第十九章神经网络模型 §1神经网络简介 人工神经网络是在现代神经科学的基础上提出和发展起来的,旨在反映人脑结构及 功能的一种抽象数学模型。自1943年美国心理学家W. McCulloch和数学家W.Pts提 出形式神经元的抽象数学模型一MP模型以来,人工神经网络理论技术经过了50多年 曲折的发展。特别是20世纪80年代,人工神经网络的研究取得了重大进展,有关的理 论和方法已经发展成一门界于物理学、数学、计算机科学和神经生物学之间的交叉学科 它在模式识别,图像处理,智能控制,组合优化,金融预测与管理,通信,机器人以及 专家系统等领域得到广泛的应用,提出了40多种神经网络模型,其中比较著名的有感 知机, Hopfield网络, boltzman机,自适应共振理论及反向传播网络(BP)等。在这 里我们仅讨论最基本的网络模型及其学习算法。 1.1人工神经元模型 下图表示出了作为人工神经网络( artificial neural network,以下简称NN)的基本 单元的神经元模型,它有三个基本要素 激活函数 输x2 输出 和 阈值 连接权 (i)一组连接(对应于生物神经元的突触),连接强度由各连接上的权值表示,权 值为正表示激活,为负表示抑制。 (ⅱi)一个求和单元,用于求取各输入信号的加权和(线性组合) (ⅲ)一个非线性激活函数,起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范 围内(一般限制在(0,1)或(-1,1)之间) 此外还有一个阈值4(或偏置b=-64)。 以上作用可分别以数学式表达出来: l4=2∑4x,"k=4-6,y=() 式中x1,x2…,x为输入信号,Wk,Wk2,…,W为神经元k之权值,4为线性组合结 果,为阈值,p()为激活函数,yk为神经元k的输出。 若把输入的维数增加一维,则可把阈值4包括进去。例如 D=P(ug) 此处增加了一个新的连接,其输入为x0=-1(或+1),权值为wo=6(或b2),如 下图所示 230
-230- 第十九章 神经网络模型 §1 神经网络简介 人工神经网络是在现代神经科学的基础上提出和发展起来的，旨在反映人脑结构及 功能的一种抽象数学模型。自 1943 年美国心理学家 W. McCulloch 和数学家 W. Pitts 提 出形式神经元的抽象数学模型—MP 模型以来，人工神经网络理论技术经过了 50 多年 曲折的发展。特别是 20 世纪 80 年代，人工神经网络的研究取得了重大进展，有关的理 论和方法已经发展成一门界于物理学、数学、计算机科学和神经生物学之间的交叉学科。 它在模式识别，图像处理，智能控制，组合优化，金融预测与管理，通信，机器人以及 专家系统等领域得到广泛的应用，提出了 40 多种神经网络模型，其中比较著名的有感 知机，Hopfield 网络，Boltzman 机，自适应共振理论及反向传播网络（BP）等。在这 里我们仅讨论最基本的网络模型及其学习算法。 1.1 人工神经元模型 下图表示出了作为人工神经网络（artificial neural network，以下简称 NN）的基本 单元的神经元模型，它有三个基本要素： （i）一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权 值为正表示激活，为负表示抑制。 （ii）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）。 （iii）一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范 围内（一般限制在(0,1) 或(−1,1) 之间）。 此外还有一个阈值θ k （或偏置bk = −θ k ）。 以上作用可分别以数学式表达出来： ∑= = p j k kj j u w x 1 ， k uk k v = −θ ， ( ) k k y = ϕ v 式中 p x , x , , x 1 2 L 为输入信号， wk wk wkp , , , 1 2 L 为神经元 k 之权值，uk 为线性组合结 果，θ k 为阈值，ϕ(⋅) 为激活函数， k y 为神经元k 的输出。 若把输入的维数增加一维，则可把阈值θ k 包括进去。例如 ∑= = p j k kj j v w x 0 ， ( ) k uk y = ϕ 此处增加了一个新的连接，其输入为 x0 = −1（或 +1），权值为 wk 0 = θ k （或bk ），如 下图所示
固定输入⌒=64(阈值) 固定输入⌒4o=b(偏置) 激活函数 激活函数 输 出 连接权 连接权 激活函数qp()可以有以下几种 (i)阂值函数 v≥0 P(v) (1) 0,y0可控制其斜率。另一种常用的是双曲正切函数 p(v)=tanh/v1-exp(-v) (4) 2)1+exp(-) 这类函数具有平滑和渐近性,并保持单调性 Matlab中的激活(传递)函数如下表所示 函数名 purelin 线性传递函数
-231- 激活函数ϕ(⋅) 可以有以下几种: （i）阈值函数 ⎩ ⎨ ⎧ 0可控制其斜率。另一种常用的是双曲正切函数 1 exp( ) 1 exp( ) 2 ( ) tanh v v v v + − − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ϕ = （4） 这类函数具有平滑和渐近性，并保持单调性。 Matlab 中的激活（传递）函数如下表所示： 函数名 功 能 purelin 线性传递函数
