2017年考研数学三真题 选择题1-8小题.每小题4分,共32分. cOS 若函数f(x)={ax 在x=0处连续,则 0 (A) ab=n(B)ab-I (C)ab=0(d)ab=2 解】=/9=24加m2=21,厘m1()=b=/0,要使函数在x0处连 必须满足 b→ab 所以应该选(A) 2 2.二元函数二=xy(3-x-y)的极值点是() (A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【详解】=13-x-y)-x=3y-2xy-y2,2=3 =31一 y2=0 解方程组 ,得四个驻点.对每个驻点验证AC-B2,发现只有在点(,1)处满足 lay AC-B2=3>0,且A=C=-20,则 (A)f(1)>f(-1)(B)f(1)f(-1)(D)|f(1)0,也就是(f(x)是单调增加函数.也就得到 (f()>(f(-1)→f(1)>(-1),所以应该选(C) 4.若级数∑|sin-kln(1--)收敛,则k=( (B)2 (C)-1 (D)-2
1 2017 年考研数学三真题 一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1．若函数 1 cos , 0 ( ) , 0 x x f x ax b x − = 在 x = 0 处连续，则 （A） 1 2 ab = （B） 1 2 ab = − （C） ab = 0 （D） ab = 2 【详解】 0 0 0 1 1 cos 1 2 lim ( ) lim lim x x x 2 x x f x ax ax a → → → + + + − = = = ， 0 lim ( ) (0) x f x b f → − = = ，要使函数在 x = 0 处连续， 必须满足 1 1 2 2 b ab a = = ．所以应该选（A） 2．二元函数 z xy x y = − − (3 ) 的极值点是（ ） （A） (0,0) （B） ( , ) 0 3 （C） ( , ) 30 （D） ( , ) 11 【详解】 2 (3 ) 3 2 z y x y xy y xy y x = − − − = − − ， 2 3 2 z x x xy y = − − ， 2 2 2 2 2 2 2 , 2 , 3 2 z z z z y x x x y x y y x = − = − = = − 解方程组 2 2 3 2 0 3 2 0 z y xy y x z x x xy y = − − = = − − = ，得四个驻点．对每个驻点验证 2 AC B− ，发现只有在点 ( , ) 11 处满足 2 AC B− = 3 0 ，且 A C= = − 2 0 ，所以 ( , ) 11 为函数的极大值点，所以应该选（D） 3．设函数 f x( ) 是可导函数，且满足 f x f x ( ) ( ) 0 ，则 （A） f f (1) ( 1) − （B） f f ( ) ( ) 1 1 − （C） f f ( ) ( ) 1 1 − （D） f f ( ) ( ) 1 1 − 【详解】设 2 g x f x ( ) ( ( )) = ，则 g x f x f x ( ) 2 ( ) ( ) 0 = ，也就是 ( ) 2 f x( ) 是单调增加函数．也就得到 ( ) ( ) 2 2 f f f f (1) ( 1) (1) ( 1) − − ，所以应该选（C） 4． 若级数 2 1 1 sin ln(1 ) n k n n = − − 收敛，则 k = （ ） （A） 1 （B） 2 （C） −1 （D）−2
k 1 【详解】ⅳn→时sin--kln(1--)=--k (1+k)-+x-2 n n n 2(n 2 显然当且仅当(1+k)=0,也就是k=-1时,级数的一般项是关于一的二阶无穷小,级数收敛,从而选择 (C) 5.设a为n单位列向量,E为n阶单位矩阵,则 (A)E-aa7不可逆 (B)E+aQ不可逆 (C)E+2aa不可逆 (D)E-2a不可逆 【详解】矩阵aa的特征值为1和n-1个0,从而E-aa,E+aa,E-2aa,E+2aa的特征值分别 为0,1,1,…1:2,1,1…,1:-1,1,1,…,1;3,1,1,…,1.显然只有E-aα存在零特征值,所以不可逆,应 该选(A) 00 6.已知矩阵A=021,B=020,C=020,则 002 (A)A,C相似,B,C相似 (B)A,C相似,B,C不相似 (C)A,C不相似,B,C相似(D)A,C不相似,B,C不相似 【详解】矩阵A,B的特征值都是A1=λ2=2,λ=1.是否可对解化,只需要关心A=2的情况 000 对于矩阵A,2E-A=00 秩等于1,也就是矩阵A属于特征值λ=2存在两个线性无关的特 001 征向量,也就是可以对角化,也就是A~C 对于矩阵B,2E-B=000,秩等于2,也就是矩阵A属于特征值A=2只有一个线性无关的特 征向量,也就是不可以对角化,当然B,C不相似故选择(B) 7.设A,B,C是三个随机事件,且AC相互独立,B,C相互独立,则A∪B与C相互独立的充分必要 条件是() (A)A,B相互独立 (B)A,B互不相容 (C)AB,C相互独立(D)AB,C互不相容 【详解】
