第二十五章存贮论 存贮论(或称为库存论)是定量方法和技术最早的领域之一,是研究存贮系统的 性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科,是运筹学的重要分支。存贮论 的数学模型一般分成两类:一类是确定性模型,它不包含任何随机因素,另一类是带有 随机因素的随机存贮模型。 §1存贮模型中的基本概念 所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来,起到协调与缓和 供需之间矛盾的作用。存贮模型的基本形式如图1所示 输入(供应) 存贮 输出(需求) 图1存贮问题基本模型 1.存贮问题的基本要素 (1)需求率:单位时间内对某种物品的需求量,用D表示 (2)订货批量:一次订货中,包含某种货物的数量,用Q表示 (3)订货间隔期:两次订货之间的时间间隔,用T表示。 2.存贮模型的基本费用 (1)订货费:每组织一次生产、订货或采购的费用,通常认为与定购数量无关, 记为CD (2)存贮费:所有用于存贮的全部费用,通常与存贮物品的多少和时间长短有关。 单位存贮费记为Cp (3)短缺损失费:由于物品短缺所产生的一切损失费用,通常与损失物品的多少 和短缺时间的长短有关,记为Cs° 3.存贮策略 所谓一个存贮策略,是指决定什么情况下对存贮进行补充,以及补充数量的多少。 下面是一些比较常见的存贮策略 (1)I循环策略:不论实际的存贮状态如何,总是每隔一个固定的时间,补充 个固定的存贮量Q。 (2)(t,S)策略:每隔一个固定的时间t补充一次,补充数量以补足一个固定的 最大存贮量S为准。因此,每次补充的数量是不固定的,要视实际存贮量而定。当存 317
-317- 第二十五章 存贮论 存贮论（或称为库存论）是定量方法和技术最早的领域之一，是研究存贮系统的 性质、运行规律以及如何寻找最优存贮策略的一门学科，是运筹学的重要分支。存贮论 的数学模型一般分成两类：一类是确定性模型，它不包含任何随机因素，另一类是带有 随机因素的随机存贮模型。 §1 存贮模型中的基本概念 所谓存贮实质上是将供应与需求两个环节以存贮中心联结起来，起到协调与缓和 供需之间矛盾的作用。存贮模型的基本形式如图 1 所示。 图 1 存贮问题基本模型 1．存贮问题的基本要素 （1）需求率：单位时间内对某种物品的需求量，用 D 表示。 （2）订货批量：一次订货中，包含某种货物的数量，用Q 表示。 （3）订货间隔期：两次订货之间的时间间隔，用T 表示。 2．存贮模型的基本费用 （1）订货费：每组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与定购数量无关， 记为CD 。 （2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。 单位存贮费记为CP 。 （3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少 和短缺时间的长短有关，记为CS 。 3．存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。 下面是一些比较常见的存贮策略。 （1）t 循环策略：不论实际的存贮状态如何，总是每隔一个固定的时间t ，补充 一个固定的存贮量Q 。 （2）(t,S) 策略：每隔一个固定的时间t 补充一次，补充数量以补足一个固定的 最大存贮量 S 为准。因此，每次补充的数量是不固定的，要视实际存贮量而定。当存
贮(余额)为l时,补充数量为O=S-I。 (3)(S,S)策略:当存贮(余额)为Ⅰ,若Ⅰ>§,则不对存贮进行补充;若Ⅰ≤S 则对存贮进行补充,补充数量Q=S-。补充后达到最大存贮量S。s称为订货点(或 保险存贮量、安全存贮量、警戒点等)。在很多情况下,实际存贮量需要通过盘点才能 得知。若每隔一个固定的时间t盘点一次,得知当时存贮Ⅰ,然后根据Ⅰ是否超过订货 点,决定是否订货、订货多少,这样的策略称为(t,S,S)策略 §2无约束的确定型存贮模型 我们首先考察经济订购批量存贮模型。 所谓经济订购批量存贮模型( economic ordering quantit,EOQ)是指不允许缺货、 货物生产(或补充)的时间很短(通常近似为0)的模型。 2.1模型一:不允许缺货,补充时间极短一基本的经济订购批量存贮模型 基本的经济订购批量存贮模型有以下假设: (1)短缺费为无穷,即Cs=∞ (2)当存贮降到零后,可以立即得到补充 (3)需求是连续的、均匀的,即需求速度(单位时间的需求量)D为常数; (4)每次的订货量不变,订购费不变 (5)单位存贮费为C, 由上述假设,存贮量的变化情况如图2所示。 Q 图2EOQ模型的存贮量曲线 在每一个周期(T)内,最大的存贮量为O,最小的存贮量为0,且需求是连续均 匀的,因此在一个周期内,其平均存贮量为Q,存贮费用为CpQ