hardlim硬限幅传递函数 hardling|对称硬限幅传递函数 satlin 饱和线性传递函数 对称饱和线性传递函数 对数S形传递函数 ansg正切S形传递函数 radbas径向基传递函数 compet 竞争层传递函数 各个函数的定义及使用方法,可以参看 Matlab的帮助(如在 Matlab命令窗口运行 help tansig,可以看到 tantig的使用方法,及 tansIg的定义为o(v) -1) 1+e 12网络结构及工作方式 除单元特性外,网络的拓扑结构也是NN的一个重要特性。从连接方式看NN主要 有两种 (i)前馈型网络 各神经元接受前一层的输入,并输出给下一层,没有反馈。结点分为两类,即输入 单元和计算单元,每一计算单元可有任意个输入,但只有一个输出(它可耦合到任意多 个其它结点作为其输入)。通常前馈网络可分为不同的层,第i层的输入只与第i-1层 输出相连,输入和输出结点与外界相连,而其它中间层则称为隐层 (ⅱi)反馈型网络 所有结点都是计算单元,同时也可接受输入,并向外界输出。 NN的工作过程主要分为两个阶段:第一个阶段是学习期,此时各计算单元状态不 变,各连线上的权值可通过学习来修改;第二阶段是工作期,此时各连接权固定,计算 单元状态变化,以达到某种稳定状态。 从作用效果看,前馈网络主要是函数映射,可用于模式识别和函数逼近。反馈网络 按对能量函数的极小点的利用来分类有两种:第一类是能量函数的所有极小点都起作 用,这一类主要用作各种联想存储器:第二类只利用全局极小点,它主要用于求解最优 化问题。 §2蠓虫分类问题与多层前馈网络 2.1蠓虫分类问题 蠓虫分类问题可概括叙述如下:生物学家试图对两种蠓虫(Af与Apf)进行鉴别, 依据的资料是触角和翅膀的长度,已经测得了9支Af和6支Apf的数据如下 Af:(1.24,1.27),(1.36,1,74),(1.38,1,64),(1.38,182),(1.38,1,90),(140,1.70) (148,1.82),(1.54,1.82),(1.56,2.08) Apf:(1.14,1,82),(1.181,96),(1.20,1.86),(126,200),(128200),(1.30,1,96) 现在的问题是 (ⅱ)根据如上资料,如何制定一种方法,正确地区分两类蠓虫。 (ⅱi)对触角和翼长分别为(1.24,1,80),(1.28,1,84)与(1.40,2.04)的3个标本,用所得 到的方法加以识别 (ⅲi)设Af是宝贵的传粉益虫,Apf是某疾病的载体,是否应该修改分类方法 如上的问题是有代表性的,它的特点是要求依据己知资料(9支Af的数据和6支 Apf的数据)制定一种分类方法,类别是已经给定的(Af或Apf。今后,我们将9支
-232- hardlim 硬限幅传递函数 hardlims 对称硬限幅传递函数 satlin 饱和线性传递函数 satlins 对称饱和线性传递函数 logsig 对数 S 形传递函数 tansig 正切 S 形传递函数 radbas 径向基传递函数 compet 竞争层传递函数 各个函数的定义及使用方法，可以参看 Matlab 的帮助（如在 Matlab 命令窗口运行 help tansig，可以看到 tantig 的使用方法，及 tansig 的定义为 1 1 2 ( ) 2 − + = − v e ϕ v ）。 1.2 网络结构及工作方式 除单元特性外，网络的拓扑结构也是 NN 的一个重要特性。从连接方式看 NN 主要 有两种。 （i）前馈型网络 各神经元接受前一层的输入，并输出给下一层，没有反馈。结点分为两类，即输入 单元和计算单元，每一计算单元可有任意个输入，但只有一个输出（它可耦合到任意多 个其它结点作为其输入）。通常前馈网络可分为不同的层，第i 层的输入只与第i −1层 输出相连，输入和输出结点与外界相连，而其它中间层则称为隐层。 （ii）反馈型网络 所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。 NN 的工作过程主要分为两个阶段：第一个阶段是学习期，此时各计算单元状态不 变，各连线上的权值可通过学习来修改；第二阶段是工作期，此时各连接权固定，计算 单元状态变化，以达到某种稳定状态。 从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络 按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的所有极小点都起作 用，这一类主要用作各种联想存储器；第二类只利用全局极小点，它主要用于求解最优 化问题。 §2 蠓虫分类问题与多层前馈网络 2.1 蠓虫分类问题 蠓虫分类问题可概括叙述如下：生物学家试图对两种蠓虫（Af 与 Apf）进行鉴别， 依据的资料是触角和翅膀的长度，已经测得了 9 支 Af 和 6 支 Apf 的数据如下： Af: (1.24,1.27)，(1.36,1.74)，(1.38,1.64)，(1.38,1.82)，(1.38,1.90)，(1.40,1.70)， (1.48,1.82)，(1.54,1.82)，(1.56,2.08). Apf: (1.14,1.82)，(1.18,1.96)，(1.20,1.86)，(1.26,2.00)，(1.28,2.00)，(1.30,1.96). 现在的问题是： （i）根据如上资料，如何制定一种方法，正确地区分两类蠓虫。 （ii）对触角和翼长分别为(1.24,1.80)，(1.28,1.84)与(1.40,2.04)的 3 个标本，用所得 到的方法加以识别。 （iii）设 Af 是宝贵的传粉益虫，Apf 是某疾病的载体，是否应该修改分类方法。 如上的问题是有代表性的，它的特点是要求依据已知资料（9 支 Af 的数据和 6 支 Apf 的数据）制定一种分类方法，类别是已经给定的（Af 或 Apf）。今后，我们将 9 支