2 【详解】iv n → 时 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin ln(1 ) (1 ) 2 2 k k k o k o n n n n n n n n n − − = − − − + = + + 显然当且仅当 (1 ) 0 + = k ，也就是 k =−1 时，级数的一般项是关于 1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择 （C）． 5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则 （A） T E − 不可逆 （B） T E + 不可逆 （C） 2 T E + 不可逆 （D） 2 T E − 不可逆 【详解】矩阵 T 的特征值为 1 和 n−1 个 0 ，从而 , , 2 , 2 T T T T E E E E − + − + 的特征值分别 为 0,1,1, 1 ； 2,1,1, ,1 ；−1,1,1, ,1 ； 3,1,1, ,1．显然只有 T E − 存在零特征值，所以不可逆，应 该选（A）． 6．已知矩阵 200 0 2 1 0 0 1 A = ， 2 1 0 0 2 0 0 0 1 B = ， 100 0 2 0 0 0 2 C = ，则 （A） AC, 相似， BC, 相似 （B） AC, 相似， BC, 不相似 （C） AC, 不相似， BC, 相似 （D） AC, 不相似， BC, 不相似 【详解】矩阵 A B, 的特征值都是 1 2 3 = = = 2, 1．是否可对解化，只需要关心 = 2 的情况． 对于矩阵 A ， 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 E A − = − ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 = 2 存在两个线性无关的特 征向量，也就是可以对角化，也就是 A C~ ． 对于矩阵 B ， 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 E B − − = ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 = 2 只有一个线性无关的特 征向量，也就是不可以对角化，当然 BC, 不相似故选择（B）． 7．设 A B, ，C 是三个随机事件，且 AC, 相互独立， BC, 相互独立，则 A B 与 C 相互独立的充分必要 条件是（ ） （A） A B, 相互独立 （B） A B, 互不相容 （C） AB C, 相互独立 （D） AB C, 互不相容 【详解】
P((AUB)C)=P(AC +AB)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(ABC) P(AUB)P(C)=(P(A)+P(B)-P(AB)P(C)=P(AP(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C) 显然,A∪B与C相互独立的充分必要条件是P(ABC)=P(AB)P(C),所以选择(C) 8.设X1,X2…,X(m≥2)为来自正态总体N()的简单随机样本,若X=∑X,则下列结论中不 正确的是() A)∑(x-)2服从x2分布(B)2(Xn-X1)服从x2分布 (C)∑(X-X)服从x2分布(D)m(X-)3服从x2分布 解:(1)显然(X-)~N(0,1)→(X1-)2~2(1),=12,…m且相互独立,所以∑(x1-4)2服从 x2(m)分布,也就是(A)结论是正确的 2)2(x+xF2(0-19(13-x(),所以()轴结论也是正确的 (3)注意X~N(A,)→(x-p)~N(0.1)→m(x-1)2~x2(1),所以(D)结论也是正确的: X-X (4)对于选项(B):(Xn-X1)~N(0.,2)→ √~N0=2(x-X)-x(,所以(B)结 论是错误的,应该选择(B) 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) ∫(sm3x+√z-x)b 解:由对称性知sin3x+Vz2-x2d=2Vm2-x2t=z 10.差分方程y+-2y2=2的通解为 【详解】齐次差分方程y-2y=0的通解为y=C2; 设y-2y=2的特解为y=a2,代入方程,得a=1 所以差分方程y1-2y1=2的通解为y=C2+12 1l.设生产某产品的平均成本C(Q)=1+e,其中产量为Q,则边际成本为