-318- 贮（余额）为 I 时，补充数量为Q = S − I 。 （3）(s,S) 策略：当存贮（余额）为 I ，若 I > s ，则不对存贮进行补充；若 I ≤ s ， 则对存贮进行补充，补充数量Q = S − I 。补充后达到最大存贮量 S 。s 称为订货点（或 保险存贮量、安全存贮量、警戒点等）。在很多情况下，实际存贮量需要通过盘点才能 得知。若每隔一个固定的时间t 盘点一次，得知当时存贮 I ，然后根据 I 是否超过订货 点 s ，决定是否订货、订货多少，这样的策略称为(t,s,S)策略。 §2 无约束的确定型存贮模型 我们首先考察经济订购批量存贮模型。 所谓经济订购批量存贮模型（economic ordering quantity, EOQ）是指不允许缺货、 货物生产（或补充）的时间很短（通常近似为 0）的模型。 2.1 模型一：不允许缺货，补充时间极短—基本的经济订购批量存贮模型 基本的经济订购批量存贮模型有以下假设： （1）短缺费为无穷，即CS = ∞ ； （2）当存贮降到零后，可以立即得到补充； （3）需求是连续的、均匀的，即需求速度（单位时间的需求量） D 为常数； （4）每次的订货量不变，订购费不变； （5）单位存贮费为Cp 。 由上述假设，存贮量的变化情况如图 2 所示。 图 2 EOQ 模型的存贮量曲线 在每一个周期（T ）内，最大的存贮量为Q ，最小的存贮量为 0，且需求是连续均 匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为 Q 2 1 ，存贮费用为 CPQ 2 1
次订货费为CD,那么在一个周期(T)内的平均订货非为CD/T。由于在最初 时刻,订货量为Q,在T时刻,存贮量为0,而且单位时间的需求量为D且连续均匀 变化,因此,得到订货量O、需求量D和订货周期T之间的关系T=9 由此计算出一个单位时间内的平均总费用 CpO- CDD 对式(1)求导数,并令其为0,即 C CD 0 得到费用最小的订货量 最佳订货周期 C. 最小费用 CD CPQ 2CC.D 公式(3)称为经济订购批量( economic ordering quantity,,简写EOQ)公式,也称 为经济批量( economic lot size)公式。 例1某商品单位成本为5元,每天保管费为成本的0.1%,每次定购费为10元 已知对该商品的需求是100件/天,不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问 应怎样组织进货,才能最经济。 解根据题意,Cn=5×0.1%=0.005(元/件·天),CD=10元,D=100件/ 由式(3)~(5),有 Q'=/2CDD2x10×100 0005=632(件)
-319- 一次订货费为CD ，那么在一个周期（T ）内的平均订货非为CD /T 。由于在最初 时刻，订货量为Q ，在T 时刻，存贮量为 0，而且单位时间的需求量为 D 且连续均匀 变化，因此，得到订货量Q 、需求量 D 和订货周期T 之间的关系 D Q T = 。 由此计算出一个单位时间内的平均总费用 Q C D C C Q D = P + 2 1 （1） 对式（1）求导数，并令其为 0，即 0 2 1 2 = − = Q C D C dQ dC D P （2） 得到费用最小的订货量 P D C C D Q* 2 = （3） 最佳订货周期 C D C D Q T P D 2 * * = = （4） 最小费用 C C D Q C D C C Q D P D P 2 2 * 1 * = + = （5） 公式（3）称为经济订购批量（economic ordering quantity，简写 EOQ）公式，也称 为经济批量（economic lot size）公式。 例 1 某商品单位成本为 5 元，每天保管费为成本的 0.1%，每次定购费为 10 元。 已知对该商品的需求是 100 件/天，不允许缺货。假设该商品的进货可以随时实现。问 应怎样组织进货，才能最经济。 解 根据题意，Cp = 5×0.1% = 0.005 （元/件·天）， =10 CD 元， D =100 件/ 天。 由式（3）～（5），有 632 0.005 * 2 2 10 100 = × × = = P D C C D Q （件）
Q 632 =6.32(天) D100 √2 C CD=316(元天) 所以,应该每隔632天进货一次,每次进货该商品632件,能使总费用(存贮费 和定购费之和)为最少,平均约3.16元/天。 进一步研究,全年的订货次数为 =57.75(天) 6.32 但n必须为正整数,故还需要比较n=57与n=58时全年的费用。 编写如下 LINGO程序: sets times /1 2/: n,Q,C endsets D=100*365 CP=0.005*365 @for( 求得全年组织58次订货费用少一点 利用 LINGO软件,我们可以直接求出问题的整数解 LINGO程序如下 sets times/1.100/:C,Q;!100不是必须的,通常取一个适当大的数就可以了 CP=0.005*365 @for(times(i):Q(i)=D/i;C(1)=0.5*C P*Q+C D*D/Q C min=@min(times: C)i Q best=@sum(times(1): Q(i)*(C(i)#eg# C min) n best=D/Q best;