Af及6支Apf的数据集合称之为学习样本 22多层前馈网络 为解决上述问题,考虑一个其结构如下图所示的人工神经网络 H w3s tU 激活函数由 P(v) I+ exp(-an) 来决定。图中最下面单元,即由●所示的一层称为输入层,用以输入已知测量值。在 我们的例子中,它只需包括两个单元,一个用以输入触角长度,一个用以输入翅膀长度。 中间一层称为处理层或隐单元层,单元个数适当选取,对于它的选取方法,有一些文献 进行了讨论,但通过试验来决定,或许是最好的途径。在我们的例子中,取三个就足够 了。最上面一层称为输出层,在我们的例子中只包含二个单元,用以输出与每一组输入 数据相对应的分类信息.任何一个中间层单元接受所有输入单元传来的信号,并把处理 后的结果传向每一个输出单元,供输出层再次加工,同层的神经元彼此不相联接,输入 与输出单元之间也没有直接联接。这样,除了神经元的形式定义外,我们又给出了网络 结构。有些文献将这样的网络称为两层前传网络,称为两层的理由是,只有中间层及输 出层的单元才对信号进行处理;输入层的单元对输入数据没有任何加工,故不计算在层 数之内。 为了叙述上的方便,此处引人如下记号上的约定:令s表示一个确定的已知样品标 号,在蠓虫问题中,s=1,2,…15,分别表示学习样本中的15个样品:当将第S个样 品的原始数据输入网络时,相应的输出单元状态记为O(=1,2),隐单元状态记为 (=12,3),输入单元取值记为l(k=12)。请注意,此处下标,jk依次对应于 输出层、中间层及输入层。在这一约定下,从中间层到输出层的权记为wg,从输入层 到中间层的权记为Wk。如果wg,Wk均已给定,那么,对应于任何一组确定的输入 (13,12),网络中所有单元的取值不难确定。事实上,对样品s而言,隐单元j的输入 h=∑而 相应的输出状态是 H;=o(h 由此,输出单元i所接收到的迭加信号是
-233- Af 及 6 支 Apf 的数据集合称之为学习样本。 2.2 多层前馈网络 为解决上述问题，考虑一个其结构如下图所示的人工神经网络， 激活函数由 1 exp( ) 1 ( ) v v α ϕ + − = 来决定。图中最下面单元，即由•所示的一层称为输入层，用以输入已知测量值。在 我们的例子中，它只需包括两个单元，一个用以输入触角长度，一个用以输入翅膀长度。 中间一层称为处理层或隐单元层，单元个数适当选取，对于它的选取方法，有一些文献 进行了讨论，但通过试验来决定，或许是最好的途径。在我们的例子中，取三个就足够 了。最上面一层称为输出层，在我们的例子中只包含二个单元，用以输出与每一组输入 数据相对应的分类信息．任何一个中间层单元接受所有输入单元传来的信号，并把处理 后的结果传向每一个输出单元，供输出层再次加工，同层的神经元彼此不相联接，输入 与输出单元之间也没有直接联接。这样，除了神经元的形式定义外，我们又给出了网络 结构。有些文献将这样的网络称为两层前传网络，称为两层的理由是，只有中间层及输 出层的单元才对信号进行处理；输入层的单元对输入数据没有任何加工，故不计算在层 数之内。 为了叙述上的方便，此处引人如下记号上的约定：令 s 表示一个确定的已知样品标 号，在蠓虫问题中， s = 1,2,L,15，分别表示学习样本中的 15 个样品；当将第 s 个样 品的原始数据输入网络时，相应的输出单元状态记为O (i = 1,2) s i ，隐单元状态记为 H ( j = 1,2,3) s j ，输入单元取值记为 I (k = 1,2) s k 。请注意，此处下标i, j,k 依次对应于 输出层、中间层及输入层。在这一约定下，从中间层到输出层的权记为 wij ，从输入层 到中间层的权记为 wjk 。如果 wij ， wjk 均已给定，那么，对应于任何一组确定的输入 ( , ) 1 2 s s I I ，网络中所有单元的取值不难确定。事实上，对样品 s 而言，隐单元 j 的输入 是 ∑= = 2 k 1 s jk k s j h w I （5） 相应的输出状态是 ∑= = = 2 1 ( ) ( ) k s jk k s j s j H ϕ h ϕ w I （6） 由此，输出单元i 所接收到的迭加信号是
n=∑vH=∑∑币) (7) 网络的最终输出是 O=(h1)=o(∑w,H1)=g∑(∑l) (8) 这里,没有考虑阈值,正如前面已经说明的那样,这一点是无关紧要的。还应指出的是, 对于任何一组确定的输入,输出是所有权g,Wk}的函数。 如果我们能够选定一组适当的权值{vg,Wk},使得对应于学习样本中任何一组Af 样品的输入(l1,F2),输出(O1,O2)=(10),对应于Apf的输入数据,输出为(0,1), 那么蠓虫分类问题实际上就解决了。因为,对于任何一个未知类别的样品,只要将其触 角及翅膀长度输入网络,视其输出模式靠近(1,0)亦或(0,1),就可能判断其归属。当然 有可能出现介于中间无法判断的情况。现在的问题是,如何找到一组适当的权值,实现 上面所设想的网络功能。 2.3向后传播算法 对于一个多层网络,如何求得一组恰当的权值,使网络具有特定的功能,在很长 段时间内,曾经是使研究工作者感到困难的一个问题,直到1985年,美国加州大学的 个研究小组提出了所谓向后传播算法(Back- Propagation),使问题有了重大进展,这 算法也是促成人工神经网络研究迅猛发展的一个原因。下面就来介绍这一算法。 如前所述,我们希望对应于学习样本中Af样品的输出是(1,0),对应于Apf的输出 是(01),这样的输出称之为理想输出。实际上要精确地作到这一点是不可能的,只能 希望实际输出尽可能地接近理想输出。为清楚起见,把对应于样品s的理想输出记为 {T},那么 E)=∑(T-0) 度量了在一组给定的权下,实际输出与理想输出的差异,由此,寻找一组恰当的权的问 题,自然地归结为求适当W的值,使E(W)达到极小的问题。将式(8)代入(9),有 E(H)=1∑-o∑可) (10) 易知,对每一个变量w或W而言,这是一个连续可微的非线性函数,为了求得其极 小点与极小值,最为方便的就是使用最速下降法。最速下降法是一种迭代算法,为求出 E(W)的(局部)极小,它从一个任取的初始点而出发,计算在W点的负梯度方向 VE(W),这是函数在该点下降最快的方向;只要VE(W0)≠0,就可沿该方向移动 小段距离,达到一个新的点W=W-nVE(W),n是一个参数,只要η足够小, 定能保证E(W1)<E(W)。不断重复这一过程,一定能达到E的一个(局部)极小点。 就本质而言,这就是BP算法的全部内容,然而,对人工神经网络问题而言,这一算法 的具体形式是非常重要的,下面我们就来给出这一形式表达。 对于隐单元到输出单元的权。而言,最速下降法给出的每一步的修正量是
