习题七 1.设X的分布律为, X|-10 概 216 率 求(1)EX,(2)E(-X+1),(3)E(x2),(4)Dx 解由随机变量ⅹ的分布律,得 -10 -X+121 1-212141 14 所以 E(X)=(-1)×2+0×+×+1×17+2x4 111 E(-X+1) (-1) 362612 E(X2)=1×2+0×-+×-+1×+4× 135 612424 D(x)=E(X2)-(E(X)2 24372 另外,也可根据数学期望的性质可得: E(-X+1)=-E(X)+1=-3+1 2设随机变量X服从参数为x(2>0)的泊松分布,且已知E(X-2X-3=2
习题七 1. 设 的分布律为， X -1 0 2 1 1 2 概 率 3 1 6 1 6 1 12 1 4 1 求（1） EX ，（2） E(−X +1) ，（3） ( ) 2 E X ，（4） DX 。 解 由随机变量 X 的分布律，得 X -1 0 1 2 1 2 -X+1 2 1 1 2 0 -1 X2 1 0 1 4 1 4 P 3 1 6 1 6 1 12 1 4 1 所以 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 0 1 2 3 6 2 6 12 4 3 E X = − + + + + = ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 0 ( 1) 3 6 2 6 12 4 3 E X− + = + + + + − = ( ) 2 1 1 1 1 1 1 35 1 0 1 4 3 6 4 6 12 4 24 E X = + + + + = 2 2 2 35 1 97 ( ) ( ) ( ( )) ( ) 24 3 72 D X E X E X = − = − = 另外，也可根据数学期望的性质可得： ( ) ( ) 1 2 1 1 1 3 3 E X E X − + = − + = − + = 2.设随机变量 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布，且已知 E(X − 2)(X −3) = 2， X
求的值。 解 E(x-2)x-3=E(x2-5x+6)=E(x)-5E(x)+6=2 o(x)+(E(x)-5(x)+6=2 2+2-5+4=0 3.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为 04,试求x2的数学期望E(x2) 解x~B(1004) 所以E(x)=10×04=4,D(x)=10×04×06=24 故E(x2)=D(x)+(E(x)2=2442-184 4.国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量,它在 [2000,40001(单位:吨)上服从均匀分布。若每售出一吨,可得外汇3万美元, 若销售不出而积压,则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源,才能使平 均收益最大? 解设随机变量Y表示平均收益(单位:万元),进货量为a吨 3X-(a-x) E(r)=5 (4x-a) dx+[ 2000 (-2a2+140008000 2000 要使得平均收益E()最大,所以 2a2+14000-800000=0 得a=3500(吨) 5.一台设备由三大部件构成,在设备运转过程中各部件需要调整的概率相 应为0.1,02,0.3,假设各部件的状态相互独立,以Ⅹ表示同时需要调整的部
求 的值。 解 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) ) ( ) 2 5 4 0 5 6 2 2 3 5 6 5 6 2 2 2 2 2 = + − + = + − + = − − = − + = − + = D X E X E X E X X E X X E X E X 3. 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为 0.4，试求 2 X 的数学期望 ( ) 2 E X 。 解 X ~ B(10,0.4) 所以 E(X) =100.4 = 4,D(X) =100.40.6 = 2.4 故 ( ) ( ) ( ( )) 2.4 4 18.4 2 2 2 E X = D X + E X = + = 4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量 X 是一个随机变量，它在 [2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇 3 万美元， 若销售不出而积压，则每吨需保养费 1 万美元。问应组织多少货源，才能使平 均收益最大？ 解 设随机变量 Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为 a 吨 Y= ( ) a X a X 3 3 − − x a x a 则 ( ) ( ) ( 2 14000 8000000) 2000 1 2000 1 3 2000 1 4 2 2000 4000 = − + − = − + a a E Y x a dx a dx a a 要使得平均收益 E(Y) 最大，所以 ( 2 14000 8000000) 0 2 = − a + a − 得 a = 3500 （吨） 5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相 应为 0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部
件数,试求X的数学期望E(x)和方差D(x) 解X的可能取值为0,1,2,3,有 P( X=0)=09×0.8×0.7=0.504 P(X=1)=0.1×0.8×07+0.9×02×07+0.9×08×0.3=0398 P(X=2)=0102×0.7+09×02×0.3+0.1×0.8×03=092 P(X=3)=0.1×02×03=0006 所以X的分布律为 X 0 Pr0.04039800920006 E(x)=0×0.504+1×0.398+2×092+3×0006=06 E(x2)=02×0.504+12×0.398+22×0092+32×006=0.82 D(x)=082-(06)=046 6.设X的密度函数为/()=1e+,求(1)E(x);(2)E(x) 解(1)E(x)= 注:求解(1)时利用被积函数是奇函数的性质,求解(2)时化简为xed 可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩 7.某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)= 2(1-x),0<x<1 求EX 0其他 解(1)E(x)=x20-x)x= )E(x2)=「 故D(X)=E(x2)-(E(X)2=2-()2 6318 8.设随机变量X的密度函数为