3 P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + − = + − P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − = + − 显然， A B 与 C 相互独立的充分必要条件是 P ABC P AB P C ( ) ( ) ( ) = ，所以选择（C ）． 8．设 1 2 , , , ( 2) X X X n n 为来自正态总体 N( ,1) 的简单随机样本，若 1 1 n i i X X n = = ，则下列结论中不 正确的是（ ） （A） 2 1 ( ) n i i X = − 服从 2 分布 （B） ( ) 2 1 2 X X n − 服从 2 分布 （C） 2 1 ( ) n i i X X = − 服从 2 分布 （D） 2 n X( ) − 服从 2 分布 解：（1）显然 2 2 ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1), 1,2, X N X i n i i − − = 且相互独立，所以 2 1 ( ) n i i X = − 服从 2 ( ) n 分布，也就是（A）结论是正确的； （2） 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) ( 1) ~ ( 1) n i i n S X X n S n = − − = − = − ，所以（C）结论也是正确的； （3）注意 1 2 2 X N n X N n X ~ ( , ) ( ) ~ (0,1) ( ) ~ (1) n − − ，所以（D）结论也是正确的； （4）对于选项（B）： 1 2 2 1 1 1 ( ) ~ (0,2) ~ (0,1) ( ) ~ (1) 2 2 n n n X X X X N N X X − − − ，所以（B）结 论是错误的，应该选择（B） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9． 3 2 2 (sin ) x x dx − + − = ． 解：由对称性知 3 3 2 2 2 2 0 (sin ) 2 2 x x dx x dx − + − = − = ． 10．差分方程 1 2 2t t t y y + − = 的通解为 ． 【详解】齐次差分方程 1 2 0 t t y y + − = 的通解为 2 x y C= ； 设 1 2 2t t t y y + − = 的特解为 2 t t y at = ，代入方程，得 1 2 a = ； 所以差分方程 1 2 2t t t y y + − = 的通解为 1 2 2 . 2 t t y C t = + 11．设生产某产品的平均成本 ( ) 1 Q C Q e− = + ，其中产量为 Q ，则边际成本为
【详解】答案为1+(1-O)e-9. 平均成本C(Q)=1+e,则总成本为C(Q)=QC(Q)=Q+Qe,从而边际成本为 C(Q)=1+(1-ge° 12.设函数∫(x,y)具有一阶连续的偏导数,且已知d(x,y)=e'ax+x(1+y)e"d,f(0,0)=0,则 f(x,y)= 【详解】d(x,y)=ye'ax+x(1+y)'dy=d(xye"),所以f(x,y)=xye"+C,由f(0,0)=0,得C=0, 所以f(x,y)=xe 13.设矩阵A=112,a123为线性无关的三维列向量,则向量组Aa1,Aa2A的秩 0 为 01 10 【详解】对矩阵进行初等变换A=112)011)011,知矩阵A的秩为2,由于 011 011 000 a1,a2,3为线性无关,所以向量组Aa1,Ax2,Ax3的秩为2 14设随机变量x的概率分布为P(x=-2}=,P(x=1}=a,P(x=3}=b,若EX=0,则 DX 【详解】显然由概率分布的性质,知a+b+=1 EX=-2×-+1×a+3×b=a+3b-1=0,解得 b EX2=2+a+%、9 , DX=EX-E(Y= 三、解答题 15.(本题满分10分) 求极限lim 【详解】令x-1=l,则t=x-l,d=-dh,「√x-ted=[√ lue-dut = lim
4 【详解】答案为 1 (1 ) Q Q e− + − ． 平均成本 ( ) 1 Q C Q e− = + ，则总成本为 ( ) ( ) Q C Q QC Q Q Qe− = = + ，从而边际成本为 ( ) 1 (1 ) . Q C Q Q e− = + − 12．设函数 f x y ( , ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 ( , ) (1 ) y y df x y ye dx x y e dy = + + ， f (0,0) 0 = ，则 f x y ( , ) = 【详解】 ( , ) (1 ) ( ) y y y df x y ye dx x y e dy d xye = + + = ，所以 ( , ) y f x y xye C = + ，由 f (0,0) 0 = ，得 C = 0 ， 所以 ( , ) y f x y xye = ． 13．设矩阵 1 0 1 1 1 2 0 1 1 A = ， 1 2 3 , , 为线性无关的三维列向量，则向量组 1 2 3 A A A , , 的秩 为 ． 