-234- ∑ ∑∑ = == = = 3 1 3 1 2 1 ( ) j jk s ij jk k s ij j s i h w H w ϕ w I （7） 网络的最终输出是 ( ) ( ) ( ( )) 3 1 2 1 3 1 ∑ ∑ ∑ = = = = = = j k s ij jk k j s ij j s i s i O ϕ h ϕ w H ϕ w ϕ w I （8） 这里，没有考虑阈值，正如前面已经说明的那样，这一点是无关紧要的。还应指出的是， 对于任何一组确定的输入，输出是所有权{ , } wij wjk 的函数。 如果我们能够选定一组适当的权值{ , } wij wjk ，使得对应于学习样本中任何一组 Af 样品的输入( , ) 1 2 s s I I ，输出( , ) (1,0) 1 2 = s s O O ，对应于 Apf 的输入数据，输出为(0,1) ， 那么蠓虫分类问题实际上就解决了。因为，对于任何一个未知类别的样品，只要将其触 角及翅膀长度输入网络，视其输出模式靠近(1,0) 亦或(0,1) ，就可能判断其归属。当然， 有可能出现介于中间无法判断的情况。现在的问题是，如何找到一组适当的权值，实现 上面所设想的网络功能。 2.3 向后传播算法 对于一个多层网络，如何求得一组恰当的权值，使网络具有特定的功能，在很长一 段时间内，曾经是使研究工作者感到困难的一个问题，直到 1985 年，美国加州大学的 一个研究小组提出了所谓向后传播算法（Back-Propagation），使问题有了重大进展，这 一算法也是促成人工神经网络研究迅猛发展的一个原因。下面就来介绍这一算法。 如前所述，我们希望对应于学习样本中 Af 样品的输出是(1,0) ，对应于 Apf 的输出 是(0,1) ，这样的输出称之为理想输出。实际上要精确地作到这一点是不可能的，只能 希望实际输出尽可能地接近理想输出。为清楚起见，把对应于样品 s 的理想输出记为 { } s Ti ，那么 = ∑ − i s s i s E W Ti O , 2 ( ) 2 1 ( ) （9） 度量了在一组给定的权下，实际输出与理想输出的差异，由此，寻找一组恰当的权的问 题，自然地归结为求适当W 的值，使 E(W ) 达到极小的问题。将式（8）代入（9），有 ∑ ∑∑ = = = − s jk i s ij jk k s i E W T w w I , 2 3 1 2 1 [ ( ( ))] 2 1 ( ) ϕ ϕ （10） 易知，对每一个变量 wij 或 wij 而言，这是一个连续可微的非线性函数，为了求得其极 小点与极小值，最为方便的就是使用最速下降法。最速下降法是一种迭代算法，为求出 E(W ) 的（局部）极小，它从一个任取的初始点W0 出发，计算在W0 点的负梯度方向 — ( ) ∇E W0 ，这是函数在该点下降最快的方向；只要∇E(W0 ) ≠ 0 ，就可沿该方向移动 一小段距离，达到一个新的点 ( ) W1 = W0 −η∇E W0 ，η 是一个参数，只要η 足够小， 定能保证 ( ) ( ) E W1 < E W0 。不断重复这一过程，一定能达到 E 的一个（局部）极小点。 就本质而言，这就是 BP 算法的全部内容，然而，对人工神经网络问题而言，这一算法 的具体形式是非常重要的，下面我们就来给出这一形式表达。 对于隐单元到输出单元的权 wij 而言，最速下降法给出的每一步的修正量是
Amn=-=n∑[T-0(h)H=n∑8H (11) 此处令 6=g'(h2)[T-O;] (12) 对输入单元到隐单元的权Wk dE 7∑[T2-O}(h)ng(b) n2vg(h)=∑6k (13) 此处 b=q(h)∑"o 从(11)和(13)式可以看出,所有权的修正量都有如下形式,即 Awp=n∑oyv (14) 指标P对应于两个单元中输出信号的一端,q对应于输入信号的一端,v或者代表H或 者代表Ⅰ。形式上看来,这一修正是“局部”的,可以看作是Hebb律的一种表现形式。 还应注意,δ由实际输出与理想输出的差及h决定,而δ则需依赖δ”算出,因此 这一算法才称为向后传播算法。稍加分析还可知道,利用由(11)~(13)式所给出的 算安排,较之不考虑δ,的向后传播,直接计算所有含φ'的原表达式,极大地降低了 计算工作量。这组关系式称作广义δ-法则,它们不难推广到一般的多层网络上去。 利用这一迭代算法,最终生成在一定精度内满足要求的{wn,wk}的过程,称为人 工神经网络的学习过程。可以看出,这里所提供的学习机制是元与元之间权的不断调整, 学习样本中任何一个样品所提供的信息,最终将包含在网络的每一个权之中。参数n的 大小则反映了学习效率。 为了更有效地应用BP算法,我们做出如下一些补充说明 (i)在式(11)与(13)中,Awn2AW表示为与所有样品s有关的求和计算 实际上,我们还可以每次仅考虑输入一个样品所造成的修正,然后,按照随机选取的顺 序,将所有样品逐个输入,不断重复这一手续,直至收敛到一个满意的解为止 (i)在如上的算法中,利用实际输出与理想输出差的平方和作为度量{n2W}优 劣的标准,这并不是唯一的度量方式,完全可以从其它的函数形式出发,例如从相对熵 出发,导出相应的算法。 (ⅲ)在如上的讨论中使用的是最速下降法,显然,这也不是唯一的选择,其它的 非线性优化方法,诸如共轭梯度法,拟牛顿法等,都可用于计算。为了加速算法的收敛 速度,还可以考虑各种不同的修正方式。 (iV)BP算法的出现,虽然对人工神经网络的发展起了重大推动作用,但是这 算法仍有很多问题.对于一个大的网络系统,BP算法的工作量仍然是十分可观的,这 主要在于算法的收敛速度很慢。更为严重的是,此处所讨论的是非线性函数的优化,那 么它就无法逃脱该类问题的共同困难:BP算法所求得的解,只能保证是依赖于初值选 取的局部极小点。为克服这一缺陷,可以考虑改进方法,例如模拟退火算法,或从多个
