2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题(18小题每小题4分共32分,下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所 选项前的字母填在题后的括号内) 1、曲线y=x(x-1)x-2)(x-3)3(x-4)4的拐点是() A(1,0) 2设数列{n}单调减少,且lan=0,S=∑a无界,则幂级数∑a1(x-1y的收数域为() [02) 3、设函数f(x)具有二阶连续的导数,且∫(x)>0.f(0)=0。则函数z=hnf(x)f(y)在点 (0,0)处取得极小值的一个充分条件是() Af(0)>1f"(0)>0 (0)>1f"(0)0 Df(0)<1f(0)<0 4、设=[ In sin xdx j=[ In cot xdx K=[ In cos xdx,则IJK的大小关系 是() A<J<K I<K<J C J<I<K D K<J<I 5、设A为3阶矩阵,把A的第二列加到第一列得到矩阵B,再交换B的第二行与第3行得到单位阵E, 记P=110,P=001.则A=() A PP B PP C P2P d P2 P 6、设A=(ax1∝2a3a4)是4阶矩阵,为A的伴随矩阵。若(1010)y是Ax=0的一个基础解 系,则Ax=0的基础解系可为() 7、设F(x)F2(x)为两个分布函数,且连续函数f1(x)f2(x)为相应的概率密度,则必为概率密度 的是()
2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所 选项前的字母填在题后的括号内.) 1、 曲线 2 3 4 y = x(x −1)(x − 2) (x − 3) (x − 4) 的拐点是（ ） A （1，0） B （2，0） C （3 ，0） D （4，0） 2、设数列 an 单调减少，且 lim = 0 → n n a 。 = = n i Sn ai 1 无界，则幂级数 n n n a (x 1) 1 − = 的收敛域为（ ） A （−1 1] B [−1 1) C [0 2) D (0 2] 3、 设函数 f (x) 具有二阶连续的导数，且 f (x) 0 . f (0) = 0 。则函数 z = ln f (x) f ( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是（ ） A f (0) 1 f (0) 0 B f (0) 1 f (0) 0 C f (0) 1 f (0) 0 D f (0) 1 f (0) 0 4、设 = 4 0 ln sin I xdx = 4 0 ln cot J xdx = 4 0 ln cos K xdx ，则 I J K 的大小关系 是（ ） A I J K B I K J C J I K D K J I 5、设 A 为 3 阶矩阵，把 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第 3 行得到单位阵 E， 记 = 0 0 1 1 1 0 1 0 0 P1 ， = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 P2 ，则 A=（ ） A P1P2 B 2 1 P1 P − C P2P1 D 1 1 P2 P − 6、设 ( ) A = 1 2 3 4 是 4 阶矩阵， * A 为 A 的伴随矩阵。若 T (1,0,1,0) 是 Ax = 0 的一个基础解 系，则 0 * A x = 的基础解系可为（ ） A 1 3 B 1 2 C 1 2 3 D 2 3 4 7、设 ( ) ( ) 1 2 F x F x 为两个分布函数，且连续函数 ( ) ( ) 1 2 f x f x 为相应的概率密度，则必为概率密度 的是（ ）
A fI(xf2(x)B 2f2(x)F(x) C f(xF(x) D f(x)F2(x)+f2(x)F() 8设随机变量Xy相互独立,且EX,EY都存在,记U=mx{X,}=m{X,,则EU= AEU·EBEX· EY C EL·EY DEX·E 二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定的位置上。 曲ymM0xs2的长 10、微分方程y+y= e cos x满足条件y(0)=0的解为 a-F 11、设函数F(x,y) dt,则 1+t 设L是柱面方程x2+y2=1与平面二=x+y的交线,从z轴正向往二轴负向看去为逆时针方向, 则曲线积分xax+xd+c= 13、若二次曲面的方程x2+3y2+2+2axy+2x+2yz=4,经正交变换化为y2+y2=4 则 14、设二维随机变量(X,)~N(,H,a2,a2,0),则E(XY2)= 三、解答题:15-23小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤。 In(1+x) 15、(本题满分10分)求极限lm( 16、(本题满分9分) 设函数z=f(xy,yg(x),其中∫具有二阶连续的偏导数,函数g(x)可导且在x=1处取得极值 8(1)=1求-|=1 17、(本题满分10分) 求方程 karctanx-x=0的不同实根的个数,其中k为参数 18、(本题满分10分) 1、1 ①证明:对任意的正整数n,都有一,<h(1+-)<一成立: ②设an=1+一+ +-hn(n=1,2…),证明数列{an}收敛 19、(本题满分11分)