-320- 6.32 100 632 * * = = = D Q T （天） 2 3.16 * C = CDCPD = （元/天） 所以，应该每隔 6.32 天进货一次，每次进货该商品 632 件，能使总费用（存贮费 和定购费之和）为最少，平均约 3.16 元/天。 进一步研究，全年的订货次数为 57.75 6.32 365 n = = （天） 但 n 必须为正整数，故还需要比较n = 57 与 n = 58时全年的费用。 编写如下LINGO程序： model: sets: times/1 2/:n,Q,C; endsets data: n=57 58; enddata C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; @for(times:n=D/Q;C=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); end 求得全年组织 58 次订货费用少一点。 利用 LINGO 软件，我们可以直接求出问题的整数解。 LINGO 程序如下： model: sets: times/1..100/:C,Q; !100不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了; endsets C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; @for(times(i):Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); C_min=@min(times:C); Q_best=@sum(times(i):Q(i)*(C(i) #eq# C_min)); N_best=D/Q_best; end
求得一年组织58次订货,每次的订货量为6293件,最优费用为115425元。 22模型二:允许缺货,补充时间较长一经济生产批量存贮模型 模型假设条件 (1)需求是连续的,即需求速度D为常数 (2)补充需要一定时间。即一旦需要,生产可立刻开始,但生产需要一定周期。 设生产是连续均匀的,即生产速度P为常数。同时,设P>D (3)单位存贮费为Cp,单位缺货费为Cs,订购费为CD。不考虑货物价值 存贮状态图见图3。 存贮量 斜率E 、斜率(D 时间 B 图3允许缺货且补充时间较长的存贮模型 [0,]为一个存贮周期,t1时刻开始生产,t3时刻结束生产。 [02]时间内存贮为0,t1时达到最大缺货量B,[1,2]时间内产量一方面以速度 D满足需求,另一方面以速度P-D补充[O.1]时间内的缺货,至2时刻缺货补足。 t2,t3]时间内产量一方面以速度D满足需求,另一方面以速度P-D增加存贮 至l3时刻达到最大存贮量A,并停止生产。 [t3,门]时间内以存贮满足需求,存贮以速度D减少。至T时刻存贮降为零,进入 下一个存贮周期。 下面,根据模型假设条件和存贮状态图,首先导出[O,7时间内的平均总费用(即 费用函数),然后确定最优存贮策略。 从[0,1]看,最大缺货量B=D1;从[1,12]看,最大缺货量B=(P-D)(t2-1)
-321- 求得一年组织 58 次订货，每次的订货量为 629.3 件，最优费用为 1154.25 元。 2.2 模型二：允许缺货，补充时间较长—经济生产批量存贮模型 模型假设条件： （1）需求是连续的，即需求速度 D 为常数； （2）补充需要一定时间。即一旦需要，生产可立刻开始，但生产需要一定周期。 设生产是连续均匀的，即生产速度 P 为常数。同时，设 P > D ； （3）单位存贮费为CP ，单位缺货费为CS ，订购费为CD 。不考虑货物价值。 存贮状态图见图 3。 图 3 允许缺货且补充时间较长的存贮模型 [0,T]为一个存贮周期， 1t 时刻开始生产， 3t 时刻结束生产。 [0, ] 2t 时间内存贮为 0， 1t 时达到最大缺货量 B ，[ , ] 1 2 t t 时间内产量一方面以速度 D 满足需求，另一方面以速度 P − D 补充[0, ]1t 时间内的缺货，至 2t 时刻缺货补足。 [ , ] 2 3 t t 时间内产量一方面以速度 D 满足需求，另一方面以速度 P − D 增加存贮。 至 3t 时刻达到最大存贮量 A ，并停止生产。 [ , ] t3 T 时间内以存贮满足需求，存贮以速度 D 减少。至T 时刻存贮降为零，进入 下一个存贮周期。 下面，根据模型假设条件和存贮状态图，首先导出[0,T]时间内的平均总费用（即 费用函数），然后确定最优存贮策略。 从[0, ]1t 看，最大缺货量 B = Dt1；从[ , ] 1 2 t t 看，最大缺货量 ( )( ) 2 1 B = P − D t − t
