第十二章回归分析 前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的 组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间的一个函数,使这个函数对那组数 据拟合得最好。通常,函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定,要 作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看,问题似乎已 经完全解决了,还有进一步研究的必要吗? 从数理统计的观点看,这里涉及的都是随机变量,我们根据一个样本计算出的那些 系数,只是它们的一个(点)估计,应该对它们作区间估计或假设检验,如果置信区间 太大,甚至包含了零点,那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析 方法对模型的误差进行分析,对拟合的优劣给出评价。简单地说,回归分析就是对拟合 问题作的统计分析。 具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题 (i)建立因变量y与自变量x1,x2…,xm之间的回归模型(经验公式); (ⅱi)对回归模型的可信度进行检验 (i)判断每个自变量x,(=1,2,…,m)对y的影响是否显著 (ⅳ)诊断回归模型是否适合这组数据; (v)利用回归模型对y进行预报或控制 §1数据表的基础知识 1.1样本空间 在本章中,我们所涉及的均是样本点×变量类型的数据表。如果有m个变量 x,x2,…xm,对它们分别进行了n次样(或观测),得到n个样本点 则所构成的数据表X可以写成一个nxm维的矩阵。 X=(x) 式中e1=(x1,x2…,x)∈Rm,i=1,2…,n,e被称为第i个样本点。 样本的均值为 X=(x1,x2,…,xm),x 1,2…,m 样本协方差矩阵及样本相关系数矩阵分别为 S=(S) (e4-x)(e-x) n一 R=(n) 其中
-226- 第十二章 回归分析 前面我们讲过曲线拟合问题。曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的 一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数 据拟合得最好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要 作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看，问题似乎已 经完全解决了，还有进一步研究的必要吗? 从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些 系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间 太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析 方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合 问题作的统计分析。 具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （i）建立因变量 y 与自变量 m x , x , , x 1 2 L 之间的回归模型（经验公式）； （ii）对回归模型的可信度进行检验； （iii）判断每个自变量 x (i 1,2, ,m) i = L 对 y 的影响是否显著； （iv）诊断回归模型是否适合这组数据； （v）利用回归模型对 y 进行预报或控制。 §1 数据表的基础知识 1.1 样本空间 在本章中，我们所涉及的均是样本点×变量类型的数据表。如果有 m 个变量 m x , x , , x 1 2 L ，对它们分别进行了 n 次采样（或观测），得到n 个样本点 ( , , , ) i1 i2 im x x L x ，i =1,2,L, n 则所构成的数据表 X 可以写成一个 n× m 维的矩阵。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × = T n T ij n m e e X x M 1 ( ) 式中 T m ei = (xi1, xi2 ,L, xim ) ∈ R ，i = 1,2,L, n ， i e 被称为第i 个样本点。 样本的均值为 ( , , , ) 1 2 m x = x x L x ， ∑= = n i j ij x n x 1 1 ， j = 1,2,L,m 样本协方差矩阵及样本相关系数矩阵分别为 T k n k ij m m k e x e x n S s ( )( ) 1 1 ( ) 1 − − − = = ∑= × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = × = ii jj ij ij m m s s s R (r ) 其中