【详解】对矩阵进行初等变换 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 A = → → ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 1 2 3 , , 为线性无关，所以向量组 1 2 3 A A A , , 的秩为 2． 14．设随机变量 X 的概率分布为 1 2 2 P X = − = ， P X a = = 1 ， P X b = = 3 ，若 EX = 0 ，则 DX = ． 【详解】显然由概率分布的性质，知 1 1 2 a b + + = 1 2 1 3 3 1 0 2 EX a b a b = − + + = + − = ，解得 1 1 , 4 4 a b = = 2 9 2 9 2 EX a b = + + = ， 2 2 9 ( ) 2 DX EX E X = − = ． 三、解答题 15．（本题满分 10 分） 求极限 0 0 3 lim x t x x te dt x → + − 【详解】令 x t u − = ，则 t x u dt du = − = − , ， 0 0 x x t x u x te dt ue du − − = 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 2 lim lim lim lim 3 3 2 x x x t x u u x x x x x x te dt e ue du ue du x e x x x x + + + + − − − → → → → − = = = =
16.(本题满分10分) 计算积分 dhdy,其中D是第一象限中以曲线y=√x与x轴为边界的无界区域 (1+x2+y2) (1 n √r o (+r+yy dx 17.(本题满分10分) 求Im∑ k 【详解】由定积分的定义 i∑ln|1+ xIn(1+x)da n kel n [+x2 18.(本题满分10分) 已知方程 In(1+x)x =k在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围 【详解】设∫(x)= -,x∈(O,1),则 n(l+x x 1(1+x)ln2(1+x) (1+x)ln2(1+x)x2x2(1+x)ln2(1+x) 令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,则g(O)=0,g(1)=2ln22-1 g(x)=ln2(1+x)-2ln(1+x)-2x,g(0)=0 2(In(1+x)-x) g"(x) 1+x <0,x∈(0,1),所以g(x)在(0,1)上单调减少, 由于g(0)=0,所以当x∈(0,1)时,g(x)<g0)=0,也就是g(x)g'(x)在(O,1)上单调减少,当x∈(0,1) 时,g(x)<g(0)=0,进一步得到当x∈(0,1)时,f(x)<0,也就是f(x)在(O,1)上单调减少 lim f(x)=lin lim f(1) 也就是得到 1<k< 1-0((1+x)x)roxIn(+x)2
5 16．（本题满分 10 分） 计算积分 3 2 4 2 (1 ) D y dxdy + + x y ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x = 与 x 轴为边界的无界区域． 【详解】 3 3 2 4 2 2 4 2 0 0 2 4 2 4 2 0 0 2 2 0 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 4 (1 ) 1 1 1 2 1 4 1 1 2 8 2 x D x y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x + + + = + + + + + + = + + = − = − + + 17．（本题满分 10 分） 求 2 1 lim ln 1 n n k k k → = n n + 【详解】由定积分的定义 1 2 0 1 1 1 2 0 1 lim ln 1 lim ln 1 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 2 4 n n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx → → = = + = + = + = + = 18．（本题满分 10 分） 已知方程 1 1 ln(1 ) k x x − = + 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围． 