件数，试求 X 的数学期望 E(X ) 和方差 D(X)。 解 X 的可能取值为 0，1，2，3，有 ( ) ( ) ( ) ( 3) 0.1 0.2 0.3 0.006 2 0.1 0.2 0.7 0.9 0.2 0.3 0.1 0.8 0.3 0.092 1 0.1 0.8 0.7 0.9 0.2 0.7 0.9 0.8 0.3 0.398 0 0.9 0.8 0.7 0.504 = = = = = + + = = = + + = = = = P X P X P X P X 所以 X 的分布律为 X 0 1 2 3 Pr 0.504 0.398 0.092 0.006 ( ) ( ) ( ) 0.82 (0.6) 0.46 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 0.82 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 0.6 2 2 2 2 2 2 = − = = + + + = = + + + = D X E X E X 6. 设 X 的密度函数为 ( ) x f x e − = 2 1 ，求（1） E(X ) ；（2） ( ) 2 E X 。 解 （1） ( ) + − − = = 0 2 1 E X x e dx x （2） ( ) + − − + − = = = 0 2 2 2 2 2 1 2 2 1 E X x e dx x e dx x x 注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为 + − 0 2 x e dx x 可以看成为是服从参数为 1 的指数分布随机变量的二阶原点矩。 7. 某商店经销商品的利润率 的密度函数为 − = 0 2(1 x) 其他 ,0 x 1 ，求 , DX 。 解 （1） ( ) 1 0 1 2(1 ) 3 E X x x dx = − = （2） ( ) 1 2 2 0 1 2(1 ) 6 E X x x dx = − = 故 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ) 6 3 18 D X E X E X = − = − = 8. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) = x e − x 0 0 x 0 X f (x) EX
求E(x)、E(2x)、B(x+e2)、D(x) 解 E(X E(2X)=2E(X)=2 E(x+c-)=(x)+(2)eh!-h=+ E(X)=edx=2 D(X)=E(x2)-(E(x)=1 9.设随机变量(X,H)的联合分布律为 XIY 0 1 0030.2 0.40.1 求E(x)、E()、E(X-2y)、E(3X)、D(X)、D(x)、cov(X,y)、pxy 解关于X与Y的边缘分布律分别为 X01 Y|0 Pr|0.50.5 Pr0.70.3 E(X)=0×05+1×05=05 E X2)=02×05+12×05=0.5 D(x)=0.5-(0.5)2=025 E(Y)=0×07+1×0.3=03 2)=02×0.7+12×0.3=0.3 D(Y)=0.3-(03)2=021 E(X-2)=E(x)-2E()=0.5-2×0.3=-0 E(3X)=3E()=3(0×0×03+0×1×02+1×0×04+1×1×0.1)=3×0.1=0.3 cov(X,)=E(XY)-E(x)E(x)=01-0.5×03=-005 cov(Xx,)_-005√2 D(X)√D(Y 025√021 10.设随机变量X,Y相互独立,它们的密度函数分别为 f(x)于 2 x>0 0 ≤0 0 y≤0 求D(X+y)
求 E(X )、 E(2X )、 ( ) X E X e −2 + 、D(X)。 解 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 x E X xe dx E X E X + − = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 2 2 2 3 0 0 2 2 0 2 2 1 4 1 1 1 3 3 2 1 X X x x x x E X e E X E e e e dx e dx E X x e dx D X E X E X + + − − − − − + − + = + = + = + = + = = = = − = 9. 设随机变量 (X,Y) 的联合分布律为 X\Y 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求 E(X )、 E(Y)、E(X − 2Y)、E(3XY)、D(X)、D(Y)、cov(X,Y)、 X ,Y 。 解 关于 X 与 Y 的边缘分布律分别为： X 0 1 Y 0 1 Pr 0.5 0.5 Pr 0.7 0.3 E(X) = 00.5+10.5 = 0.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 21 0.25 0.21 cov , 0.05 cov , 0.1 0.5 0.3 0.05 3 3 3 0 0 0.3 0 1 0.2 1 0 0.4 1 1 0.1 3 0.1 0.3 2 2 0.5 2 0.3 0.1 0.3 0.3 0.21 0 0.7 1 0.3 0.3 0 0.7 1 0.3 0.3 0.5 0.5 0.25 0 0.5 1 0.5 0.5 , 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = = = − = − = − = = + + + = = − = − = − = − = − = = + = = + = = − = = + = D X D Y X Y X Y E XY E X E Y E XY E XY E X Y E X E Y D Y E Y E Y D X E X X Y 10. 设随机变量 X,Y 相互独立，它们的密度函数分别为 f X (x) = 0 2 2x e − 0 0 x x f Y (y) = 0 4 4 y e − 0 0 y y 求 D(X +Y)
解x-E(2),所以D(x)=1=1, Y~E(4),所以D(x) X,Y相互独立,所以 D(x+y)=D(x)+D()=35
解 X ~ E(2) ，所以 ( ) 4 1 2 1 2 D X = = ， Y ~ E(4) ，所以 ( ) 16 1 4 1 2 D Y = = ， X,Y 相互独立，所以 ( ) ( ) ( ) 16 5 D X + Y = D X + D Y =