∑ X. -x 12数据的标准化处理 (1)数据的中心化处理 数据的中心化处理是指平移变换,即 x=x-x,1=1,2,…,n:j=12,…,m 该变换可以使样本的均值变为0,而这样的变换既不改变样本点间的相互位置,也 不改变变量间的相关性。但变换后,却常常有许多技术上的便利。 (2)数据的无量纲化处理 在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应, 使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进 行所谓的压缩处理,即使每个变量的方差均变成1,即 二 其中s Vhm-12(x-x)2。 还可以有其它消量纲的方法,如 x i=xi, /max(x, ),xy=xi; /min(xy, j xi=xy /,,xi=xi / max(x; ) -min( x; )) (3)标准化处理 所谓对数据的标准化处理,是指对数据同时进行中心化一压缩处理,即 x §2一元线性回归 2.1模型 元线性回归的模型为 y=Po+P 式中,B月为回归系数,E是随机误差项,总是假设E~N(0,σ2),则随机变量 y~N(B0+Bx,02) 若对y和x分别进行了n次独立观测,得到以下n对观测值 (2) 这n对观测值之间的关系符合模型 y1=B+Bx+E1,i=1,2,…,n 这里,x是自变量在第i次观测时的取值,它是一个非随机变量,并且没有测量误差。 对应于x,y是一个随机变量,它的随机性是由E1造成的。E1~N(0,a2),对于不同 的观测,当i≠j时,6与是相互独立的。 22最小二乘估计方法
-227- ∑= − − − = n k ij ki i kj j x x x x n s 1 ( )( ) 1 1 1.2 数据的标准化处理 （1）数据的中心化处理 数据的中心化处理是指平移变换，即 ij ij j x = x − x * ，i = 1,2,L, n ； j = 1,2,L,m 该变换可以使样本的均值变为 0，而这样的变换既不改变样本点间的相互位置，也 不改变变量间的相关性。但变换后，却常常有许多技术上的便利。 （2）数据的无量纲化处理 在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一样的。为了消除变量的量纲效应， 使每个变量都具有同等的表现力，数据分析中常用的消量纲的方法，是对不同的变量进 行所谓的压缩处理，即使每个变量的方差均变成 1，即 ij ij j x x / s * = 其中 ∑= − − = n i j ij j x x n s 1 2 ( ) 1 1 。 还可以有其它消量纲的方法，如 / max{ } * ij i ij ij x = x x ， / min{ } * ij i ij ij x = x x ij ij j x x / x * = ， /(max{ } min{ }) * ij i ij i ij ij x = x x − x （3）标准化处理 所谓对数据的标准化处理，是指对数据同时进行中心化－压缩处理，即 j ij j ij s x x x − =* ，i = 1,2,L, n ， j = 1,2,L,m。 §2 一元线性回归 2.1 模型 一元线性回归的模型为 y = β + β x + ε 0 1 ， （1） 式中， 0 1 β ,β 为回归系数， ε 是随机误差项，总是假设 ~ (0, ) 2 ε N σ ，则随机变量 ~ ( , ) 2 y N β 0 + β1x σ 。 若对 y 和 x 分别进行了n 次独立观测，得到以下 n 对观测值 ( , ) i i y x ，i = 1,2,L, n （2） 这n 对观测值之间的关系符合模型 i i y = β + β x + ε 0 1 ，i = 1,2,L, n （3） 这里， i x 是自变量在第i 次观测时的取值，它是一个非随机变量，并且没有测量误差。 对应于 i x ， i y 是一个随机变量，它的随机性是由 i ε 造成的。 ~ (0, ) 2 ε i N σ ，对于不同 的观测，当i ≠ j 时， i ε 与 j ε 是相互独立的。 2.2 最小二乘估计方法
2.2.1最小二乘法 用最小二乘法估计B0,B1的值,即取B,月的一组估计值B0,B1,使y与 j=B0+B1x的误差平方和达到最小。若记 QA0,B)=∑(y-B-x)2 则 Q(Bo, B,)=min @(Bo,B)=2(,-Bo-B,x,) 显然Q(0B1)≥0,且关于B0,B可微,则由多元函数存在极值的必要条件得 aBo 2∑ (y-B6-Bx)=0 9=-2∑(--Bx)=0 整理后,得到下面的方程组 10+B∑x=∑y +A空 此方程组称为正规方程组,求解可以得到 ∑( (x1-x)(y-y) 凤=-Bx 称B0,B1为B0,B1的最小二乘估计,其中,x,y分别是x与y的样本均值,即 xi, J y n 关于B1的计算公式还有一个更直观的表示方法,即 (x1-x)(y- P (x1-x)2