故有D1=(P-Dt2-1),从中解出: P-D 从[2,l3]看,最大存贮量A=(P-D)(t3-12);从[3,刀看,最大存贮量 A=D(T-13)。故有(P-Dt3-t2)=R(T-13),从中解得 D t3-12=1(T-12) (7) 易知,在[0,7时间内 存贮费为Cp(P-D)(12-12)(T-2) 缺货费为CsD12; 定购费为CD 故[0,7时间内平均总费用为 C2)=Cp(P-Dt2-2)T-12)+CD12+CD 故将(6)和(7)代入,整理后得 C( )=(P-D)DI 2PC 42+(Cp+Cs)2 +CD 解方程组 C(T,12) aC(T, 42) 0 可得 DCPC(
-322- 故有 ( )( ) 1 2 1 Dt = P − D t − t ，从中解出： 1 2t P P D t − = （6） 从 [ , ] 2 3 t t 看，最大存贮量 ( )( ) 3 2 A = P − D t −t ； 从 [ , ] t3 T 看，最大存贮量 ( )3 A = D T −t 。故有( )( ) ( ) 3 2 3 P − D t −t = R T −t ，从中解得 ( ) 3 2 2 T t P D t −t = − （7） 易知，在[0,T]时间内： 存贮费为 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 C P D t t T t P − − − ； 缺货费为 1 2 2 1 C Dt t S ； 定购费为CD 。 故[0,T]时间内平均总费用为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = P − − − + s +CD C P D t t T t C Dt t T C T t2 3 2 2 1 2 2 1 ( )( )( ) 2 1 1 ( , ) 故将（6）和（7）代入，整理后得 T C T t C T C t C C P P D D C T t D p P P S ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − = 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( , ) （8） 解方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 ( , ) 0 ( , ) 2 2 2 t C T t T C T t 可得 (1 ) 2 ( ) * P D DC C C C C T P S D P S − + =
,= 容易证明,此时的费用C(T,12)是费用函数C(T,2)的最小值 因此,模型的最优存贮策略各参数值为: 最优存贮周期T=T"= 2C(CP+Cs) (9) DCCS( 经济生产批量g=Dr=P2CD(Ce+C (10) CpCs( 缺货补足时间2=PT= 2C.D (11) VCs(Cp+Cs XI 2CDCPD(I 开始生产时间1 (12) Cs(Cp+C 结束生产时间1·+(1-2 (13) 最大存贮量A=D(T-13) (14) 最大缺货量B=D1 平均总费用C2Cy (16) 例2有一个生产和销售图书设备的公司,经营一种图书专用设备,基于以往的销 售记录和今后市场预测。估计今后一年的需求量为4900个,由于占用资金的利息以及 存贮库房和其它人力物力的费用,存贮一个书架一年要花费1000元。这种书架是该公 司自己生产的,每年的生产量9800个,而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费 500元。如果允许缺货,缺货费为每年每件2000元。该公司为了把成本降到最低,应 如何组织生产?要求出其生产、存贮周期,每个周期的最优生产量,以及最少的年总费 用。 解根据题意知,D=4900,Cp=1000,P=9800,CD=500,Cs=2000
-323- * * 2 T C C C t P S P + = 容易证明，此时的费用 ( , ) * 2 * C T t 是费用函数 ( , ) 2 C T t 的最小值。 因此，模型的最优存贮策略各参数值为： 最优存贮周期 (1 ) 2 ( ) * * P D DC C C C C T T P S D P S − + = = （9） 经济生产批量 (1 ) 2 ( ) * * P D C C C D C C Q DT P S D P S − + = = （10） 缺货补足时间 ( )(1 ) * * 2 2 P D C C C C C D T C C C t S P S D P P S P + − = + = （11） 开始生产时间 ( ) 2 (1 ) * 2 * 1 S P S D P C C C P D C C D t P P D t + − = − = （12） 结束生产时间 * 2 * * 3 (1 )t P D T P D t = + − （13） 最大存贮量 ( ) * 3 * * A = D T −t （14） 最大缺货量 * 1 * B = Dt （15） 平均总费用 * * 2 T C C D = （16） 例 2 有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种图书专用设备，基于以往的销 售记录和今后市场预测。