【详解】设 1 1 ( ) , (0,1) ln(1 ) f x x x x = − + ，则 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 )ln (1 ) ( ) (1 )ln (1 ) (1 )ln (1 ) x x x f x x x x x x x + + − = − + = + + + + 令 2 2 g x x x x ( ) (1 )ln (1 ) = + + − ，则 2 g g (0) 0, (1) 2ln 2 1 = = − 2 g x x x x g ( ) ln (1 ) 2ln(1 ) 2 , (0) 0 = + − + − = 2(ln(1 ) ) ( ) 0, (0,1) 1 x x g x x x + − = + ，所以 g x ( ) 在 (0,1) 上单调减少， 由于 g (0) 0 = ，所以当 x(0,1) 时， g x g ( ) 0) 0 = ，也就是 g x( ) g x ( ) 在 (0,1) 上单调减少，当 x(0,1) 时， g x g ( ) (0) 0 = ，进一步得到当 x(0,1) 时， f x ( ) 0 ，也就是 f x( ) 在 (0,1) 上单调减少． 0 0 0 1 1 ln(1 ) 1 lim ( ) lim lim x x x ln(1 ) ln(1 ) 2 x x f x x x x x → → → + + + − + = − = = + + ， 1 (1) 1 ln 2 f = − ，也就是得到 1 1 1 ln 2 2 − k ．
19.(本题满分10分) 设a=1.4=0.an:=n+1(m+anX=123x,S(x)为幂级数∑x”的和函数 )证明∑anx的收敛半径不小于1 (2)证明(1-x)S'(x)-xS(x)=0(x∈(-1,1),并求出和函数的表达式 【详解】(1)由条件an+1=-,(man+an1)→(n+1)an1=nan+an n -ai 也就得到(n+1)(an1-an)=-(an-a),也就得到≌ ,n=1,2, an an+ -an a, =(-1) (n+1)! 也就得到an+1-an=(-1) n (n+1)! (an+1-an)+(an-an-1)+ P=加9=1+量…四=1,所以收效半径R21 (2)所以对于幂级数∑anx",由和函数的性质,可得S(x)=∑mnxm,所以 (1-x)S(x)=(1-x)2na,r"=2na,r"--2na,x ∑(m+1)an ∑anx=x∑anx"=xS(x) 也就是有(1-x)S(x)-xS(x)=0(x∈(-1,1) 解微分方程(1-x)S(x)-xS(x)=0,得S(x)= 由于S(0)=a=1,得C=1 所以S(x)
6 19．（本题满分 10 分） 设 0 1 1 1 1 1, 0, ( )( 1,2,3 ), 1 n n n a a a na a n n = = = + = + − + ， S x( ) 为幂级数 0 n n n a x = 的和函数 （1）证明 0 n n n a x = 的收敛半径不小于 1． （2）证明 (1 ) ( ) ( ) 0( ( 1,1)) − − = − x S x xS x x ，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) 1 n n n n n n a na a n a na a n + − + − = + + = + + 也就得到 1 1 ( 1)( ) ( ) n n n n n a a a a + − = − − + − ，也就得到 1 1 1 , 1, 2, 1 n n n n a a n a a n + − − = − = − + 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 ( 1) ( 1)! n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n + + − − − − − − − − = = − − − − − + 也就得到 1 1 1 ( 1) , 1,2, ( 1)! n n n a a n n + + − = − = + 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ! n k n n n n n k a a a a a a a a k + + + − = = − + − + + − + = − 1 1 1 lim lim lim 1 2! 3! ! n n n n n n n a e n → → → = + + + = ，所以收敛半径 R 1 （2）所以对于幂级数 0 n n n a x = ， 由和函数的性质，可得 1 1 ( ) n n n S x na x − = = ，所以 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 (1 ) ( ) (1 ) ( 1) (( 1) ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x S x x na x na x na x n a x na x a n a na x a x a x x a x xS x − − = = = + = = + = + − = = = − = − = − = + − = + + − = = = = 也就是有 (1 ) ( ) ( ) 0( ( 1,1)) − − = − x S x xS x x ． 解微分方程 (1 ) ( ) ( ) 0 − − = x S x xS x ，得 ( ) 1 x Ce S x x − = − ，由于 0 S a (0) 1 = = ，得 C =1 所以 ( ) 1 x e S x x − = − ．