-228- 2.2.1 最小二乘法 用最小二乘法估计 0 1 β , β 的值，即取 0 1 β , β 的一组估计值 0 1 ˆ , ˆ β β ，使 i y 与 y x i 0 1 ˆ ˆ ˆ = β + β 的误差平方和达到最小。若记 ∑= = − − n i i i Q y x 1 2 0 1 0 1 (β , β ) ( β β ) 则 ∑= = = − − n i i i Q Q y x 1 2 0 1 0 1 , 0 1 ) ˆ ˆ ) min ( , ) ( ˆ , ˆ ( 0 1 β β β β β β β β 显然Q(β 0 , β1) ≥ 0 ，且关于 0 1 β , β 可微，则由多元函数存在极值的必要条件得 2 ( ) 0 1 0 1 0 = − − − = ∂ ∂ ∑= n i i i y x Q β β β 2 ( ) 0 1 0 1 1 = − − − = ∂ ∂ ∑= n i i i i x y x Q β β β 整理后，得到下面的方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = n i i i n i i n i i n i i n i i x x x y n x y 1 1 2 1 1 0 1 1 0 1 β β β β （4） 此方程组称为正规方程组，求解可以得到 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − − = ∑ ∑ = = y x x x x x y y n i i n i i i 0 1 1 2 1 1 ˆ ˆ ( ) ( )( ) ˆ β β β （5） 称 0 1 ˆ , β ˆ β 为 0 1 β , β 的最小二乘估计，其中， x, y 分别是 i x 与 i y 的样本均值，即 ∑= = n i i x n x 1 1 ， ∑= = n i i y n y 1 1 关于 β1 的计算公式还有一个更直观的表示方法，即 ∑ ∑ = = − − − = n i i n i i i x x x x y y 1 2 1 1 ( ) ( )( ) ˆ β
(y-y)∑(x-x)0-y 式中s2=_1 n-1(x-x)2,2=1S(-P),r是x与y的样本相关系数。 n 显然,当x,y都是标准化数据时,则有x=0,j=0,S2=1,s,=1。所以, 有 B=0,B1 回归方程为 由上可知,对标准化数据,B1可以表示y与x的相关程度 222B0,B1的性质 作为一个随机变量,B1有以下性质 1.B1是y的线性组合,它可以写成 B=∑k 式中,k是固定的常量,k=x x 证明事实上 (x-x)(y1-y)∑(x-x)y (x2-x) A (x2-x) (x2-x) 由于 y∑(x1-x)=y(nx-nx)=0 所以 B=∑ x -x y 2.因为B1是随机变量y(=1,2,…,m)的线性组合,而y是相互独立、且服从正 态分布的,所以,B的抽样分布也服从正态分布。 3.点估计量B是总体参数B1的无偏估计,有
-229- ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = − − − − ⋅ − − = n i i n i i n i i i n i i n i i x x y y x x y y x x y y 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) xy x y r s s = 式中 ∑= − − = n i x i x x n s 1 2 2 ( ) 1 1 ， ∑= − − = n i y i y y n s 1 2 2 ( ) 1 1 ， xy r 是 x 与 y 的样本相关系数。 显然，当 i i x , y 都是标准化数据时，则有 x = 0 ， y = 0 ， sx = 1， s y =1。所以， 有 0 ˆ β 0 = ， xy = r 1 β ˆ 回归方程为 y r x = xy ˆ 由上可知，对标准化数据， 1 β ˆ 可以表示 y 与 x 的相关程度。 2.2.2 0 1 ˆ , β ˆ β 的性质 作为一个随机变量， 1 β ˆ 有以下性质。 1． 1 β ˆ 是 i y 的线性组合，它可以写成 ∑= = n i i i k y 1 1 β ˆ （6） 式中， i k 是固定的常量， ∑= − − = n i i i i x x x x k 1 2 ( ) 。 