2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学(三)试题 、选择题:1-8小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合 题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)设{x}是数列下列命题中不正确的是() (A)若 lim x=a,则 lim x=limx2n+1=a (B)若limx2n=limx2n=a,则 lim x=a (C)若 lim x=a,则limx=limx3 (D)若limx3n=limx3n+1=a,则lmxn=a (2)设函数f(x)在(-0,+∞)内连续其2阶导函数∫"(x)的图形如右图所示则 曲线y=f(x)的拐点个数为() y (A)0 (B)1 C)2 (D)3 (y设D={(xy)2+y22xx2+y2≤2y,函数(xy)在D上连续则 f(x, y)dx acos f(coso,rsinOydr+de f(rose, rsineydr
2015 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1)设 xn 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若 lim → n = n x a ,则 2 2 1 lim lim + → → n n = = n n x x a (B) 若 2 2 1 lim lim + → → n n = = n n x x a , 则 lim → n = n x a (C) 若 lim → n = n x a ,则 3 3 1 lim lim + → → n n = = n n x x a (D) 若 3 3 1 lim lim + → → n n = = n n x x a ,则 lim → n = n x a (2) 设函数 f x( ) 在 (− + , ) 内连续,其 2 阶导函数 f x ( ) 的图形如右图所示,则 曲线 y f x = ( ) 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 设 ( ) 2 2 2 2 D x y x y x x y y = + + , 2 , 2 ,函数 f x y ( , ) 在 D 上连续,则 ( , d d ) D f x y x y = ) (A) ( ) ( ) 2cos 2sin 4 2 0 0 0 4 d cos , sin d d cos , sin d f r r r r f r r r r + (B) ( ) ( ) 2sin 2cos 4 2 0 0 0 4 d cos , sin d d cos , sin d f r r r r f r r r r + (C) ( ) 2 1 0 1 1 2 d , d x x x f x y y − −
25 dx[/(x, y)dy (4)下列级数中发散的是() n (D)∑ n! 刀=2 In ()设矩阵A=|12a,b=d·若集合92={12},则线性方程组Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为:( (A)a∈9,d∈ (B)a∈,d∈g (C)a∈g,d∈Ω (D)a∈g,d∈s (6设二次型∫(x,x2,x)在正交变换x=P下的标准形为2y2+y2-y,其 中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2)则∫=(x1,x2,x3)在正交变换x=Qy下的 标准形为() (B)2y2+y2-3 C)2 (D)2y2+y2+y3 (7)若A,B为任意两个随机事件,则:() (A)P(AB)≤P(A)P(B) (B)P(AB)≥P()P(B) (C)P(AB)≤ P(A+P(B) (D)P(AB)≥ (4)+P(B (8)设总体X~B(mO),X,X2…,xn为来自该总体的简单随机样本,X为样 本均值则E|2(x-x) (A)(m-1)me(1-) (B)m(n-1)(1-) (C)(m-1)(n-1)(1-0) (D)mB(1-0)
(D) ( ) 2 1 2 0 2 d , d x x x x f x y y − (4) 下列级数中发散的是( ) (A) 1 3 n n n = (B) 1 1 1 ln(1 ) n n n = + (C) 2 ( 1) 1 ln n n n = − + (D) 1 ! n n n n = (5)设矩阵 2 1 1 1 1 2 1 4 a a = A , 2 1 d d = b .若集合 =1,2 ，则线性方程组 Ax b = 有无穷多解的充分必要条件为： ( ) (A) a d , (B) a d , (C) a d , (D) a d , (6) 设二次型 f x x x ( 1 2 3 , , ) 在正交变换 x Py = 下的标准形为 2 2 2 1 2 3 2y y y + − ，其 中 1 2 3 P e e e = ( , , ) ，若 1 3 2 Q e e e = − ( , , ) 则 1 2 3 f x x x = ( , , ) 在正交变换 x Qy = 下的 标准形为( ) (A) 2 2 2 1 2 3 2y y y − + (B) 2 2 2 1 2 3 2y y y + − (C) 222 1 2 3 2yyy − − (D) 222 1 2 3 2yyy + + (7) 若 A B, 为任意两个随机事件,则: ( ) (A) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (B) P AB P A P B ( ) ( ) ( ) (C) ( ) ( ) ( ) 2 + P A P B P AB (D) ( ) ( ) ( ) 2 + P A P B P AB (8) 设总体 X B m ~ , , ( ) 1 2 , , , X X X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样 本均值,则 ( ) 2 1 n i i E X X = − = ( ) (A) (m n − − 1 1 ) ( ) (B) m n( − − 1 1 ) ( ) (C) (m n − − − 1 1 1 )( ) ( ) (D) mn (1− )
填空题:9~14小题每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位置上 (9) lim In(cos x) →0x (10)设函数f(x)连续,o(x)=xf(r)d,若(1)=1,q(1)=5则f(1) (1)若函数二=(x))由方程e3+2=1确定,则dlon= (12)设函数y=y(x)是微分方程y"+y′-2y=0的解,且在x=0处取得极值3,则 y(x)= (13)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B=A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵,则行列 式B= (14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0,1,1;0),则P{XY-Y0时是 等价无穷小,求a,b,k的值 (16)(本题满分10分) 计算二重积分x(x+ydy,其中D=(x,y)2+y22,y≥x (17)(本题满分10分) 为了实现利润的最大化,厂商需要对某商品确定其定价模型,设O为该商品的需求量, P为价格,MC为边际成本,n为需求弹性(>0) ()证明定价模型为P= (I)若该商品的成本函数为C(Q)=1600+2,需求函数为Q=40-P,试由(1)中的定 价模型确定此商品的价格 (18)本题满分10分) 设函数f(x)在定义域/上的导数大于零,若对任意的x∈1,曲线y=f(x)在点