-235- = ∑ ∑ − = ∂ ∂ Δ = − s s s j s i s j s i s i s i ij ij T O h H H w E w η η [ ]ϕ'( ) η δ （11） 此处令 '( )[ ] s i s i s i s δ i = ϕ h T − O （12） 对输入单元到隐单元的权 wjk = ∑ − ∂ ∂ Δ = − s i s j s ij j s i s i s i jk jk T O h w h I w E w , η η [ ]ϕ'( ) ϕ'( ) = ∑ = ∑s s k s j s i s k s ij j s i η δ w ϕ h I η δ I , '( ) （13） 此处 = ∑ i s ij i s j s δ j ϕ'(h ) w δ 从（11）和（13）式可以看出，所有权的修正量都有如下形式，即 Δ = ∑s s q s pq p w η δ v （14） 指标 p 对应于两个单元中输出信号的一端，q 对应于输入信号的一端，v 或者代表 H 或 者代表 I 。形式上看来，这一修正是“局部”的，可以看作是 Hebb 律的一种表现形式。 还应注意， s δ i 由实际输出与理想输出的差及 s hi 决定，而 s δ j 则需依赖 s δ i 算出，因此， 这一算法才称为向后传播算法。稍加分析还可知道，利用由（11）~（13）式所给出的 计算安排，较之不考虑 s δ p 的向后传播，直接计算所有含ϕ' 的原表达式，极大地降低了 计算工作量。这组关系式称作广义δ − 法则，它们不难推广到一般的多层网络上去。 利用这一迭代算法，最终生成在一定精度内满足要求的{ , } wij wjk 的过程，称为人 工神经网络的学习过程。可以看出，这里所提供的学习机制是元与元之间权的不断调整， 学习样本中任何一个样品所提供的信息，最终将包含在网络的每一个权之中。参数η 的 大小则反映了学习效率。 为了更有效地应用 BP 算法，我们做出如下一些补充说明。 （i）在式（11）与（13）中， Δwij Δwjk , 表示为与所有样品 s 有关的求和计算。 实际上，我们还可以每次仅考虑输入一个样品所造成的修正，然后，按照随机选取的顺 序，将所有样品逐个输入，不断重复这一手续，直至收敛到一个满意的解为止。 （ii）在如上的算法中，利用实际输出与理想输出差的平方和作为度量{ , } wij wjk 优 劣的标准，这并不是唯一的度量方式，完全可以从其它的函数形式出发，例如从相对熵 出发，导出相应的算法。 （iii）在如上的讨论中使用的是最速下降法，显然，这也不是唯一的选择，其它的 非线性优化方法，诸如共轭梯度法，拟牛顿法等，都可用于计算。为了加速算法的收敛 速度，还可以考虑各种不同的修正方式。 （iv）BP 算法的出现，虽然对人工神经网络的发展起了重大推动作用，但是这一 算法仍有很多问题．对于一个大的网络系统，BP 算法的工作量仍然是十分可观的，这 主要在于算法的收敛速度很慢。更为严重的是，此处所讨论的是非线性函数的优化，那 么它就无法逃脱该类问题的共同困难：BP 算法所求得的解，只能保证是依赖于初值选 取的局部极小点。为克服这一缺陷，可以考虑改进方法，例如模拟退火算法，或从多个
随机选定的初值点出发,进行多次计算,但这些方法都不可避免地加大了工作量。 24蠓虫分类问题的求解 下面利用上文所叙述的网络结构及方法,对蠓虫分类问题求解。编写 Matlab程序 如下 c⊥ear p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90 2;1.56,2.08] p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 8,2.00;1.30,1.96] =[p1;p2] pr=minmax (p) goal=[ones(1, 9),zeros(l,6)i zeros(1, 9),ones(1,6)1 plot(p1(:;1),p1(:;2),"h',p2(:;1),p2(:,2),'o") net=newff(pr,[3, 2],['logsig,'logsig) net trainParam show =10 net trainParamlr =0.05; net trainParam epochs =50000 net train(net, p, goal) x=[1.241.80;1.281.84;1.402.04] yO=sim(net, p) y=sim(net, x) §3处理蠓虫分类的另一种网络方法 3.1几个有关概念 在介绍本节主要内容之前,首先说明几个不同的概念。在上一节中,我们把利用 BP算法确定联接强度,即权值的过程称为“学习过程”,这种学习的特点是,对任何 个输入样品,其类别事先是已知的,理想输出也已事先规定,因而从它所产生的实际输 出与理想输出的异同,我们清楚地知道网络判断正确与否,故此把这一类学习称为在教 师监督下的学习;与它不同的是,有些情况下学习是无监督的,例如,我们试图把一组 样品按其本身特点分类,所要划分的类别是事先未知的,需要网络自身通过学习来决定 因而,在学习过程中,对每一输入所产生的输出也就无所谓对错,对于这样的情况,显 然BP算法是不适用的。 另一个有关概念是所谓有竞争的学习。在上节所讨论的蠓虫分类网络中,尽管我们 所希望的理想输出是(1,0)或(0,1),但实际输出并不如此,一般而言,两个输出单元均 同时不为0。与此不同,我们完全可以设想另外一种输出模式:对应任何一组输入,所 有输出单元中,只允许有一个处于激发态,即取值为1,其它输出单元均被抑制,即取 值为0。一种形象的说法是,对应任何一组输入,要求所有的输出单元彼此竞争,唯 的胜利者赢得一切,失败者一无所获,形成这样一种输出机制的网络学习过程,称为有 竞争的学习。 3.2最简单的无监督有竞争的学习 本节叙述一种无监督有竞争的网络学习方法,由此产生的网络可用来将一组输入样 品自动划分类别,相似的样品归于同一类别,因而激发同一输出单元,这一分类方式 是网络自身通过学习,从输入数据的关系中得出的 蠓虫分类问题对应有教师的网络学习过程,显然不能由如上的方法来解决。但在这 种无监督有竞争的学习阐明之后,很容易从中导出一种适用于有监督情况的网络方法; 此外,本节所介绍的网络,在数据压缩等多种领域,都有其重要应用。 -236-