证明 事实上 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = − − − − = − − − = n i i n i n i i i i n i i n i i i x x x x y y x x x x x x y y 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) β ˆ 由于 ( ) ( ) 0 1 ∑ − = − = = y x x y nx nx n i i 所以 i n i n i i i y x x x x ∑ ∑= = − − = 1 1 2 1 ( ) β ˆ 2．因为 1 β ˆ 是随机变量 y (i 1,2, , n) i = L 的线性组合，而 i y 是相互独立、且服从正 态分布的，所以， 1 β ˆ 的抽样分布也服从正态分布。 3．点估计量 1 β ˆ 是总体参数 β1 的无偏估计，有
E(B)=E∑ky ∑ k,,E) ∑kE(B0+Ax)=B∑k+B∑kx 由于 x -x k 0 x -x ∑(x-x (x2-x) 所以 E(B1)=B1 4.估计量B的方差为 Va()= ∑(x1-x) 这是因为 va(B)=Va∑ky|=∑kva()=∑ka2=a2∑k2 由于 ∑k2=∑(xx一) ∑(x1-x) (x2-x) ∑(x-x) 因此,式(7)得证 5.对于总体模型中的参数B1,在它的所有线性无偏估计量中,最小二乘估计量B1 具有最小的方差。 记任意一个线性估计量 =∑cy 式中c1是任意常数,c不全为零,i=1,2,…n。要求B1是B1的无偏估计量,即 E(B)=∑cE()=月 另一方面,由于E(v)=B+B1x1,所以又可以写成 230
-230- ∑ ∑ = = ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i i i n i i i E E k y k E y 1 1 1 ) ( ) ˆ (β ∑ ∑ ∑ = = = = + = + n i i i n i i i n i i k E x k k x 1 1 1 0 1 0 1 (β β ) β β 由于 0 ( ) 1 1 1 2 = − − = ∑ ∑ ∑ = = = n i n i i i n i i x x x x k 1 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 2 = − − − = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = n i i n i i i i n i n i i i i n i i x x x x x x x x x x x k x 所以 1 1 ) ˆ E(β = β 4．估计量 1 β ˆ 的方差为 ∑= − = n i i x x 1 2 2 1 ( ) ) ˆ Var( σ β （7） 这是因为 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ⎟ = = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i i n i i n i i i n i i i k y k y k k 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ) Var Var( ) ˆ Var(β σ σ 由于 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − − = n i i n i i n i i n i n i i i n i i x x x x x x x x x x k 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ) ( ) ( 因此，式（7）得证。 5．对于总体模型中的参数 β1 ，在它的所有线性无偏估计量中，最小二乘估计量 1 β ˆ 具有最小的方差。 记任意一个线性估计量 ∑= = n i i i c y 1 1 ~ β 式中 i c 是任意常数， i c 不全为零，i = 1,2,L, n 。要求 1 ~ β 是 β1 的无偏估计量，即 1 1 1 ) ( ) ~ (β = ∑ = β = n i i i E c E y 另一方面，由于 i i E y x 0 1 ( ) = β + β ，所以又可以写成
E()=∑c(B+Rx)=B∑c+B∑cx 为保证无偏性,c要满足下列限制 0,>cx=0 定义C1=k,+d,,其中k,是式(6)中的组合系数,d,是任意常数,则 A(+立+M 由于 ∑k4=∑k(c-k)=∑c ∑k2 (x C ∑k2= 1 0 k2 Var(B,) x 所以 Var(B,=var(B,+o d2的最小值为零,所以,当∑d2=0时,B的方差最小。但是,只有当d=0 时,即c=k时,才有∑d2=0。所以,最小二乘估计量B在所有无偏估计量中具 有最小的方差。 同理,可以得出相应于点估计量B0的统计性质。对于一元线性正态误差回归模型 来说,最小二乘估计量B是y2的线性组合,所以,它的抽样分布也是正态的。它是总 体参数B0的无偏估计量,即 E(Bo)=Bo 同样可以证明 ar()=a2[+ (8) (x1-x)2
