第十章数据的统计描述和分析 数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据,以下数理统计就简称统计,统计是 以概率论为基础的一门应用学科。 数据样本少则几个,多则成千上万,人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的 数值来体现数据样本总体的规律。描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据, 使之系统化、条理化,以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基 ,实用性较强,在统计工作中经常使用。 面对一批数据如何进行描述与分析,需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计 的最基本方法。 我们将用 Matlab的统计工具箱( Statistics toolbox)来实现数据的统计描述和分析。 §1统计的基本概念 1.1总体和样本 总体是人们研究对象的全体,又称母体,如工厂一天生产的全部产品(按合格品及 废品分类),学校全体学生的身高。 总体中的每一个基本单位称为个体,个体的特征用一个变量(如x)来表示,如 件产品是合格品记x=0,是废品记x=1:一个身高170(cm)的学生记x=170。 从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本,或子样,如n件产品,100名学 生的身高,或者一根轴直径的10次测量。实际上这就是从总体中随机取得的一批数据, 不妨记作x1,x2,…,xn,n称为样本容量 简单地说,统计的任务是由样本推断总体 12频数表和直方图 一组数据(样本)往往是杂乱无章的,做出它的频数表和直方图,可以看作是对这 组数据的一个初步整理和直观描述 将数据的取值范围划分为若干个区间,然后统计这组数据在每个区间中出现的次 数,称为频数,由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标,频数为纵坐标,画出 个阶梯形的图,称为直方图,或频数分布图。 若样本容量不大,能够手工做出频数表和直方图,当样本容量较大时则可以借助 Matlab这样的软件了。让我们以下面的例子为例,介绍频数表和直方图的作法。 例1学生的身高和体重 学校随机抽取100名学生,测量他们的身高和体重,所得数据如表 表1身高体重数据 身高体重身高体重身高体重身高体重身高体重 160 6 172 168 57 15557176 64 6916958176 57 58168501695216772 70 91735 178601776170561675416958 7373170581606517962
-201- 第十章 数据的统计描述和分析 数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据，以下数理统计就简称统计，统计是 以概率论为基础的一门应用学科。 数据样本少则几个，多则成千上万，人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的 数值来体现数据样本总体的规律。描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据， 使之系统化、条理化，以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基 础，实用性较强，在统计工作中经常使用。 面对一批数据如何进行描述与分析，需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计 的最基本方法。 我们将用 Matlab 的统计工具箱(Statistics Toolbox)来实现数据的统计描述和分析。 §1 统计的基本概念 1.1 总体和样本 总体是人们研究对象的全体，又称母体，如工厂一天生产的全部产品（按合格品及 废品分类），学校全体学生的身高。 总体中的每一个基本单位称为个体，个体的特征用一个变量（如 x ）来表示，如一 件产品是合格品记 x = 0 ，是废品记 x = 1；一个身高 170（cm）的学生记 x = 170。 从总体中随机产生的若干个个体的集合称为样本，或子样，如n 件产品，100 名学 生的身高，或者一根轴直径的 10 次测量。实际上这就是从总体中随机取得的一批数据， 不妨记作 n x , x , , x 1 2 L ，n 称为样本容量。 简单地说，统计的任务是由样本推断总体。 1.2 频数表和直方图 一组数据（样本）往往是杂乱无章的，做出它的频数表和直方图，可以看作是对这 组数据的一个初步整理和直观描述。 将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次 数，称为频数，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一 个阶梯形的图，称为直方图，或频数分布图。 若样本容量不大，能够手工做出频数表和直方图，当样本容量较大时则可以借助 Matlab 这样的软件了。让我们以下面的例子为例，介绍频数表和直方图的作法。 例 1 学生的身高和体重 学校随机抽取 100 名学生，测量他们的身高和体重，所得数据如表 表 1 身高体重数据 身高 体重 身高 体重 身高 体重 身高 体重 身高 体重 172 75 169 55 169 64 171 65 167 47 171 62 168 67 165 52 169 62 168 65 166 62 168 65 164 59 170 58 165 64 160 55 175 67 173 74 172 64 168 57 155 57 176 64 172 69 169 58 176 57 173 58 168 50 169 52 167 72 170 57 166 55 161 49 173 57 175 76 158 51 170 63 169 63 173 61 164 59 165 62 167 53 171 61 166 70 166 63 172 53 173 60 178 64 163 57 169 54 169 66 178 60 177 66 170 56 167 54 169 58 173 73 170 58 160 65 179 62 172 50 163 47 173 67 165 58 176 63 162 52