-236- 随机选定的初值点出发，进行多次计算，但这些方法都不可避免地加大了工作量。 2.4 蠓虫分类问题的求解 下面利用上文所叙述的网络结构及方法，对蠓虫分类问题求解。编写 Matlab 程序 如下： clear p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]; p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 1.28,2.00;1.30,1.96]; p=[p1;p2]'; pr=minmax(p); goal=[ones(1,9),zeros(1,6);zeros(1,9),ones(1,6)]; plot(p1(:,1),p1(:,2),'h',p2(:,1),p2(:,2),'o') net=newff(pr,[3,2],{'logsig','logsig'}); net.trainParam.show = 10; net.trainParam.lr = 0.05; net.trainParam.goal = 1e-10; net.trainParam.epochs = 50000; net = train(net,p,goal); x=[1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04]'; y0=sim(net,p) y=sim(net,x) §3 处理蠓虫分类的另一种网络方法 3.1 几个有关概念 在介绍本节主要内容之前，首先说明几个不同的概念。在上一节中，我们把利用 BP 算法确定联接强度，即权值的过程称为“学习过程”，这种学习的特点是，对任何一 个输入样品，其类别事先是已知的，理想输出也已事先规定，因而从它所产生的实际输 出与理想输出的异同，我们清楚地知道网络判断正确与否，故此把这一类学习称为在教 师监督下的学习；与它不同的是，有些情况下学习是无监督的，例如，我们试图把一组 样品按其本身特点分类，所要划分的类别是事先未知的，需要网络自身通过学习来决定， 因而，在学习过程中，对每一输入所产生的输出也就无所谓对错，对于这样的情况，显 然 BP 算法是不适用的。 另一个有关概念是所谓有竞争的学习。在上节所讨论的蠓虫分类网络中，尽管我们 所希望的理想输出是(1,0) 或(0,1) ，但实际输出并不如此，一般而言，两个输出单元均 同时不为 0。与此不同，我们完全可以设想另外一种输出模式：对应任何一组输入，所 有输出单元中，只允许有一个处于激发态，即取值为 1，其它输出单元均被抑制，即取 值为 0。一种形象的说法是，对应任何一组输入，要求所有的输出单元彼此竞争，唯一 的胜利者赢得一切，失败者一无所获，形成这样一种输出机制的网络学习过程，称为有 竞争的学习。 3.2 最简单的无监督有竞争的学习 本节叙述一种无监督有竞争的网络学习方法，由此产生的网络可用来将一组输入样 品自动划分类别，相似的样品归于同一类别，因而激发同一输出单元，这一分类方式， 是网络自身通过学习，从输入数据的关系中得出的。 蠓虫分类问题对应有教师的网络学习过程，显然不能由如上的方法来解决。但在这 种无监督有竞争的学习阐明之后，很容易从中导出一种适用于有监督情况的网络方法； 此外，本节所介绍的网络，在数据压缩等多种领域，都有其重要应用
考虑一个仅由输入层与输出层组成的网络系统,输入单元数目与每一样品的测量值 数目相等,输出单元数目适当选取。每一个输入单元与所有输出单元联接,第j个输入 元到第i个输出元的权记为ν,同层单元间无横向联接。无妨假设所有输入数值均已 规化到[-1,1之间,又因为是有竞争的学习,输出单元只取0或1两个值,且对应每一 输入,只有一个输出元取1。 取1的输出元记为r,称之为优胜者.对于任何一组输入s,规定优胜者是有最大 净输入的输出元,即对输入Ⅰ=(l12…,J)而言, ∑vg 取最大值的单元,其中W是输出元i所有权系数组成的向量,也就是说 W∴I≥W·I,(vi) 如果权向量是按照∑v2=1的方式标准化的,(16)式等价于 形·-W-|,(vi 即优胜者是其标准化权向量最靠近输入向量的输出元。令O.=1,其余的输出 O=0。这样的输出规定了输入向量的类别,但为了使这种分类方式有意义,问题化 为如何将学习样本中的所有样品,自然地划分为聚类,并对每一聚类找出适当的权向量。 为此,采用如下的算法:随机取定一组不大的初始权向量,注意不使它们有任何对称性。 然后,将已知样品按照随机顺序输入网络。对输入样品s,按上文所述确定优胜者i 对所有与有关的权作如下修正 △,;=()-,) (18) 所有其它输出单元的权保持不变。注意到O,=1,O1=0(≠),所有权的修正公式 可统一表示为 O.( 这一形式也可视为Hebb律的一种表现。(18)式的几何意义是清楚的,每次修正将优 胜者的权向量向输入向量移近一小段距离,这使得同一样品再次输入时,有更大的 获胜可能。可以合理地预期,反复重复以上步骤,使得每个输出单元对应了输入向量的 一个聚类,相应的权向量落在了该聚类样品的重心附近。当然,这只是一个极不严密的 说明。 特别应当指出,上述算法,对于事先按照∑l=1标准化了的输入数据更为适用, 整个过程不难由计算机模拟实现。 为了更有效地使用如上算法,下面对实际计算时可能产生的问题,作一些简要说明。 首先,如果初始权选择不当,那么可能出现这样的输出单元,它的权远离任何输入 向量,因此,永远不会成为优胜者,相应的权也就永远不会得到修正,这样的单元称之 为死单元。为避免出现死单元,可以有多种方法。一种办法是初始权从学习样本中抽样 选取,这就保证了它们都落在正确范围内:另一种办法是修正上述的学习算法,使得每 步不仅调整优胜者的权,同时也以一个小得多的刀值,修正所有其它的权。这样,对 此外,还存在有多种处理死单元的方法,感兴趣的读者可从文献中找到更多的季 于总是失败的单元,其权逐渐地朝着平均输入方向运动,最终也会在某一次竞争中取胜