估计今后一年的需求量为 4900 个，由于占用资金的利息以及 存贮库房和其它人力物力的费用，存贮一个书架一年要花费 1000 元。这种书架是该公 司自己生产的，每年的生产量 9800 个，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费 500 元。如果允许缺货，缺货费为每年每件 2000 元。该公司为了把成本降到最低，应 如何组织生产？要求出其生产、存贮周期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费 用。 解 根据题意知，D = 4900 ， =1000 CP ，P = 9800 ， = 500 CD ，CS = 2000
利用式(9)~(13),(16)求相关的指标。 编写的 LINGO程序如下: D=490 CD=500 T1=(2+CD+(CP+CS)/(D*CP*Cs*(1-D/P)))~0.5;!单位为年; T=T1*365;!单位为天 Q=D*T1 TS=CP*/(CPCS);!求缺货时间 TP=D*T/P;!求生产周期; C=2+CD/T1;!求年总费用; 求得每个周期为9天,其中9天中有45天在生产,每次的生产量为121件,而且 缺货的时间有3天。总的费用(包括存贮费、订货费和缺货费)为4044.52元 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中,取消允许缺货和补充需要一定 时间的条件,即Cs>∞,P→∞,则模型二就是模型一。事实上,如将Cs→>∞和 尸→∞代入模型二的最优存贮策略各参数公式,就可得到模型一的最优存贮策略。只 是必须注意,按照模型一的假设条件,应有 =l2=13=0,A'=Q 2.3模型三:不允许缺货,补充时间较长一基本的经济生产批量存贮模型 在模型二的假设条件中,取消允许缺货条件(即设C,→>∞,12=0),就成为模 型三。因此,模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以从模型二直接导出。 模型三的存贮状态见图4。下面我们用另外的方法导出模型三的最优存贮策略。 存贮量4 最高存贮量 平均存贮量 时间时间 图4经济生产批量模型存贮量的变化情况 经济生产批量存贮模型除满足基本假设外,其最主要的假设是:当存贮降到零后
-324- 利用式（9）～（13），（16）求相关的指标。 编写的 LINGO 程序如下： model: D=4900; C_P=1000; P=9800; C_D=500; C_S=2000; T1=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年; T=T1*365; !单位为天; Q=D*T1; T_S=C_P*T/(C_P+C_S); !求缺货时间; T_P=D*T/P; ! 求生产周期; C=2*C_D/T1; ! 求年总费用; end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且 缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 4044.52 元。 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定 时间的条件，即CS → ∞ ， P → ∞ ，则模型二就是模型一。事实上，如将CS → ∞ 和 P → ∞ 代入模型二的最优存贮策略各参数公式，就可得到模型一的最优存贮策略。只 是必须注意，按照模型一的假设条件，应有 0 * 3 * 2 * t1 = t = t = ， * * A = Q ， 0 * B = 2.3 模型三：不允许缺货，补充时间较长—基本的经济生产批量存贮模型 在模型二的假设条件中，取消允许缺货条件（即设Cs → ∞ ， 0 t2 = ），就成为模 型三。因此，模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以从模型二直接导出。 模型三的存贮状态见图 4。下面我们用另外的方法导出模型三的最优存贮策略。 图 4 经济生产批量模型存贮量的变化情况 经济生产批量存贮模型除满足基本假设外，其最主要的假设是：当存贮降到零后