1725717 177 67 63 17668172 17464 5917568 (i)数据输入 数据输入通常有两种方法,一种是在交互环境中直接输入,如果在统计中数据量比 较大,这样作不太方便;另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件 data. txt中 格式如例1的表1,有20行、10列,数据列之间用空格键或Tab键分割,该数据文件 data. txt存放在 matlablwork子目录下,在 Matlab中用load命令读入数据,具体作法是: 这样在内存中建立了一个变量data,它是一个包含有20×10个数据的矩阵 为了得到我们需要的100个身高和体重各为一列的矩阵,应做如下的改变 high=data(:, 1: 2: 9)ihigh=high(: weight=data(:, 2: 2: 10);weight=weight(: (i)作频数表及直方图 求频数用hst命令实现,其用法是: N,Ⅺ]=hist(Y,M) 得到数组(行、列均可)Y的频数表。它将区间[min(Y)max(Y等分为M份(缺省时 M设定为10),N返回M个小区间的频数,X返回M个小区间的中点 命令 hist(Y, M) 画出数组Y的直方图。 对于例1的数据,编写程序如下 load data. txti high=data(:, 1: 2: 9)ihigh=high(: weight=data(:, 2: 2: 10);weight=weight(: )i [nl, xl]=hist(high) 各下面语句与hist命令等价 gnl=[length(find(high=158.l&high=164.5&high=161. 2&h igh=167.6&high=170.7high=173.8&high=176.9&high=180&high=183.1))] [n2, x2]=hist(weight) subplot(1, 2, 1), hist(high) subplot(1, 2, 2), hist(weight) 计算结果略,直方图如图1所示
-202- 165 66 172 59 177 66 182 69 175 75 170 60 170 62 169 63 186 77 174 66 163 50 172 59 176 60 166 76 167 63 172 57 177 58 177 67 169 72 166 50 182 63 176 68 172 56 173 59 174 64 171 59 175 68 165 56 169 65 168 62 177 64 184 70 166 49 171 71 170 59 （i） 数据输入 数据输入通常有两种方法，一种是在交互环境中直接输入，如果在统计中数据量比 较大，这样作不太方便；另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件 data.txt 中， 格式如例 1 的表 1，有 20 行、10 列，数据列之间用空格键或 Tab 键分割，该数据文件 data.txt 存放在 matlab\work 子目录下，在 Matlab 中用 load 命令读入数据，具体作法是： load data.txt 这样在内存中建立了一个变量 data，它是一个包含有20×10 个数据的矩阵。 为了得到我们需要的 100 个身高和体重各为一列的矩阵，应做如下的改变： high=data(:,1:2:9);high=high(:) weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:) （ii）作频数表及直方图 求频数用 hist 命令实现，其用法是： [N,X] = hist(Y,M) 得到数组（行、列均可）Y 的频数表。它将区间[min(Y),max(Y)]等分为 M 份（缺省时 M 设定为 10），N 返回 M 个小区间的频数，X 返回 M 个小区间的中点。 命令 hist(Y,M) 画出数组 Y 的直方图。 对于例 1 的数据，编写程序如下： load data.txt; high=data(:,1:2:9);high=high(:); weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:); [n1,x1]=hist(high) %下面语句与hist命令等价 %n1=[length(find(high=158.1&high=161.2&high=164.5&high=167.6&high=170.7&high=173.8&high=176.9&high=180&high=183.1))] [n2,x2]=hist(weight) subplot(1,2,1), hist(high) subplot(1,2,2), hist(weight) 计算结果略，直方图如图 1 所示
图1直方图 从直方图上可以看出,身高的分布大致呈中间高、两端低的钟形;而体重则看不出 什么规律。要想从数值上给出更确切的描述,需要进一步研究反映数据特征的所谓“统 计量”。直方图所展示的身高的分布形状可看作正态分布,当然也可以用这组数据对分 布作假设检验。 例2统计下列五行字符串中字符a、g、c、t出现的频数 1. aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggagg 2. cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcgggga 3. gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacataca 4. atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagctta 5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggc 解把上述五行复制到一个纯文本数据文件 shuju. txt中,放在 matlablwork子目录 下,编写如下程序 fidl=fopen('shuju. txt,'r)i while (feof(fidl)) data=fgetl(fidl)i b=length(find(data==99))i c=length(find (data==103) d=length(find(data==116))i e=length(find(data>=97data<=122)) f(i,:=[a b c d e a+b+c+d]]] i=i+1 f, he=sum(f) dlmwrite('pinshu. txt, f): dlmwrite('pinshu txt he,-append') fclose(fidl)i 我们把统计结果最后写到一个纯文本文件 pinghu. txt中,在程序中多引进了几个变 是为了检验字符串是否只包含a、g、c、t四个字符。 1.3统计量 假设有一个容量为n的样本(即一组数据),记作x=(x12x2,…,xn),需要对它进 行一定的加工,才能提出有用的信息,用作对总体(分布)参数的估计和检验。统计量 就是加工出来的、反映样本数量特征的函数,它不含任何未知量。 下面我们介绍几种常用的统计量。 203