-231- ∑ ∑ ∑ = = = = + = + n i i i n i i n i i i E c x c c x 1 1 1 0 1 1 0 1 ) ( ) ~ (β β β β β 为保证无偏性， i c 要满足下列限制 0 1 ∑ = = n i i c ， 0 1 ∑ = = n i i i c x 定义 i i di c = k + ，其中 i k 是式（6）中的组合系数， di 是任意常数，则 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ = ∑ +∑ + ∑ = = = = n i i i n i i n i i n i i c k d k d 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ) 2 ~ Var(β σ σ 由于 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = − − − = − = n i n i n i i i i i n i i i i n i i i k x x x x k d k c k c 1 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 = − − − − = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = n i i n i i n i n i i i n i i n i i i x x x x k x x c x x c 而 ) ˆ Var( ( ) 1 1 2 2 1 2 2 β σ σ = − = ∑ ∑ = = n i i n i i x x k 所以 ∑= = + n i di 1 2 2 1 1 ) ˆ ) Var( ~ Var(β β σ ∑= n i di 1 2 的最小值为零，所以，当∑= = n i di 1 2 0 时， 1 ~ β 的方差最小。但是，只有当di ≡ 0 时，即 i i c ≡ k 时，才有 ∑= = n i di 1 2 0 。所以，最小二乘估计量 1 β ˆ 在所有无偏估计量中具 有最小的方差。 同理，可以得出相应于点估计量 0 β ˆ 的统计性质。对于一元线性正态误差回归模型 来说，最小二乘估计量 0 β ˆ 是 i y 的线性组合，所以，它的抽样分布也是正态的。它是总 体参数 β 0 的无偏估计量，即 0 0 ) ˆ E(β = β 同样可以证明 ] ( ) 1 ) [ ˆ ( 1 2 2 2 0 ∑= − = + n i i x x x n Var β σ （8）
且B是B的线性无偏的最小方差估计量。 223其它性质 用最小二乘法拟合的回归方程还有一些值得注意的性质 1.残差和为零。 残差 ei= yi-yi 由第一个正规方程,得 e=∑(y-B-Bx)=0 2.拟合值y的平均值等于观测值y的平均值,即 Vi=y (10) 按照第一正规方程,有 ∑( (y2-B-Bx)=0 所以 ∑(B0+Bx)=∑ 3.当第i次试验的残差以相应的自变量取值为权重时,其加权残差和为零,即 (11) 这个结论由第二个正规方程∑x(y,-B6-Bx)=0即可得出。 当第i次试验的残差以相应的因变量的拟合值为权重时,其加权残差和为零, 即 ∑ⅳe (12) 这是因为 ∑(B+Rx)e=B∑e+B∑xe=0 5.最小二乘回归线总是通过观测数据的重心(x,y)的。 事实上,当自变量取值为x时,由式(5) Bo=y-Bx 所以 Bo+B,x=(-B,x)+B,x=y 23拟合效果分析 当根据一组观测数据得到最小二乘拟合方程后,必须考察一下,是否真的能由所得
-232- 且 0 β ˆ 是 β 0 的线性无偏的最小方差估计量。 2.2.3 其它性质 用最小二乘法拟合的回归方程还有一些值得注意的性质： 1．残差和为零。 残差 i i i e = y − yˆ ，i = 1,2,L, n 由第一个正规方程，得 ) 0 ˆ ˆ ( 1 0 1 1 1 ∑ = ∑ − − = = = n i i n i i e y β β x （9） 2．拟合值 i yˆ 的平均值等于观测值 i y 的平均值，即 y y n y n n i i n i ∑ i = ∑ = =1 =1 1 ˆ 1 （10） 按照第一正规方程，有 ) 0 ˆ ˆ ( 1 ∑ − 0 − 1 = = n i i i y β β x 所以 ∑ ∑ ∑ = = = = + = n i i n i i n i i y x y 1 1 0 1 1 ) ˆ ˆ ˆ (β β 3．