A ( ) ( ) 1 2 f x f x B 2 ( ) ( ) 2 1 f x F x C ( ) ( ) 1 2 f x F x D ( ) ( ) 1 2 f x F x + ( ) ( ) 2 1 f x F x 8、设随机变量 X ,Y 相互独立，且 EX , EY 都存在，记 U = maxX,YV = min X,Y ，则 EUV = （ ） A EU EV B EX EY C EU EY D EX EV 二、填空题：9—14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线 ) 4 tan (0 0 = y tdt x x 的弧长为_____________ 10、微分方程 y y e x x + = cos 满足条件 y(0) = 0 的解为________________ 11、设函数 dt t t F x y xy + = 0 2 1 sin ( , ) ，则 | ______________ 2 2 0 2 = = = y x x F 12、设 L 是柱面方程 1 2 2 x + y = 与平面 z = x + y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向， 则曲线积分 _________ 2 2 + + = dz y xzdx xdy L 13、若二次曲面的方程 3 2 2 2 4 2 2 2 x + y + z + axy + xz + yz = ，经正交变换化为 4 2 2 2 y1 + y = ， 则 a = _______ 14、设二维随机变量 ( , ) ~ ( , , , ,0) 2 2 X Y N ，则 ( ) ____________ 2 E XY = 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤。 15、（本题满分 10 分） 求极限 1 1 0 ) ln(1 ) lim ( − → + x e x x x 16、（本题满分 9 分） 设函数 z = f (xy, yg(x)) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数，函数 g(x) 可导且在 x =1 处取得极值 g(1) = 1.求 1 1 2 | = = y x x y z 17、（本题满分 10 分） 求方程 k arctan x − x = 0 的不同实根的个数，其中 k 为参数。 18、（本题满分 10 分） ①证明：对任意的正整数 n ，都有 n n n 1 ) 1 ln(1 1 1 + + 成立； ②设 ln ( 1,2......) 1 ............ 2 1 = 1+ + + − n n = n an ，证明数列 an 收敛. 19、（本题满分 11 分）
已知函数f(xy)具有二阶连续的偏导数,且f(L)=f(x1)=0(xyb=a,其中 D={xy10≤xs10≤y≤1计算二重积分x2(x,y)d 20、(本题满分11分) 设向量组a1=(0.1),a2=(0,11),a3=(1,3,5)不能由向量组B1=(1,) B2=(12,3),B3=(34,a)线性表示 (1)求a的值 (2)将B1,B2,B3用a1,a2,3线性表示 21、(本题满分11分) A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且A00 求(1)A的特征值与特征向量(2)矩阵A 22、(本题满分11分) 设随机变量X与Y的概率分布分别为 1/3 2/3 1/3 1/3 l/3 P{x2=y2}=1 求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布: (2)Z=XY的概率分布 (3)X与Y的相关系数pxy 23、(本题满分11分) 设X1,X2…Xn是来自正态总体N(A0,a2)的简单随机样本,其中山0已知,a2>0未知X,S2为 样本均值和样本方差 求(1)求参数O“的最大似然估计σ (2)计算Ea2和Da2
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续的偏导数，且 = = = D f (1, y) f (x,1) 0, f (x, y)dxdy a ，其中 D = (x, y)| 0 x 1,0 y 1 计算二重积分 D xy xyf (x, y)dxdy 20、（本题满分 11 分） 设 向 量 组 T (1,0,1) 1 = ， T (0,1,1) 2 = ， T (1,3,5) 3 = 不 能 由 向 量 组 T (1,1,1) 1 = ， T (1,2,3) 2 = ， T (3,4, a) 3 = 线性表示； （1） 求 a 的值； （2） 将 1 2 3 , , 用 1 2 3 , , 线性表示； 21、（本题满分 11 分） A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 − = 1 1 0 0 1 1 -1 1 0 0 1 1 A 求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵 A 22、（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 X 0 1 P 1 3 2 3 Y -1 0 1 P 1 3 1 3 1 3 且 1 2 2 P X = Y = 求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布； （2） Z = XY 的概率分布 （3）X 与 Y 的相关系数 XY 23、（本题满分 11 分） 设 X1 X2 Xn , 是来自正态总体 ( , ) 2 N 0 的简单随机样本，其中 0 已知， 0 2 未知. 2 X , S 为 样本均值和样本方差. 求（1）求参数 2 的最大似然估计 2 (2) 计算 E 2 和 D 2