-203- 150 160 170 180 190 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 图 1 直方图 从直方图上可以看出，身高的分布大致呈中间高、两端低的钟形；而体重则看不出 什么规律。要想从数值上给出更确切的描述，需要进一步研究反映数据特征的所谓“统 计量”。直方图所展示的身高的分布形状可看作正态分布，当然也可以用这组数据对分 布作假设检验。 例 2 统计下列五行字符串中字符 a、g、c、t 出现的频数 1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggagg 2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcgggga 3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacataca 4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagctta 5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggc 解 把上述五行复制到一个纯文本数据文件 shuju.txt 中，放在 matlab\work 子目录 下，编写如下程序： clc fid1=fopen('shuju.txt','r'); i=1; while (~feof(fid1)) data=fgetl(fid1); a=length(find(data==97)); b=length(find(data==99)); c=length(find(data==103)); d=length(find(data==116)); e=length(find(data>=97&data<=122)); f(i,:)=[a b c d e a+b+c+d]; i=i+1; end f, he=sum(f) dlmwrite('pinshu.txt',f); dlmwrite('pinshu.txt',he,'-append'); fclose(fid1); 我们把统计结果最后写到一个纯文本文件 pinshu.txt 中，在程序中多引进了几个变 量，是为了检验字符串是否只包含 a、g、c、t 四个字符。 1.3 统计量 假设有一个容量为n 的样本（即一组数据），记作 ( , , , ) 1 2 n x = x x L x ，需要对它进 行一定的加工，才能提出有用的信息，用作对总体（分布）参数的估计和检验。统计量 就是加工出来的、反映样本数量特征的函数，它不含任何未知量。 下面我们介绍几种常用的统计量
(i)表示位置的统计量一算术平均值和中位数 算术平均值(简称均值)描述数据取值的平均位置,记作, (1) 中位数是将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值 Matlab中mean(x)返回x的均值, median(x)返回中位数 i)表示变异程度的统计量一标准差、方差和极差 标准差s定义为 (x1-x)2 (2) 它是各个数据与均值偏离程度的度量,这种偏离不妨称为变异。 方差是标准差的平方s2 极差是x=(x1,x2,…,xn)的最大值与最小值之差 Matlab中std(x)返回x的标准差,var(x)返回方差, range(x)返回极差。 你可能注意到标准差S的定义(2)中,对n个(x1-x)的平方求和,却被(n-1)除 这是出于无偏估计的要求。若需要改为被n除, Matlab可用std(x,1)和var(x,1)来实现 (ⅲi)中心矩、表示分布形状的统计量一偏度和峰度 随机变量x的r阶中心矩为E(x-Ex)。 随机变量x的偏度和峰度指的是x的标准化变量(x-Ex)/√Dx的三阶中心矩和 四阶中心矩: E(x)'_E(x-E(x)I D(x) E(x) E D(x) (Dx)2 偏度反映分布的对称性,>0称为右偏态,此时数据位于均值右边的比位于左 边的多;v<0称为左偏态,情况相反;而v接近0则可认为分布是对称的 峰度是分布形状的另一种度量,正态分布的峰度为3,若v2比3大得多,表示分布 有沉重的尾巴,说明样本中含有较多远离均值的数据,因而峰度可以用作衡量偏离正态 分布的尺度之 Matlab中 moment(x, order)返回x的 order阶中心矩, order为中心矩的阶数。 skewness(x)返回x的偏度, kurtosis(x)返回峰度 在以上用 Matlab计算各个统计量的命令中,若x为矩阵,则作用于x的列,返回 一个行向量 对例1给出的学生身高和体重,用 Matlab计算这些统计量,程序如下 load data. txt high=data(:, 1: 2: 9)ihigh=high(: )i weight=data(:, 2: 2: 10)weight=weight(: )i -204
-204- （i）表示位置的统计量—算术平均值和中位数 算术平均值（简称均值）描述数据取值的平均位置，记作 x ， ∑= = n i i x n x 1 1 （1） 中位数是将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值。 Matlab 中 mean(x)返回 x 的均值，median(x)返回中位数。 （ii）表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差 标准差 s 定义为 2 1 1 2 ( ) 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∑= n i i x x n s （2） 它是各个数据与均值偏离程度的度量，这种偏离不妨称为变异。 方差是标准差的平方 2 s 。 极差是 ( , , , ) 1 2 n x = x x L x 的最大值与最小值之差。 Matlab 中 std(x)返回 x 的标准差，var(x)返回方差，range(x)返回极差。 你可能注意到标准差 s 的定义（2）中，对n 个(x x) i − 的平方求和，却被(n −1) 除， 这是出于无偏估计的要求。若需要改为被n 除，Matlab 可用 std(x,1)和 var(x,1)来实现。 （iii）中心矩、表示分布形状的统计量—偏度和峰度 随机变量 x 的 r 阶中心矩为 r E(x − Ex) 。 随机变量 x 的偏度和峰度指的是 x 的标准化变量(x − Ex)/ Dx 的三阶中心矩和 四阶中心矩： [( ) ] ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) 3/ 2 3 3 1 D x E x E x D x x E x E − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ν = [( ) ] ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 D x E x E x D x x E x E − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ν = 偏度反映分布的对称性， 0 ν 1 > 称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左 边的多； 0 ν 1 < 称为左偏态，情况相反；而ν 1接近 0 则可认为分布是对称的。 峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若ν 2 比 3 大得多，表示分布 有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可以用作衡量偏离正态 分布的尺度之一。 Matlab 中 moment(x,order)返回 x 的 order 阶中心矩，order 为中心矩的阶数。 skewness(x)返回 x 的偏度，kurtosis(x)返回峰度。 在以上用 Matlab 计算各个统计量的命令中，若 x 为矩阵，则作用于 x 的列，返回 一个行向量。 对例 1 给出的学生身高和体重，用 Matlab 计算这些统计量，程序如下： clc load data.txt; high=data(:,1:2:9);high=high(:); weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:);
shuju= [high weight] jun zhi=mean(shuju) zhong wei shu=median(shuju) biao zhun cha=std(shuju ji cha pian du=skewness(shuju) feng du=kurtosis(shuju) 统计量中最重要、最常用的是均值和标准差,由于样本是随机变量,它们作为样本 的函数自然也是随机变量,当用它们去推断总体时,有多大的可靠性就与统计量的概率 分布有关,因此我们需要知道几个重要分布的简单性质。 14统计中几个重要的概率分布 141分布函数、密度函数和分位数 随机变量的特性完全由它的(概率)分布函数或(概率)密度函数来描述。设有随 机变量X,其分布函数定义为X≤x的概率,即F(x)=P{X≤x}。若X是连续型随 机变量,则其密度函数p(x)与F(x)的关系为 F(x)= p(x)dx 上a分位数是下面常用的一个概念,其定义为:对于0<a<1,使某分布函数 F(x)=1-a的x,称为这个分布的上a分位数,记作x 我们前面画过的直方图是频数分布图,频数除以样本容量n,称为频率,n充分大 频率是概率的近似,因此直方图可以看作密度函数图形的(离散化)近似 142统计中几个重要的概率分布 i)正态分布 正态分布随机变量X的密度函数曲线呈中间高两边低、对称的钟形,期望(均值) EX=H,方差DX=a2,记作X~N(A,a2),G称均方差或标准差,当=0,=1 时称为标准正态分布,记作X~N(0,1)。正态分布完全由均值和方差2决定,它 的偏度为0,峰度为3 正态分布可以说是最常见的(连续型)概率分布,成批生产时零件的尺寸,射击中 弹着点的位置,仪器反复量测的结果,自然界中一种生物的数量特征等,多数情况下都 服从正态分布,这不仅是观察和经验的总结,而且有着深刻的理论依据,即在大量相互 独立的、作用差不多大的随机因素影响下形成的随机变量,其极限分布为正态分布 鉴于正态分布的随机变量在实际生活中如此地常见,记住下面3个数字是有用的 68%的数值落在距均值左右1个标准差的范围内,即 P{-a≤X≤4+a}=068 95%的数值落在距均值左右2个标准差的范围内,即 P{-2a≤X≤+2G}=0.95 997%的数值落在距均值左右3个标准差的范围内,即 P{-30≤X≤+30}=0.997 (i)x2分布 Chi square) 若X1,X2…,xn为相互独立的、服从标准正态分布N(0,1)的随机变量,则它们的 平方和Y=∑H2服从x2分布,记作Y~x2(m),n称自由度,它的期望EY=n
-205- shuju=[high weight]; jun_zhi=mean(shuju) zhong_wei_shu=median(shuju) biao_zhun_cha=std(shuju) ji_cha=range(shuju) pian_du=skewness(shuju) feng_du=kurtosis(shuju) 统计量中最重要、最常用的是均值和标准差，由于样本是随机变量，它们作为样本 的函数自然也是随机变量，当用它们去推断总体时，有多大的可靠性就与统计量的概率 分布有关，因此我们需要知道几个重要分布的简单性质。 1.4 统计中几个重要的概率分布 1.4.1 分布函数、密度函数和分位数 随机变量的特性完全由它的（概率）分布函数或（概率）密度函数来描述。设有随 机变量 X ，其分布函数定义为 X ≤ x 的概率，即 F(x) = P{X ≤ x}。若 X 是连续型随 机变量，则其密度函数 p(x) 与 F(x) 的关系为 ∫−∞ = x F(x) p(x)dx . 上α 分位数是下面常用的一个概念，其定义为：对于0 <α <1，使某分布函数 F(x) =1−α 的 x ，称为这个分布的上α 分位数，记作 α x 。 我们前面画过的直方图是频数分布图，频数除以样本容量n ，称为频率，n 充分大 时频率是概率的近似，因此直方图可以看作密度函数图形的（离散化）近似。 1.4.2 统计中几个重要的概率分布 （i）正态分布 正态分布随机变量 X 的密度函数曲线呈中间高两边低、对称的钟形，期望（均值） EX = μ ，方差 2 DX = σ ，记作 ~ ( , ) 2 X N μ σ ，σ 称均方差或标准差，当 μ = 0,σ = 1 时称为标准正态分布，记作 X ~ N(0,1) 。正态分布完全由均值 μ 和方差 2 σ 决定，它 的偏度为 0，峰度为 3。 正态分布可以说是最常见的（连续型）概率分布，成批生产时零件的尺寸，射击中 弹着点的位置，仪器反复量测的结果，自然界中一种生物的数量特征等，多数情况下都 服从正态分布，这不仅是观察和经验的总结，而且有着深刻的理论依据，即在大量相互 独立的、作用差不多大的随机因素影响下形成的随机变量，其极限分布为正态分布。 鉴于正态分布的随机变量在实际生活中如此地常见，记住下面 3 个数字是有用的： 68%的数值落在距均值左右 1 个标准差的范围内，即 P{μ −σ ≤ X ≤ μ +σ} = 0.68； 95%的数值落在距均值左右 2 个标准差的范围内，即 P{μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ} = 0.95 ； 99.7%的数值落在距均值左右 3 个标准差的范围内，即 P{μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ} = 0.997 . （ii） 2 χ 分布(Chi square) 若 X X Xn , , , 1 2 L 为相互独立的、服从标准正态分布 N(0,1) 的随机变量，则它们的 平方和 ∑= = n i Y Xi 1 2 服从 2 χ 分布，记作 ~ ( ) 2 Y χ n ， n 称自由度，它的期望 EY = n