当第i 次试验的残差以相应的自变量取值为权重时，其加权残差和为零，即 0 1 ∑ = = n i i i x e （11） 这个结论由第二个正规方程 ) 0 ˆ ˆ ( 1 ∑ − 0 − 1 = = n i i i i x y β β x 即可得出。 4．当第i 次试验的残差以相应的因变量的拟合值为权重时，其加权残差和为零， 即 ˆ 0 1 ∑ = = i n i i y e （12） 这是因为 0 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( 1 1 1 0 1 ∑ 0 + 1 = ∑ + ∑ = = = = n i i i n i i n i i i β β x e β e β x e 5．最小二乘回归线总是通过观测数据的重心(x, y)的。 事实上，当自变量取值为 x 时，由式（5） y x 0 1 β ˆ β ˆ = − 所以 y = + x = y − x + x = y 0 1 1 1 ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ β β β β 2.3 拟合效果分析 当根据一组观测数据得到最小二乘拟合方程后，必须考察一下，是否真的能由所得
的模型(j=B6+B1x1)来较好地拟合观测值y?用j=B+B1x能否较好地反映 (或者说解释)y值的取值变化?回归方程的质量如何?误差多大?对这些,都必须 予以正确的评估和分析。 231残差的样本方差 记残差 e1=y-y,i=12, 残差的样本均值为 己=∑(y-j)=0 残差的样本方差为 MSE= n-2(e-a)2=1 2=-,∑(-j)2 由于有 0和∑xe1=0的约束,所以,残差平方和有(n-2)个自由度。可 以证明,在对∑e2除以其自由度(n-2)后得到的MSE,是总体回归模型中 a2=ar(E1)的无偏估计量。记 S=√ASE=1,∑ (13) 个好的拟合方程,其残差总和应越小越好。残差越小,拟合值与观测值越接近, 各观测点在拟合直线周围聚集的紧密程度越高,也就是说,拟合方程y=B0+Bx解释 y的能力越强 另外,当S越小时,还说明残差值e的变异程度越小。由于残差的样本均值为零, 所以,其离散范围越小,拟合的模型就越为精确。 232判定系数(拟合优度) 对应于不同的x值,观测值y的取值是不同的。建立一元线性回归模型的目的 就是试图以x的线性函数(B+B1x)来解释y的变异。那么,回归模型j=B+月x 究竟能以多大的精度来解释y的变异呢?又有多大部分是无法用这个回归方程来解释 的呢? y,y2,…,yn的变异程度可采用样本方差来测度,即 (y2-y)2 根据式(10),拟合值,y2,…,y的均值也是j,其变异程度可以用下式测度 (1-y)2 下面看一下2与s2之间的关系,有
-233- 的模型（ i i y x 0 1 ˆ ˆ ˆ = β + β ）来较好地拟合观测值 i y ？用 i i y x 0 1 ˆ ˆ ˆ = β + β 能否较好地反映 （或者说解释） i y 值的取值变化？回归方程的质量如何？误差多大？对这些，都必须 予以正确的评估和分析。 2.3.1 残差的样本方差 记残差 i i i e = y − yˆ ，i =1,2,L, n 残差的样本均值为 ( ˆ ) 0 1 1 = ∑ − = = n i i i y y n e 残差的样本方差为 ∑ ∑ ∑ = = = − − = − − = − = n i i i n i i n i i y y n e n e e n MSE 1 2 1 2 1 2 ( ˆ ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 由于有 0 1 ∑ = = n i i e 和 0 1 ∑ = = n i i i x e 的约束，所以，残差平方和有(n − 2)个自由度。可 以证明，在对 ∑= n i i e 1 2 除以其自由度 (n − 2) 后得到的 MSE ，是总体回归模型中 ( ) 2 Var i σ = ε 的无偏估计量。记 ∑ − = = = n i e i e n S MSE 1 2 2 1 （13） 一个好的拟合方程，其残差总和应越小越好。残差越小，拟合值与观测值越接近， 各观测点在拟合直线周围聚集的紧密程度越高，也就是说，拟合方程 y x 0 1 ˆ ˆ ˆ = β + β 解释 y 的能力越强。 另外，当 Se 越小时，还说明残差值 i e 的变异程度越小。由于残差的样本均值为零， 所以，其离散范围越小，拟合的模型就越为精确。 2.3.2 判定系数（拟合优度） 对应于不同的 i x 值，观测值 i y 的取值是不同的。建立一元线性回归模型的目的， 就是试图以 x 的线性函数（ x 0 1 β ˆ β ˆ + ）来解释 y 的变异。那么，回归模型 y x 0 1 ˆ ˆ ˆ = β + β 究竟能以多大的精度来解释 y 的变异呢？又有多大部分是无法用这个回归方程来解释 的呢？ n y , y , , y 1 2 L 的变异程度可采用样本方差来测度，即 ∑= − − = n i i y y n s 1 2 2 ( ) 1 1 根据式（10），拟合值 n yˆ , yˆ , , yˆ 1 2 L 的均值也是 y ，其变异程度可以用下式测度 ∑= − − = n i i y y n s 1 2 2 ( ˆ ) 1 1 ˆ 下面看一下 2 s 与 2 sˆ 之间的关系，有