开始进行生产,生产率为P,且P>D,即生产的产品一部分满足需求,剩余部分才 作为存贮。 设生产批量为Q,生产时间为t,则生产时间与生产率之间的关系为 对于经济生产批量模型,有 最高存贮量=(P-D=(P-D)=(1-)Q (17) 而平均存贮量是最高存贮量的一半,关于平均固定生产费与经济定购模型中的平均订货 费相同,同样是 这样,平均总费用为 类似于前面的推导,得到最优生产量、最优存贮周期、最大存贮量和最优存贮费用 O 2CD (19) CPO 2CD (20) D VCPD(P-D D D 2(1-=CD A=(1-)Q (21) 例3商店经销某商品,月需求量为30件,需求速度为常数。该商品每件进价300 元,月存贮费为进价的2%。向工厂订购该商品时订购费每次20元,定购后需5天才 开始到货,到货速度为常数,即2件/天。求最优存贮策略。 解本例特点是补充除需要入库时间(相当于生产时间)外,还需要考虑拖后时 间。因此,订购时间应在存贮降为零之前的第5天。除此之外,本例和模型三的假设条 件完全一致。本例的存贮状态见图5
-325- 开始进行生产，生产率为 P ，且 P > D ，即生产的产品一部分满足需求，剩余部分才 作为存贮。 设生产批量为Q ，生产时间为t ，则生产时间与生产率之间的关系为 P Q t = 对于经济生产批量模型，有 最高存贮量 Q P D P Q = (P − D)t = (P − D) = (1− ) （17） 而平均存贮量是最高存贮量的一半，关于平均固定生产费与经济定购模型中的平均订货 费相同，同样是 Q CD D 。这样，平均总费用为 Q C D QC P D C D = (1− ) P + 2 1 （18） 类似于前面的推导，得到最优生产量、最优存贮周期、最大存贮量和最优存贮费用 (1 ) * 2 P D C C D Q P D − = （19） ( ) 2 * * C D P D C P D Q T P D − = = （20） P D C C D P D Q P D A 2(1 ) (1 ) * * − = − = （21） C C D P D T C C P D D 2(1 ) 2 * * = = − （22） 例 3 商店经销某商品，月需求量为 30 件，需求速度为常数。该商品每件进价 300 元，月存贮费为进价的 2％。向工厂订购该商品时订购费每次 20 元，定购后需 5 天才 开始到货，到货速度为常数，即 2 件/天。求最优存贮策略。 解 本例特点是补充除需要入库时间（相当于生产时间）外，还需要考虑拖后时 间。因此，订购时间应在存贮降为零之前的第 5 天。除此之外，本例和模型三的假设条 件完全一致。本例的存贮状态见图 5
存贮量 斜率P-D 斜率(-D) 图5拖后时间的存贮模型 从图5可见,拖后时间为[0.],存贮量L应恰好满足这段时间的需求,故L=D0 根据题意,有P=2件/天,D=1件天,C=300×2%、120.2元天·件, CD=20元/次,=5天,L=1×5=5件。代入(19)~(22),求得 Q=20件,T=20天,A=10件,C=2元 在本例中,L称为订货点,其意义是每当发现存贮量降到L或更低时就定购。在 存贮管理中,称这样的存贮策略为“定点订货”。类似地,称每隔一个固定时间就订货 的存贮策略为“定时订货”,称每次订购量不变的存贮策略为“定量订货”。 24模型四:允许缺货,补充时间极短的经济订购批量存贮模型 在模型二的假设条件中,取消补充需要一定时间的条件(即设P→∞),就成为 模型四。因此,和模型三一样,模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二直 接导出 模型四的存贮状态图见图6。下面我们用另外的方法导出模型四的最优存贮策略。 设T仍为时间周期,其中7表示T中不缺货时间,72表示T中缺货时间,即 T+T2=T。S为最大缺货量C,为缺货损失的单价,Q仍为每次的最高订货量,则 Q-S为最高存贮量,因为每次得到订货量Q后,立即支付给顾客最大缺货S。 326-
-326- 图 5 拖后时间的存贮模型 从图 5 可见，拖后时间为[0, ] 0t ，存贮量 L 应恰好满足这段时间的需求，故 L = Dt0 。 根据题意，有 P = 2 件/天， D =1件/天， 0.2 30 1 CP = 300× 2%× = 元/天·件， = 20 CD 元/次，t0 = 5天， L =1×5 = 5 件。代入（19）～（22），求得 20 * Q = 件， 20 * T = 天， 10 * A = 件， 2 * C = 元 在本例中， L 称为订货点，其意义是每当发现存贮量降到 L 或更低时就定购。在 存贮管理中，称这样的存贮策略为“定点订货”。类似地，称每隔一个固定时间就订货 的存贮策略为“定时订货”，称每次订购量不变的存贮策略为“定量订货”。 2.4 模型四：允许缺货，补充时间极短的经济订购批量存贮模型 在模型二的假设条件中，取消补充需要一定时间的条件（即设 P → ∞ ），就成为 模型四。因此，和模型三一样，模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二直 接导出。 模型四的存贮状态图见图 6。下面我们用另外的方法导出模型四的最优存贮策略。 设T 仍为时间周期，其中T1 表示T 中不缺货时间，T2 表示T 中缺货时间，即 T1 +T2 = T 。 S 为最大缺货量,Cs 为缺货损失的单价，Q 仍为每次的最高订货量，则 Q − S 为最高存贮量，因为每次得到订货量Q 后，立即支付给顾客最大缺货 S