方差Dy=2n。 (i)t分布 若X~N(),Y~x2(n),且相互独立,则7= 服从t分布,记作 Y/n T~(n),n称自由度。t分布又称学生氏( Student)分布 1分布的密度函数曲线和N(0,1)曲线形状相似。理论上n→>∞时, T~(n)→>N(0,1),实际上当n>30时它与N(01)就相差无几了 (ⅳv)F分布 若X~x2(n1),Y~x2(n2),且相互独立,则F X/n 1服从F分布,记作 F~F(n12n2),(m1,n2)称自由度。 4.3 Matlab统计工具箱( Toolbox Stats)中的概率分布 Matlab统计工具箱中有27种概率分布,这里只对上面所述4种分布列出命令的字 norm正态分布;chi2x2分布 tt分布 fF分布 工具箱对每一种分布都提供5类函数,其命令的字符是: df概率密度;cdf分布函数;inv分布函数的反函数 stat均值与方差;md随机数生成 当需要一种分布的某一类函数时,将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起 来,并输入自变量(可以是标量、数组或矩阵)和参数就行了,如 X normed( x, mu, sigma)均值mu、标准差sgma的正态分布在x的密度函数 =0, sigma=1时可缺省)。 p=tcdf(x,n)t分布(自由度n)在x的分布函数 x= chinny(pn)x2分布(自由度n)使分布函数F(x)p的x(即p分位数) [mv]=fsta(nn2)F分布(自由度nl,n2)的均值m和方差v 几个分布的密度函数图形就可以用这些命令作出,如 x=-6: 0.01: 6;y=normpdf(x)i z=normpdf(x,0, 2)i p1ot(x,y,x,2), gtext("N(0,1)"), gtext("N(0,2^2)") 分布函数的反函数的意义从下例看出 xchi2inv(0.9, 10) 159872 如果反过来计算,则 P=ch2cdf(15.9872,10) 0.9000 1.5正态总体统计量的分布 用样本来推断总体,需要知道样本统计量的分布,而样本又是一组与总体同分布的 随机变量,所以样本统计量的分布依赖于总体的分布。当总体服从一般的分布时,求某 个样本统计量的分布是很困难的,只有在总体服从正态分布时,一些重要的样本统计量 (均值、标准差)的分布才有便于使用的结果。另一方面,现实生活中需要进行统计推 的总体,多数可以认为服从(或近似服从)正态分布,所以统计中人们在正态总体的 206-
-206- 方差 DY = 2n 。 （iii）t 分布 若 X ~ N(0,1) ， ~ ( ) 2 Y χ n ，且相互独立，则 Y n X T / = 服从 t 分布，记作 T ~ t(n) ，n 称自由度。t 分布又称学生氏(Student)分布。 t 分布的密度函数曲线和 N(0,1) 曲线形状相似。理论上 n → ∞ 时 ， T ~ t(n) → N(0,1) ，实际上当n > 30 时它与 N(0,1) 就相差无几了。 （iv） F 分布 若 ~ ( )1 2 X χ n ， ~ ( ) 2 2 Y χ n ，且相互独立，则 2 1 / / Y n X n F = 服从 F 分布，记作 ~ ( , ) 1 2 F F n n ，( , ) 1 2 n n 称自由度。 1.4.3 Matlab 统计工具箱(Toolbox\Stats)中的概率分布 Matlab 统计工具箱中有 27 种概率分布，这里只对上面所述 4 种分布列出命令的字 符： norm 正态分布； chi2 2 χ 分布； t t 分布 f F 分布 工具箱对每一种分布都提供 5 类函数，其命令的字符是： pdf 概率密度； cdf 分布函数； inv 分布函数的反函数； stat 均值与方差； rnd 随机数生成 当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起 来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数就行了，如： p=normpdf(x,mu,sigma) 均值 mu、标准差 sigma 的正态分布在 x 的密度函数 (mu=0，sigma=1 时可缺省)。 p=tcdf(x,n) t 分布（自由度 n）在 x 的分布函数。 x=chi2inv(p,n) 2 χ 分布（自由度 n）使分布函数 F(x)=p 的 x(即 p 分位数)。 [m,v]=fstat(n1,n2) F 分布（自由度 n1,n2）的均值 m 和方差 v。 几个分布的密度函数图形就可以用这些命令作出，如： x=-6:0.01:6;y=normpdf(x);z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z),gtext('N(0,1)'),gtext('N(0,2^2)') 分布函数的反函数的意义从下例看出： x=chi2inv(0.9,10) x = 15.9872 如果反过来计算，则 P=chi2cdf(15.9872,10) P = 0.9000 1.5 正态总体统计量的分布 用样本来推断总体，需要知道样本统计量的分布，而样本又是一组与总体同分布的 随机变量，所以样本统计量的分布依赖于总体的分布。当总体服从一般的分布时，求某 个样本统计量的分布是很困难的，只有在总体服从正态分布时，一些重要的样本统计量 （均值、标准差）的分布才有便于使用的结果。另一方面，现实生活中需要进行统计推 断的总体，多数可以认为服从（或近似服从）正态分布，所以统计中人们在正态总体的
假定下研究统计量的分布,是必要的与合理的。 设总体X~N(,a2),x1,x2…x为一容量n的样本,其均值x和标准差S由 式(1)、(2)确定,则用x和s构造的下面几个分布在统计中是非常有用的 x~N(p,)或 N(0,1) /√n (n-1)s x2(n-1) (4) (5) 设有两个总体X~N(1,a2)和Y~N(A2,a2),及由容量分别为n1,n2的两个 样本确定的均值x,j和标准差S,S2,则 (x-y)-(1-42) ~N(0,1) (6) G2/n+2/n (x-y)-(-2-(m+n2-2) (7) 其中s2 (n1-1)2+(n2-1)s2 n1+n2-2 s2/ F(n1-1,n2-1) (8) 对于(7)式,假定σ1=σ2,但它们未知,于是用s代替。在下面的统计推断中我们 要反复用到这些分布。 §2参数估计 利用样本对总体进行统计推断的一类问题是参数估计,即假定已知总体的分布,通 常是X~N(,a2),估计有关的参数,如山,2。参数估计分点估计和区间估计两种。 2.1点估计 点估计是用样本统计量确定总体参数的一个数值。评价估计优劣的标准有无偏性 最小方差性、有效性等,估计的方法有矩法、极大似然法等。 最常用的是对总体均值和方差a2(或标准差a)作点估计。让我们暂时抛开评 价标准,当从一个样本按照式(1)、(2)算出样本均值x和方差s2后,对和σ2(或 σ)一个自然、合理的点估计显然是(在字母上加表示它的估计值) u=x,g=s (9) 2.2区间估计 点估计虽然给出了待估参数的一个数值,却没有告诉我们这个估计值的精度和可信 程度。一般地,总体的待估参数记作O(如山,2),由样本算出的O的估计量记作日, 人们常希望给出一个区间[O1,日2],使θ以一定的概率落在此区间内。若有 P{61<6<62}=1-a,0<a<1 -207