∑(-y2=∑(-j)2+∑(-)2+2∑(-- 由于 ∑(-M-列=∑(--Bx+Bx-y) =B∑(,--x)+B∑x(-A-Bx)-∑(-成-月x)=0 因此,得到正交分解式为 ∑(y-y)2= ∑(-,) ST=∑(,-y),这是原始数据y的总变异平方和,其自由度为4=n-1 SR=∑(-y)2,这是用拟合直线=B+Bx可解释的变异平方和,其自 由度为dfR=1 SSE=∑(y-元),这是残差平方和,其的自由度为d=n-2 所以,有 SST=SSR+SsE, dfr=de +df 从上式可以看出,y的变异是由两方面的原因引起的;一是由于x的取值不同,而 给y带来的系统性变异;另一个是由除x以外的其它因素的影响。 注意到对于一个确定的样本(一组实现的观测值),SST是一个定值。所以,可解 释变异SSR越大,则必然有残差SSE越小。这个分解式可同时从两个方面说明拟合方 程的优良程度 (1)SSR越大,用回归方程来解释y变异的部分越大,回归方程对原数据解释得 越好; (2)SSE越小,观测值ν绕回归直线越紧密,回归方程对原数据的拟合效果越好。 因此,可以定义一个测量标准来说明回归方程对原始数据的拟合程度,这就是所谓 的判定系数,有些文献上也称之为拟合优度 判定系数是指可解释的变异占总变异的百分比,用R2表示,有 ST(I-SSE SSR (15) 从判定系数的定义看,R2有以下简单性质: (1)0≤R≤1 (2)当R2=1时,有SSR=SST,也就是说,此时原数据的总变异完全可以由拟 合值的变异来解释,并且残差为零(SSE=0),即拟合点与原数据完全吻合 (3)当R2=0时,回归方程完全不能解释原数据的总变异,y的变异完全由与x
-234- ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = − = − + − + − − n i i i i n i i n i i i n i i y y y y y y y y y y 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) 2 ( ˆ )( ˆ ) 由于 ∑ ∑ = = − − = − − + − n i i i i n i i i i y y y y y x x y 1 0 1 0 1 1 ) ˆ ˆ )( ˆ ˆ ( ˆ )( ˆ ) ( β β β β ) 0 ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ 1 0 1 1 1 0 1 1 = 0∑ − 0 − 1 + ∑ − − − ∑ − − = = = = n i i i n i i i i n i i i β y β β x β x y β β x y y β β x 因此，得到正交分解式为 ∑ ∑ ∑ = = = − = − + − n i i i n i i n i i y y y y y y 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) （14） 记 ∑= = − n i i SST y y 1 2 ( ) ，这是原始数据 i y 的总变异平方和，其自由度为 df = n −1 T ； ∑= = − n i i SSR y y 1 2 ( ˆ ) ，这是用拟合直线 i i y x 0 1 ˆ ˆ ˆ = β + β 可解释的变异平方和，其自 由度为 = 1 R df ； ∑= = − n i i i SSE y y 1 2 ( ˆ ) ，这是残差平方和，其的自由度为 df = n − 2 E 。 所以，有 SST = SSR + SSE ， T R E df = df + df 从上式可以看出，y 的变异是由两方面的原因引起的；一是由于 x 的取值不同，而 给 y 带来的系统性变异；另一个是由除 x 以外的其它因素的影响。 注意到对于一个确定的样本（一组实现的观测值），SST 是一个定值。所以，可解 释变异 SSR 越大，则必然有残差 SSE 越小。这个分解式可同时从两个方面说明拟合方 程的优良程度： （1）SSR 越大，用回归方程来解释 i y 变异的部分越大，回归方程对原数据解释得 越好； （2）SSE 越小，观测值 i y 绕回归直线越紧密，回归方程对原数据的拟合效果越好。 因此，可以定义一个测量标准来说明回归方程对原始数据的拟合程度，这就是所谓 的判定系数，有些文献上也称之为拟合优度。 判定系数是指可解释的变异占总变异的百分比，用 2 R 表示，有 (1 ) 2 SST SSE SST SSR R = = − （15） 从判定系数的定义看， 2 R 有以下简单性质： （1）0 1 2 ≤ R ≤ ； （2）当 1 2 R = 时，有 SSR = SST ，也就是说，此时原数据的总变异完全可以由拟 合值的变异来解释，并且残差为零（ SSE = 0 ），即拟合点与原数据完全吻合； （3）当 0 2 R = 时，回归方程完全不能解释原数据的总变异， y 的变异完全由与 x