-237- 考虑一个仅由输入层与输出层组成的网络系统，输入单元数目与每一样品的测量值 数目相等，输出单元数目适当选取。每一个输入单元与所有输出单元联接，第 j 个输入 元到第i 个输出元的权记为 wij ，同层单元间无横向联接。无妨假设所有输入数值均已 规化到[−1,1]之间，又因为是有竞争的学习，输出单元只取 0 或 1 两个值，且对应每一 组输入，只有一个输出元取 1。 取 1 的输出元记为 * i ，称之为优胜者．对于任何一组输入 s ，规定优胜者是有最大 净输入的输出元，即对输入 ( , , ) 1 n I = I L I 而言， = ∑ ≡ ⋅ j i ij j i h w I W I (15) 取最大值的单元，其中Wi 是输出元i 所有权系数组成的向量，也就是说 W I W I i i * ⋅ ≥ ⋅ ， (∀i) （16） 如果权向量是按照 ∑ = j wij 1 2 的方式标准化的，（16）式等价于 | | | | W * I W I i i − ≤ − ， (∀i) （17） 即优胜者是其标准化权向量最靠近输入向量的输出元。令 * = 1 i O ，其余的输出 Oi = 0 。这样的输出规定了输入向量的类别，但为了使这种分类方式有意义，问题化 为如何将学习样本中的所有样品，自然地划分为聚类，并对每一聚类找出适当的权向量。 为此，采用如下的算法：随机取定一组不大的初始权向量，注意不使它们有任何对称性。 然后，将已知样品按照随机顺序输入网络。对输入样品 s ，按上文所述确定优胜者 * i ， 对所有与 * i 有关的权作如下修正 * ( * ) i j s j i j Δw =η I − w （18） 所有其它输出单元的权保持不变。注意到 * = 1 i O ， 0( ) * O i i i = ≠ ，所有权的修正公式 可统一表示为 * ( * ) i j s i j i j Δw =ηO I − w 这一形式也可视为 Hebb 律的一种表现。（18）式的几何意义是清楚的，每次修正将优 胜者的权向量向输入向量移近一小段距离，这使得同一样品再次输入时， * i 有更大的 获胜可能。可以合理地预期，反复重复以上步骤，使得每个输出单元对应了输入向量的 一个聚类，相应的权向量落在了该聚类样品的重心附近。当然，这只是一个极不严密的 说明。 特别应当指出，上述算法，对于事先按照 ∑ =1 j I 标准化了的输入数据更为适用， 整个过程不难由计算机模拟实现。 为了更有效地使用如上算法，下面对实际计算时可能产生的问题，作一些简要说明。 首先，如果初始权选择不当，那么可能出现这样的输出单元，它的权远离任何输入 向量，因此，永远不会成为优胜者，相应的权也就永远不会得到修正，这样的单元称之 为死单元。为避免出现死单元，可以有多种方法。一种办法是初始权从学习样本中抽样 选取，这就保证了它们都落在正确范围内；另一种办法是修正上述的学习算法，使得每 一步不仅调整优胜者的权，同时也以一个小得多的η 值，修正所有其它的权。这样，对 于总是失败的单元，其权逐渐地朝着平均输入方向运动，最终也会在某一次竞争中取胜。 此外，还存在有多种处理死单元的方法，感兴趣的读者可从文献中找到更多的方法
另外一个问题是这一算法的收敛性。如果式(18)或(19)中反映学习效率的参数 取为一个固定常数,那么权向量永远不会真正在某一有限点集上稳定下来。因此,应 当考虑在公式中引进随学习时间而变化的收敛因子。例如,取n=n(1)=7 0<a≤1。这一因子的适当选取是极为重要的,η下降太慢,无疑增加了不必要工作 量,下降太快,则会使学习变得无效。 3.3LVQ方法 上述有竞争学习的一个最重要应用是数据压缩中的向量量子化方法( ector Quantization)。它的基本想法是,把一个给定的输入向量集合I3分成M个类别,然后 用类别指标来代表所有属于该类的向量。向量分量通常取连续值,一旦一组适当的类别 确定之后,代替传输或存储输入向量本身,可以只传输或存储它的类别指标。所有的类 别由M个所谓“原型向量”来表示,我们可以利用一般的欧氏距离,对每一个输入向 量找到最靠近的原型向量,作为它的类别。显然,这种分类方法可以通过有竞争的学习 直接得到。一旦学习过程结束,所有权向量的集合,便构成了一个“电码本”。 一般而言,上述无监督有竞争的学习,实际提供了一种聚类分析方法,对如蠓虫分 类这种有监督的问题并不适用。1989年, Kohonen对向量量子化方法加以修改,提出 了一种适用于有监督情况的学习方法,称为学习向量量子化( Learning vector Quantization),该方法可用于蠓虫分类问题。在有监督的情况下,学习样品的类别是事 先已知的,与此相应,每个输出单元所对应的类别也事先作了规定,但是,代表同一类 别的输出单元可以不止一个。 在LVQ中,对于任一输入向量,仍按无监督有竞争的方式选出优胜者,但权的 修正规则则依输入向量的类别与'所代表的是否一致而不同,确切地说,令 7(r7 一致情况 K业(A-n)-(:N 前一种情况,修正和无监督的学习一致,权朝向样品方向移动一小段距离:后一种 则相反,权向离开样品方向移动,这样就减少了错误分类的机会。 