参数a的最大似然估计量
（22）（本题满分 13 分） 设 A B, 为 两 个 随 机 事 件 ， 且 ( ) ( ) ( ) 111 , , 432 P A P B A P A B = = = ， 令 1, 0, . A X A = 发生， 不发生 1, 0, . B Y B = 发生， 不发生 求：（Ⅰ）二维随机变量 ( X Y, ) 的概率分布； （Ⅱ） X 与 Y 的相关系数 XY ； （Ⅲ） 2 2 Z X Y = + 的概率分布. （23）（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的分布函数为 ( ) 1 , , ; , 0, . x F x x x − = 其中参数 0, 1. 设 1 2 , , , X X X n 为来自总体 X 的简单随机样本. （Ⅰ）当 =1 时，求未知参数 的矩估计量； （Ⅱ）当 =1 时，求未知参数 的最大似然估计量； （Ⅲ）当 = 2 时，求未知参数 的最大似然估计量