20.(本题满分11分) 设三阶矩阵A=(a1,a2a3)有三个不同的特征值,且a3=a1+22 (1)证明:r(A)=2; (2)若B=a1+a2,a3,求方程组Ax=β的通解 【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A是非零矩阵,也就是r(A)≥1 假若r(A)=1时,则r=0是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有r(A)≥2,又因为 a3-a1+2a2=0,也就是a1,a2,a3线性相关,r(4)<3,也就只有r(A)=2 (2)因为r(A)=2,所以Ax=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于a3-ax1+2a2=0,所 以基础解系为x=2| 又由B=ax1+a2,a3,得非齐次方程组Ax=B的特解可取为1| 方程组Ax=B的通解为x=k2 ,其中k为任意常数 21.(本题满分11分) 设二次型f(x1,x2,x3)=2x2-x2+ax2+2xx2-8xx3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为 λ1y2+2y2,求a的值及一个正交矩阵Q 【详解】二次型矩阵A=1-11 因为二次型的标准形为λy2+λ2y2也就说明矩阵A有零特征值,所以4=0,故a=2 A-1-14 AE-4=11+11=(2+3)-6) 4 令E-4=0得矩阵的特征值为A=-3,A2=6,2=0
7 20．（本题满分 11 分） 设三阶矩阵 A = ( 1 2 3 , , ) 有三个不同的特征值，且 3 1 2 = + 2 . （1）证明： r A( ) 2 = ； （2）若 1 2 3 = + , ，求方程组 Ax = 的通解． 【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 r A( ) 1 ． 假 若 r A( ) 1 = 时，则 r = 0 是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 r A( ) 2 ，又因为 3 1 2 − + = 2 0 ，也就是 1 2 3 , , 线性相关， r A( ) 3 ，也就只有 r A( ) 2 = ． （2）因为 r A( ) 2 = ，所以 Ax = 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于 3 1 2 − + = 2 0 ，所 以基础解系为 1 2 1 x = − ； 又由 1 2 3 = + , ，得非齐次方程组 Ax = 的特解可取为 1 1 1 ； 方程组 Ax = 的通解为 1 1 2 1 1 1 x k = + − ，其中 k 为任意常数． 21．（本题满分 11 分） 设二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x x x x ( , , ) 2 2 8 2 = − + + − + 在 正 交 变 换 x Qy = 下 的标准形为 2 2 1 1 2 2 y y + ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q ． 【详解】二次型矩阵 2 1 4 1 1 1 4 1 A a − = − − 因为二次型的标准形为 2 2 1 1 2 2 y y + ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故 a = 2. 1 1 4 1 1 1 ( 3)( 6) 4 1 2 E A − − − = + = + − − − 令 E A− = 0 得矩阵的特征值为 1 2 3 = − = = 3, 6, 0 ．
通过分别解方程组(E-=0得矩阵的属于特征值=3的特征向量5=可/于特征值特 征值=6的特征向量5=0.=0的特征向量5=2, √3√√6 所以Q=(51252,53) √3 √6 为所求正交矩阵 √3√6 22.(本题满分11分) 设随机变量XY相互独立,且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=,Y的概率密度为 0<y<1 f(y)= 0,其他 (1)求概率P(Y≤EY (2)求Z=X+Y的概率密度 【详解】(1)E-“(y)=2yb=2 所以P≤EB)=P{y532=2db (2)Z=X+Y的分布函数为 Fi(=)=PZS==P(X+rs==PX+Ys=, X=0)+P(X+y=, X=2) P{X=0y≤}+P{X=2,y≤2-2} P{Y≤x}+P{Y≤z-2 [F(=)+F(2-2) 故Z=X+Y的概率密度为 f2(x)=F()=5[(x)+f(2-2 0≤z<1 z-2.2≤2<3 0,其他 23.(本题满分11分) 某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n次测量,该物体的质量4是已知的,设