无关的因素引起,这时SSE=SST。 测定系数时一个很有趣的指标:一方面它可以从数据变异的角度指出可解释的变异 占总变异的百分比,从而说明回归直线拟合的优良程度;另一方面,它还可以从相关性 的角度,说明原因变量y与拟合变量y的相关程度,从这个角度看,拟合变量j与原 变量y的相关度越大,拟合直线的优良度就越高 看下面的式子 R2、Ssn∑(-|(+e- (16) s∑-亓2∑(-)2(-) 在推导中,注意有 ∑e(-列=∑-少∑e=0 所以,R2又等于y与拟合变量y的相关系数平方。 还可以证明,√R2等于y与自变量x的相关系数,而相关系数的正、负号与回归 系数月的符号相同。 4显著性检验 24.1回归模型的线性关系检验 在拟合回归方程之前,我们曾假设数据总体是符合线性正态误差模型的,也就是说, y与x之间的关系是线性关系,即 y=B+Bx+6,E1~N(0,a2),i=1,2,…n 然而,这种假设是否真实,还需进行检验。 对于一个实际观测的样本,虽然可以用判定系数R2说明y与j的相关程度,但是 样本测度指标具有一定的随机因素,还不足以肯定y与x的线性关系 假设y与x之间存在线性关系,则总体模型为 y=B6+B1x1+E1,i=1,2,…,n 如果β≠0,则称这个模型为全模型 用最小二乘法拟合全模型,并求出误差平方和为 SE=∑(-j) 现给出假设H0:B1=0。如果H假设成立,则 y=Bo+E 这个模型被称为选模型。用最小二乘法拟合这个模型,则有 B1=0 Bo=y-Box=y 因此,对所有的i=1,2,…,n,有
-235- 无关的因素引起，这时 SSE = SST 。 测定系数时一个很有趣的指标：一方面它可以从数据变异的角度指出可解释的变异 占总变异的百分比，从而说明回归直线拟合的优良程度；另一方面，它还可以从相关性 的角度，说明原因变量 y 与拟合变量 yˆ 的相关程度，从这个角度看，拟合变量 yˆ 与原 变量 y 的相关度越大，拟合直线的优良度就越高。 看下面的式子 ( , ˆ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ )( ˆ ) ( ) ( ˆ ) 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 r y y y y y y y e y y y y y y y SST SSR R n i i n i i n i i i i n i i n i i = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = − − = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = （16） 在推导中，注意有 ( ˆ ) ˆ 0 1 1 1 ∑ − = ∑ − ∑ = = = = n i i n i i i n i i i e y y e y y e 所以， 2 R 又等于 y 与拟合变量 yˆ 的相关系数平方。 还可以证明， 2 R 等于 y 与自变量 x 的相关系数，而相关系数的正、负号与回归 系数 1 β ˆ 的符号相同。 2.4 显著性检验 2.4.1 回归模型的线性关系检验 在拟合回归方程之前，我们曾假设数据总体是符合线性正态误差模型的，也就是说， y 与 x 之间的关系是线性关系，即 i i i y = β + β x + ε 0 1 ， ~ (0, ) 2 ε i N σ ，i =1,2,L, n 然而，这种假设是否真实，还需进行检验。 对于一个实际观测的样本，虽然可以用判定系数 2 R 说明 y 与 yˆ 的相关程度，但是， 样本测度指标具有一定的随机因素，还不足以肯定 y 与 x 的线性关系。 假设 y 与 x 之间存在线性关系，则总体模型为 i i i y = β + β x + ε 0 1 ，i = 1,2,L, n 如果 0 β1 ≠ ，则称这个模型为全模型。 用最小二乘法拟合全模型，并求出误差平方和为 ∑= = − n i i i SSE y y 1 2 ( ˆ ) 现给出假设 H0 : β1 = 0。如果 H0 假设成立，则 i i y = β + ε 0 这个模型被称为选模型。用最小二乘法拟合这个模型，则有 0 ˆ β1 = = y − x = y 0 0 β ˆ β ˆ 因此，对所有的i = 1,2,L, n ，有