-207- 假定下研究统计量的分布，是必要的与合理的。 设总体 ~ ( , ) 2 X N μ σ ， n x , x , , x 1 2 L 为一容量 n 的样本，其均值 x 和标准差 s 由 式（1）、（2）确定，则用 x 和 s 构造的下面几个分布在统计中是非常有用的。 ~ ( , ) 2 n x N σ μ 或 ~ (0,1) / N n x σ − μ （3） ~ ( 1). ( 1) 2 2 2 − − n n s χ σ （4） ~ ( 1) / − − t n s n x μ （5） 设有两个总体 ~ ( , ) 2 X N μ1 σ 2 和 ~ ( , ) 2 Y N μ2 σ 2 ，及由容量分别为 1 n ， 2 n 的两个 样本确定的均值 x, y 和标准差 1 2 s ,s ，则 ~ (0,1) / / ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 N n n x y σ σ μ μ + − − − （6） ~ ( 2) 1/ 1/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 + − + − − − t n n s n n x y w μ μ （7） 其中 2 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 2 2 1 1 + − − + − = n n n s n s sw ， ~ ( 1, 1) / / 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 F n − n − s s σ σ （8） 对于（7）式，假定σ 1 = σ 2 ，但它们未知，于是用 s 代替。在下面的统计推断中我们 要反复用到这些分布。 §2 参数估计 利用样本对总体进行统计推断的一类问题是参数估计，即假定已知总体的分布，通 常是 ~ ( , ) 2 X N μ σ ，估计有关的参数，如 2 μ,σ 。参数估计分点估计和区间估计两种。 2.1 点估计 点估计是用样本统计量确定总体参数的一个数值。评价估计优劣的标准有无偏性、 最小方差性、有效性等，估计的方法有矩法、极大似然法等。 最常用的是对总体均值 μ 和方差 2 σ （或标准差σ ）作点估计。让我们暂时抛开评 价标准，当从一个样本按照式（1）、（2）算出样本均值 x 和方差 2 s 后，对 μ 和 2 σ （或 σ ）一个自然、合理的点估计显然是（在字母上加^表示它的估计值） μˆ = x ， 2 2 σˆ = s ， σˆ = s （9） 2.2 区间估计 点估计虽然给出了待估参数的一个数值，却没有告诉我们这个估计值的精度和可信 程度。一般地，总体的待估参数记作θ （如 2 μ,σ ），由样本算出的θ 的估计量记作θ ˆ ， 人们常希望给出一个区间 ] ˆ , ˆ [θ1 θ 2 ，使θ 以一定的概率落在此区间内。若有 P{θ ˆ 1 < θ < θ ˆ 2 } = 1−α ，0 <α <1 （10）
则[O1,62]称为的置信区间,B1,2分别称为置信下限和置信上限,1-a称为置信概 率或置信水平,a称为显著性水平。 给出的置信水平为1-α的置信区间[θ12],称为θ的区间估计。置信区间越小, 估计的精度越高;置信水平越大,估计的可信程度越高。但是这两个指标显然是矛盾的, 通常是在一定的置信水平下使置信区间尽量小。通俗地说,区间估计给出了点估计的误 差范围 2.3参数估计的 Matlab实现 Matlab统计工具箱中,有专门计算总体均值、标准差的点估计和区间估计的函数。 对于正态总体,命令是 [mu, sigma, muci, sigmaci]=normfit(x, alpha) 其中x为样本(数组或矩阵), alpha为显著性水平a( alpha缺省时设定为0.05),返 回总体均值和标准差a的点估计m和 sigma,及总体均值和标准差a的区间估计 muci和 sIgmal。当x为矩阵时,x的每一列作为一个样本 Matlab统计工具箱中还提供了一些具有特定分布总体的区间估计的命令,如 expfit, poissfit, gamit,你可以从这些字头猜出它们用于哪个分布,具体用法参见 帮助系统。 §3假设检验 统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数完全未知或只知其 形式但不知其参数的情况,为了推断总体的某些性质,提出某些关于总体的假设。例如 提出总体服从泊松分布的假设,又如对于正态总体提出数学期望等于的假设等。假 设检验就是根据样本对所提出的假设做出判断:是接受还是拒绝。这就是所谓的假设检 验问题。 3.1单个总体N(,2)均值的检验 假设检验有三种 双边检验:H0:H=0,H1:H≠山; 右边检验:H0:4≤A,H1:A> 左边检验:H0:4≥0,H1:Hp0时用tail=1;H1为<时用tail=1。输出参 数h=0表示接受H,h=1表示拒绝H,p表示在假设H0下样本均值出现的概率,p 越小H越值得怀疑,ci是的置信区间 例3某车间用一台包装机包装糖果。包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正 态分布。当机器正常时,其均值为0.5公斤,标准差为0.015公斤。某日开工后为检验 包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为(公斤) 0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512