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 2 0 ln(cos ) lim __________ . x x → x = (10)设函数 f x( ) 连续， 2 0 ( ) ( )d , x x xf t t = 若 (1) 1, (1) 5, = = 则 f (1) ________. = (11)若函数 z z x y = ( , ) 由方程 2 3 e 1 x y z xyz + + + = 确定，则 (0,0) d _________. z = (12)设函数 y y x = ( ) 是微分方程 y y y + − = 2 0 的解，且在 x = 0 处取得极值 3，则 y x( ) ________. = (13)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2, 2,1 − ， 2 B A A E = − + , 其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列 式 B = ________. (14)设二维随机变量 ( , ) X Y 服从正态分布 N(1,0;1,1;0) ，则 P XY Y { 0} _________. − = 三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数 3 f x x a x bx x g x c kx ( ) ln(1 ) sin , ( ) = + + + = = .若 f x( ) 与 g x( ) 在 x →0 时是 等价无穷小，求 a b k , , 的值. (16)(本题满分 10 分) 计算二重积分 ( )d d D x x y x y + ，其中 2 2 2 D x y x y y x = + {( , ) 2, }. (17)(本题满分 10 分) 为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 Q 为该商品的需求量， P 为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性 ( 0) . (I) 证明定价模型为 1 1 MC P = − ； (II) 若该商品的成本函数为 2 C Q Q ( ) 1600 = + ，需求函数为 Q P = − 40 ，试由（I）中的定 价模型确定此商品的价格. (18)(本题满分 10 分) 设函数 f x( ) 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 0 x I ，曲线 y f x = ( ) 在点
x,f(x0)处的切线与直线x=x及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x) 表达式 (19)(本题满分10分) (I)设函数(x),v(x)可导,利用导数定义证明[u(x)v(x)=l'(x)v(x)+u(x)v(x) (I)设函数a1(x)2(x)…,ln(x)可导,f(x)=1(x)2(x)…un(x),写出f(x)的求导 公式 (20)(本题满分11分) a10 设矩阵A=1a-1,且A3=O 01 (I)求a的值: (II)若矩阵X满足X-X42-AX+AX42=E,其中E为3阶单位矩阵,求X (21)(本题满分11分) 02 设矩阵A=-13-3相似于矩阵B=0b0 0 (I)求a,b的值; (I1)求可逆矩阵P,使PAP为对角矩阵 (22)(本题满分11分) 2-ln2.x>0 设随机变量X的概率密度为f(x x≤0 对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y为观测次数(I)求Y 的概率分布; (ID)求E(Y) (23)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 6≤x≤1 f(x,0)={1-0 0,其他, 其中θ为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自该总体的简单随机样本 (1)求b的矩估计量 (I)求的最大似然估计量
0 0 ( , ( )) x f x 处的切线与直线 0 x x = 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f (0) 2 = ，求 f x( ) 表达式. (19)(本题满分 10 分) （I）设函数 u x v x ( ), ( ) 可导，利用导数定义证明 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); u x v x u x v x u x v x = + （II）设函数 1 2 ( ), ( ), , ( ) n u x u x u x 可导， 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n f x u x u x u x = ，写出 f x( ) 的求导 公式. (20) (本题满分 11 分) 设矩阵 1 0 1 1 0 1 a a a − A = ，且 3 A O= . (I) 求 a 的值； (II)若矩阵 X 满足 2 2 X XA AX AXA E − − + = ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X . (21) (本题满分 11 分) 设矩阵 0 2 3 1 3 3 1 2 a − = − − − A 相似于矩阵 1 2 0 0 0 0 3 1 b − B = . (I) 求 a b, 的值； （II）求可逆矩阵 P ，使 −1 P AP 为对角矩阵. (22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) 2 ln 2, 0 0, 0 x x f x x − = 对 X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数(I)求 Y 的概率分布； (II)求 E Y( ) . (23) (本题满分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 , 1, ( , ) , x f x = − 1 1 0 其他, 其中 为未知参数， 1 2 n X , X , , X 为来自该总体的简单随机样本. (I)求 的矩估计量； (II)求 的最大似然估计量