8 通过分别解方程组 ( ) 0 iE A x − = 得矩阵的属于特征值 1 = −3 的特征向量 1 1 1 1 3 1 = − ，属于特征值特 征值 2 = 6 的特征向量 2 1 1 0 2 1 − = ， 3 = 0 的特征向量 3 1 1 2 6 1 = ， 所以 ( 1 2 3 ) 1 1 1 3 2 6 1 2 , , 0 3 6 1 1 1 3 2 6 Q − = = − 为所求正交矩阵． 22．（本题满分 11 分） 设 随 机变 量 X Y, 相 互独 立， 且 X 的 概率 分布 为 1 0 { 2} 2 P X P X = = = = ， Y 的 概 率 密度 为 2 ,0 1 ( ) 0, y y f y = 其他 ． （1）求概率 P Y EY （ ） ； （2）求 Z X Y = + 的概率密度． 【详解】（1） 1 2 0 2 ( ) 2 . 3 EY yf y dy y dy Y + − = = = 所以 2 3 0 2 4 2 . 3 9 P Y EY P Y ydy = = = （2） Z X Y = + 的分布函数为 ( ) , 0 , 2 0, 2, 2 1 1 { } 2 2 2 1 ( ) ( 2) 2 Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z = = + = + = + + = = = + = − = + − = + − 故 Z X Y = + 的概率密度为 1 ( ) ( ) ( ) ( 2) 2 , 0 1 2, 2 3 0, Z Z f z F z f z f z z z z z = = + − = − 其他 23．（本题满分 11 分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量 是已知的，设
n次测量结果X1X2…Xn相互独立且均服从正态分布N(Aa2)该工程师记录的是n次测量的绝对误 差Z=|Xx-(=12,…,m),利用Z,2…zn估计参数a (1)求Z1的概率密度 (2)利用一阶矩求a的矩估计量 (3)求参数σ最大似然估计量 【详解】(1)先求Z的分布函数为 F2()=P{2s}=PX-≤=P X- 当z0,i=1,2…Hn时 似然函数为L(G)=∏f(=,) (√2xa 取对数得:lnL()=n2-l(2a)-nlna-∑ 令 dInl(o) n x2=0,得参数最大似然估计量为 d
9 n 次测量结果 1 2 , , , X X X n 相互独立且均服从正态分布 2 N( , ). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误 差 ,( 1,2, , ) Z X i n i i = − = ，利用 1 2 , , , Z Z Z n 估计参数 ． （1）求 Zi 的概率密度； （2）利用一阶矩求 的矩估计量； （3）求参数 最大似然估计量． 【详解】（1）先求 Zi 的分布函数为 ( ) i Z i i X z F z P Z z P X z P − = = − = 当 z 0 时，显然 ( ) 0 F z Z = ； 当 z 0 时， ( ) 2 1 i Z i i X z z F z P Z z P X z P − = = − = = − ； 所以 Zi 的概率密度为 2 2 2 2 , 0 ( ) ( ) 2 0, 0 z Z Z e z f z F z z − = = ． （2）数学期望 2 2 2 0 0 2 2 ( ) 2 2 z EZ z f z dz ze dz i + + − = = = ， 令 1 1 n i i EZ Z Z n = = = ，解得 的矩估计量 1 2 2 2 2 n i i Z Z n = = = ． （3）设 1 2 , , , Z Z Z n 的观测值为 1 2 , , , n z z z ．当 0, 1,2, i z i n = 时 似然函数为 2 2 1 1 2 1 2 ( ) ( , ) ( 2 ) n i i n n z i n i L f z e = − = = = ， 取对数得： 2 2 1 1 ln ( ) ln 2 ln(2 ) ln 2 2 n i i n L n n z = = − − − 令 2 3 1 ln ( ) 1 0 n i i d L n z d = = − + = ，得参数 最大似然估计量为 2 1 1 n i i z n = = ．