-208- 则 ] ˆ , ˆ [θ1 θ 2 称为θ 的置信区间， 1 2 ˆ , ˆθ θ 分别称为置信下限和置信上限，1−α 称为置信概 率或置信水平，α 称为显著性水平。 给出的置信水平为1−α 的置信区间 ] ˆ , ˆ [θ1 θ 2 ，称为θ 的区间估计。置信区间越小， 估计的精度越高；置信水平越大，估计的可信程度越高。但是这两个指标显然是矛盾的， 通常是在一定的置信水平下使置信区间尽量小。通俗地说，区间估计给出了点估计的误 差范围。 2.3 参数估计的 Matlab 实现 Matlab 统计工具箱中，有专门计算总体均值、标准差的点估计和区间估计的函数。 对于正态总体，命令是 [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) 其中 x 为样本（数组或矩阵），alpha 为显著性水平α （alpha 缺省时设定为 0.05），返 回总体均值 μ 和标准差σ 的点估计 mu 和 sigma，及总体均值 μ 和标准差σ 的区间估计 muci 和 sigmaci。当 x 为矩阵时，x 的每一列作为一个样本。 Matlab 统计工具箱中还提供了一些具有特定分布总体的区间估计的命令，如 expfit，poissfit，gamfit，你可以从这些字头猜出它们用于哪个分布，具体用法参见 帮助系统。 §3 假设检验 统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数完全未知或只知其 形式但不知其参数的情况，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体的假设。例如， 提出总体服从泊松分布的假设，又如对于正态总体提出数学期望等于 μ0 的假设等。假 设检验就是根据样本对所提出的假设做出判断：是接受还是拒绝。这就是所谓的假设检 验问题。 3.1 单个总体 ( , ) 2 N μ σ 均值 μ 的检验 假设检验有三种： 双边检验： 0 0 H : μ = μ ， 1 0 H : μ ≠ μ ； 右边检验： 0 0 H : μ ≤ μ ， 1 0 H : μ > μ ； 左边检验： 0 0 H : μ ≥ μ ， 1 0 H : μ μ0时用 tail=1；H1 为 μ < μ0 时用 tail=-1。输出参 数 h=0 表示接受 H0 ，h=1 表示拒绝 H0 ，p 表示在假设 H0 下样本均值出现的概率，p 越小 H0 越值得怀疑，ci 是 μ0 的置信区间。 例 3 某车间用一台包装机包装糖果。包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正 态分布。当机器正常时，其均值为 0.5 公斤，标准差为 0.015 公斤。某日开工后为检验 包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖 9 袋，称得净重为（公斤）： 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512
问机器是否正常? 解总体σ已知,x~N(∠0.0152),未知。于是提出假设H:H=山0=0.5和 H1:≠0.5。 Matlab实现如下 x=[0.4970.5060.5180.5240.498 0.5110.5200.5150.512]; 求得h=1,p=0.0248,说明在0.05的水平下,可拒绝原假设,即认为这天包装机 p,ci]= ztest(x,0.5,0.015) 作不正常 3.1.2a2未知,关于的检验(t检验) 在 Matlab中t检验法由函数 ttest来实现,命令为 [h, p, ci]=ttest(x, mu, alpha, tail) 例4某种电子元件的寿命x(以小时计)服从正态分布,,a2均未知现得16只 元件的寿命如下 159280101212224379179264 222362168250149260485170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 解按题意需检验 H≤0=225,H1:>225, 取a=0.05。Mat1ab实现如下:379179264 =[159280101212224 22362168250149260485170] [h,p,ci]= ttest(x,225,0.05,1) 求得h=0,p=0.2570,说明在显著水平为0.05的情况下,不能拒绝原假设,认为 件的平均寿命不大于225小时 3.2两个正态总体均值差的检验(t检验) 还可以用t检验法检验具有相同方差的2个正态总体均值差的假设。在 Matlab中 由函数 ttest2实现,命令为: [h, p, ci]=ttest (x, y, alpha, tail) 与上面的 ttest相比,不同处只在于输入的是两个样本x,y(长度不一定相同) 而不是一个样本和它的总体均值;tail的用法与 ttest相似,可参看帮助系统。 例5在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试 是在同一平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都可能做到相同。先 用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交换进行,各炼了10炉,其得率分 别为 1°标准方法78.172.476.274.377.478.476.075.676.777.3 2°新方法79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1 设这两个样本相互独立且分别来自正态总体N(1,a2)和N(22),山1,422均未 知,问建议的新方法能否提高得率?(取a=0.05。) 解(i)需要检验假设 H0:1-2≥0 11-42<0 (ii) Matlab实现
-209- 问机器是否正常？ 解 总体σ 已知， ~ ( ,0.015 ) 2 x N μ ，μ 未知。于是提出假设 H0 : μ = μ0 = 0.5和 : 0.5 H1 μ ≠ 。 Matlab 实现如下： x=[0.497 0.506 0.518 0.524 0.498... 0.511 0.520 0.515 0.512]; [h,p,ci]=ztest(x,0.5,0.015) 求得 h=1，p=0.0248，说明在 0.05 的水平下，可拒绝原假设，即认为这天包装机 工作不正常。 3.1.2 2 σ 未知，关于 μ 的检验（t 检验） 在 Matlab 中t 检验法由函数 ttest 来实现，命令为 [h,p,ci]=ttest(x,mu,alpha,tail) 例 4 某种电子元件的寿命 x (以小时计)服从正态分布, 2 μ,σ 均未知.现得 16 只 元件的寿命如下: 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225(小时)? 解 按题意需检验 H0 : μ ≤ μ0 = 225, H1 : μ > 225， 取α = 0.05。Matlab 实现如下： x=[159 280 101 212 224 379 179 264 ... 222 362 168 250 149 260 485 170]; [h,p,ci]=ttest(x,225,0.05,1) 求得 h=0，p=0.2570，说明在显著水平为 0.05 的情况下，不能拒绝原假设，认为 元件的平均寿命不大于 225 小时。 3.2 两个正态总体均值差的检验（t 检验） 还可以用t 检验法检验具有相同方差的 2 个正态总体均值差的假设。