2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 、填空题(本题共5小题每小题3分满分15分把答案填在题中横线上) (2)曲面x2+2y2+32=21在点(1,-2,-2)的法线方程为 (3)微分方程x"+3y=0的通解为 (4)已知方程组23a+2‖x2=3无解,则a= x3 (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发 生A不发生的概率相等,则P(4)= 选择题(本题共5小题每小题3分满分15分每小题给出的四个选项中只有一个符 合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设∫(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f(x)g(x)-f(x)g(x)f(b)g(x) (B)f(x)g(a)>f(a)g(x) (C)f(x)g(x)>f(b)gb) (D)f(x)g(x)>f(ag(a) (2)设S:x2+y2+2=a(z≥0)S1为S在第一卦限中的部分则有 (A)xds=4 xds (B)yds=4xds (c)Eds=4 xds cds=4xvdS (3)设级数∑un收敛则必收敛的级数为 (A)∑(-1
2000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1) 1 2 0 2x x dx − =_____________. (2)曲面 2 2 2 x y z + + = 2 3 21 在点 (1, 2, 2) − − 的法线方程为_____________. (3)微分方程 xy y + = 3 0 的通解为_____________. (4)已知方程组 1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 3 1 2 0 x a x a x + = − 无解,则 a = _____________. (5)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 , A 发生 B 不发生的概率与 B 发 生 A 不发生的概率相等,则 P A( ) =_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 f x( ) 、 g x( ) 是 恒 大于 零的 可导 函数, 且 f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 − , 则 当 a x b 时,有 (A) f x g b f b g x ( ) ( ) ( ) ( ) (B) f x g a f a g x ( ) ( ) ( ) ( ) (C) f x g x f b g b ( ) ( ) ( ) ( ) (D) f x g x f a g a ( ) ( ) ( ) ( ) (2)设 2 2 2 2 1 S x y z a z S : ( 0), + + = 为 S 在第一卦限中的部分,则有 (A) 1 4 S S xdS xdS = (B) 1 4 S S ydS xdS = (C) 1 4 S S zdS xdS = (D) 1 4 S S xyzdS xyzdS = (3)设级数 1 n n u = 收敛,则必收敛的级数为 (A) 1 ( 1)n n n u n = − (B) 2 1 n n u = (C) 2 1 2 1 ( ) n n n u u − = − (D) 1 1 ( ) n n n u u + = +
4)设n维列向量组a1…n(m1 4 取逆时针方向 六、(本题满分7分) 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有 xy(x)-x(x)a-edh=0,其中函数f(x)在(+x)内具有连续的一阶 导数,且lmf(x)=1,求f(x)
(4)设 n 维列向量组 1 , , ( ) α αm m n 线性无关,则 n 维列向量组 1 , , β βm 线性无关的充 分必要条件为 (A)向量组 1 , , α αm 可由向量组 1 , , β βm 线性表示 (B) 向量组 1 , , β βm 可由向量 组 1 , , α αm 线性表示 (C)向量组 1 , , α αm 与向量组 1 , , β βm 等价 (D)矩阵 1 ( , , ) A = α αm 与矩 阵 1 ( , , ) B = β βm 等价 (5)设二维随机变量 ( , ) X Y 服从二维正态分布,则随机变量 = + X Y 与 = − X Y 不 相关的充分必要条件为 (A) E X E Y ( ) ( ) = (B) 2 2 2 2 E X E X E Y E Y ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] − = − (C) 2 2 E X E Y ( ) ( ) = (D) 2 2 2 2 E X E X E Y E Y ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] + = + 三、(本题满分 6 分) 求 1 4 2 e sin lim( ). 1 e x x x x → x + + + 四、(本题满分 5 分) 设 ( , ) ( ) x x z f xy g y y = + ,其中 f 具有二阶连续偏导数 , g 具有二阶连续导数,求 2 . z x y 五、(本题满分 6 分) 计算曲线积分 2 2 L 4 xdy ydx I x y − = + ,其中 L 是以点 (1,0) 为中心 , R 为半径的圆周 ( 1), R 取逆时针方向. 六、(本题满分 7 分) 设对于半空间 x 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S, 都 有 2 ( ) ( ) e 0, x S xf x dydz xyf x dzdx zdxdy − − = 其中函数 f x( ) 在 (0, ) + 内具有连续的一阶 导数,且 0 lim ( ) 1, x f x → + = 求 f x( )
七、(本题满分6分) 求幂级数∑1x 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性 八、(本题满分7分) 设有一半径为R的球体,P是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 P距离的平方成正比(比例常数k>0,求球体的重心位置 九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,]上连续且「f(x)=0,f(x) cos xdx=0试证在(0.,x)内至 少存在两个不同的点5122,使∫(5)=f(2)=0 十、(本题满分6分) 设矩阵A的伴随矩阵A·s0100 1010}且ABA=BA+3E,其中E为4阶单 位矩阵,求矩阵 十一、(本题满分8分) 某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计然后将一熟练工支援其 他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 二成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为x和yn,记成向 的关系式并写成矩阵形式 4 (2)验证η 是A的两个线性无关的特征向量并求出相应的特征值 (3)当 时,求 2 十二、(本题满分8分) 某流水线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相对独立,当出现
七、(本题满分 6 分) 求幂级数 1 1 3 ( 2) n n n n x n = + − 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. 八、(本题满分 7 分) 设有一半径为 R 的球体 0 , P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比(比例常数 k 0 ),求球体的重心位置. 九、(本题满分 6 分) 设函数 f x( ) 在 [0, ] 上连续,且 0 0 f x dx f x xdx ( ) 0, ( )cos 0. = = 试证:在 (0, ) 内至 少存在两个不同的点 1 2 , , 使 1 2 f f ( ) ( ) 0. = = 十、(本题满分 6 分) 设矩阵 A 的伴随矩阵 * 1 0 0 0 0 1 0 0 , 1 0 1 0 0 3 0 8 = − A 且 1 1 3 − − ABA BA E = + ,其中 E 为 4 阶单 位矩阵,求矩阵 B . 十一、(本题满分 8 分) 某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 1 6 熟练工支援其 他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 2 5 成为熟练工.设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 n x 和 , n y 记成向 量 . n n x y (1)求 1 1 n n x y + + 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式: 1 1 . n n n n x x y y + + = A (2)验证 1 2 4 1 , 1 1 − = = η η 是 A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当 1 1 1 2 1 2 x y = 时,求 1 1 . n n x y + + 十二、(本题满分 8 分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 p p (0 1) ,各产品合格与否相对独立,当出现 1
个不合格产品时即停机检修设开机后第1次停机时己生产了的产品个数为X,求X的数学 期望E(X)和方差D(X) 十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命X的概率密度为∫(x,6)= ∫2e2-”x>b 其中6>0为未知参数 x≤b 又设x1,x2…,x是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值
个不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学 期望 E X( ) 和方差 D X( ). 十三、(本题满分 6 分) 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为 2( ) 2 e ( ; ) 0 x x f x x − − = ,其中 0 为未知参数. 又设 1 2 , , , n x x x 是 X 的一组样本观测值,求参数 的最大似然估计值