对于上述的蠓虫分类问题,我们编写 Matlab程序如下 c⊥ear p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08] p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 1.28,2.00;1.30,1.96] p=[p1;p2] pr=minmax (p) goal=[ones (1, 9), zeros(l, 6)i zeros(1, 9), ones(l, 6)1 net newlvq(pr, 4,[0.6,0.41) net train(net, p, goal) Y= sim(net, p) =[1.241.80;1.281.84;1.402.04] sim(net, x) 习题十九 利用BP算法及 sigmoid函数,研究以下各函数的逼近问题
-238- 另外一个问题是这一算法的收敛性。如果式（18）或（19）中反映学习效率的参数 η 取为一个固定常数，那么权向量永远不会真正在某一有限点集上稳定下来。因此，应 当考虑在公式中引进随学习时间而变化的收敛因子。例如，取 a t t − = = 0 η η( ) η ， 0 < a ≤ 1。这一因子的适当选取是极为重要的，η 下降太慢，无疑增加了不必要工作 量，η 下降太快，则会使学习变得无效。 3.3 LVQ 方法 上述有竞争学习的一个最重要应用是数据压缩中的向量量子化方法（Vector Quantization）。它的基本想法是，把一个给定的输入向量集合 s I 分成 M 个类别，然后 用类别指标来代表所有属于该类的向量。向量分量通常取连续值，一旦一组适当的类别 确定之后，代替传输或存储输入向量本身，可以只传输或存储它的类别指标。所有的类 别由 M 个所谓“原型向量”来表示，我们可以利用一般的欧氏距离，对每一个输入向 量找到最靠近的原型向量，作为它的类别。显然，这种分类方法可以通过有竞争的学习 直接得到。一旦学习过程结束，所有权向量的集合，便构成了一个“电码本”。 一般而言，上述无监督有竞争的学习，实际提供了一种聚类分析方法，对如蠓虫分 类这种有监督的问题并不适用。1989 年，Kohonen 对向量量子化方法加以修改，提出 了一种适用于有监督情况的学习方法，称为学习向量量子化（Learning Vector Quantization），该方法可用于蠓虫分类问题。在有监督的情况下，学习样品的类别是事 先已知的，与此相应，每个输出单元所对应的类别也事先作了规定，但是，代表同一类 别的输出单元可以不止一个。 在 LVQ 中，对于任一输入向量，仍按无监督有竞争的方式选出优胜者 * i ，但权的 修正规则则依输入向量的类别与 * i 所代表的是否一致而不同，确切地说，令 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − Δ = 不一致情况 一致情况 ( ) ( ) * * * i j s j i j s j i j I w I w w η η 前一种情况，修正和无监督的学习一致，权朝向样品方向移动一小段距离；后一种 则相反，权向离开样品方向移动，这样就减少了错误分类的机会。 对于上述的蠓虫分类问题，我们编写 Matlab 程序如下： clear p1=[1.24,1.27;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82;1.38,1.90; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]; p2=[1.14,1.82;1.18,1.96;1.20,1.86;1.26,2.00 1.28,2.00;1.30,1.96]; p=[p1;p2]' pr=minmax(p) goal=[ones(1,9),zeros(1,6);zeros(1,9),ones(1,6)] net = newlvq(pr,4,[0.6,0.4]) net = train(net,p,goal) Y = sim(net,p) x=[1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04]' sim(net,x) 习 题 十 九 1. 利用 BP 算法及 sigmoid 函数，研究以下各函数的逼近问题
(i) f(x) ≤x<100 (i)f(x)=sinx,0≤x≤ 对每一函数要完成如下工作: ①获取两组数据,一组作为训练集,一组作为测试集 ②利用训练集训练一个单隐层的网络;用测试集检验训练结果,改变隐层单元数, 研究它对逼近效果的影响。 2.给定待拟合的曲线形式为 ∫(x)=0.5+04sin(2mx) 在∫(x)上等间隔取11个点的数据,在此数据的输出值上加均值为0,均方差σ=0.05 的正态分布噪声作为给定训练数据,用多项式拟合此函数,分别取多项式的阶次为1 3和11阶,图示出拟合结果,并讨论多项式阶次对拟合结果的影响
-239- （i） , 1 100 1 ( ) = ≤ x ≤ x f x （ii） 2 ( ) sin , 0 π f x = x ≤ x ≤ 对每一函数要完成如下工作： ① 获取两组数据，一组作为训练集，一组作为测试集； ② 利用训练集训练一个单隐层的网络；用测试集检验训练结果，改变隐层单元数， 研究它对逼近效果的影响。 2. 给定待拟合的曲线形式为 f (x) = 0.5 + 0.4sin(2πx) 在 f (x)上等间隔取 11 个点的数据，在此数据的输出值上加均值为 0，均方差σ = 0.05 的正态分布噪声作为给定训练数据，用多项式拟合此函数，分别取多项式的阶次为 1， 3 和 11 阶，图示出拟合结果，并讨论多项式阶次对拟合结果的影响