在 Matlab 中 由函数 ttest2 实现，命令为： [h,p,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail) 与上面的 ttest 相比，不同处只在于输入的是两个样本 x,y（长度不一定相同）， 而不是一个样本和它的总体均值；tail 的用法与 ttest 相似，可参看帮助系统。 例 5 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试 验是在同一平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都可能做到相同。先 用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交换进行,各炼了 10 炉,其得率分 别为 1°标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.3 2°新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立且分别来自正态总体 ( , ) 2 N μ1 σ 和 ( , ) 2 N μ2 σ , 2 1 2 μ ,μ ,σ 均未 知，问建议的新方法能否提高得率?(取α = 0.05 。) 解 （i）需要检验假设 H0 : μ1 − μ2 ≥ 0 ， : 0 H1 μ1 − μ2 < . (ii)Matlab 实现
x=[78.172.476.274.377.478.476.075.676.777.3]; y=[79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1]; [h,p,ci]= ttest2(x,y,0.05,-1) 求得h=1,p=2.2126×10。表明在a=0.05的显著水平下,可以拒绝原假设,即认 为建议的新操作方法较原方法优。 3.3分布拟合检验 在实际问题中,有时不能预知总体服从什么类型的分布,这时就需要根据样本来检 验关于分布的假设。下面介绍x2检验法和专用于检验分布是否为正态的“偏峰、峰度 检验法”。 3.3.1x2检验法 Ho:总体x的分布函数为F(x) H1:总体x的分布函数不是F(x 在用下述x2检验法检验假设H0时,若在假设H0下F(x)的形式已知,但其参数 值未知,这时需要先用极大似然估计法估计参数,然后作检验。 x2检验法的基本思想如下:将随机试验可能结果的全体Ω分为k个互不相容的事 件A4,4,4,,4C∑4=9,4,4=,1≠,=12,…,k)。于是在假设H0下 我们可以计算p1=P(A)(或P1=P(4),i=1,2,…,k。在n次试验中,事件A出 现的频率f/n与P2(p)往往有差异,但一般来说,若H为真,且试验的次数又甚多时, 则这种差异不应该很大。基于这种想法,皮尔逊使用 G-mP)(或x =>(=m)) (11) 作为检验假设H0的统计量。并证明了以下定理。 定理若n充分大,则当H0为真时(不论H中的分布属什么分布),统计量(11) 总是近似地服从自由度为k-r-1的x2分布,其中r是被估计的参数的个数。 于是,若在假设H下算得(11)有 x2x2(k-r-1 则在显著性水平a下拒绝H0,否则就接受。 注意:在使用x2检验法时,要求样本容量n不小于50,以及每个m2都不小于5, 而且P最好是在5以上。否则应适当地合并A,以满足这个要求。 例6下面列出了84个伊特拉斯坎( Etruscan)人男子的头颅的最大宽度(mm), 试检验这些数据是否来自正态总体(取a=0.1)。 141148132138154142150146155158 150140147148144150149145149158 143141144144126140144142141140 145135147146141136140146142137 148154137139143140131143141149 148135148152143144141143147146
-210- x=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.3]; y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1]; [h,p,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1) 求得 h=1,p=2.2126×10-4。表明在α = 0.05 的显著水平下，可以拒绝原假设，即认 为建议的新操作方法较原方法优。 3.3 分布拟合检验 在实际问题中，有时不能预知总体服从什么类型的分布，这时就需要根据样本来检 验关于分布的假设。下面介绍 2 χ 检验法和专用于检验分布是否为正态的“偏峰、峰度 检验法”。 3.3.1 2 χ 检验法 H0 ：总体 x 的分布函数为 F(x) , H1 : 总体 x 的分布函数不是 F(x). 在用下述 2 χ 检验法检验假设 H0 时，若在假设 H0 下 F(x) 的形式已知，但其参数 值未知，这时需要先用极大似然估计法估计参数，然后作检验。 2 χ 检验法的基本思想如下：将随机试验可能结果的全体Ω 分为k 个互不相容的事 件 A A A Ak , , ,..., 1 2 3 ( , , , , 1,2, , ) 1 A A A i j i j k i j k i ∑ k = Ω = Φ ≠ = L = 。于是在假设 H0 下, 我们可以计算 ( ) pi = P Ai （或 ( ) ˆ ˆi P Ai p = ），i =1,2,L, k 。在 n 次试验中,事件 Ai 出 现的频率 fi / n 与 pi ( pi ˆ )往往有差异,但一般来说,若 H0 为真,且试验的次数又甚多时, 则这种差异不应该很大。基于这种想法，皮尔逊使用 ∑= − = k i i i i np f np 1 2 2 ( ) χ （或 ∑= − = k i i i i np f np 1 2 2 ˆ ( ˆ ) χ ） （11） 作为检验假设 H0 的统计量。并证明了以下定理。 定理 若n 充分大,则当 H0 为真时(不论 H0 中的分布属什么分布),统计量（11） 总是近似地服从自由度为k − r −1的 2 χ 分布,其中 r 是被估计的参数的个数。 于是,若在假设 H0 下算得（11）有 ( 1), 2 2 χ ≥ χ a k − r − 则在显著性水平α 下拒绝 H0 ,否则就接受。 注意：在使用 2 χ 检验法时，要求样本容量n 不小于 50,以及每个npi 都不小于 5, 而且npi 最好是在 5 以上。否则应适当地合并 Ai ，以满足这个要求。 例 6 下面列出了 84 个伊特拉斯坎（Etruscan）人男子的头颅的最大宽度（mm）， 试检验这些数据是否来自正态总体（取α = 0.1) 。 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146