延安大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（习题与答案）第三章 随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征 (一)基本内容 维随机变量的数学期望 定义1:设X是一离散型随机变量,其分布列为: X xI Pp(x1)p(x2)…p(x) 则随机变量X的数学期望为:E(x)=∑x八(x) 定义2:设X是一连续型随机变量,其分布密度为f(x) 则随机变量X的数学期望为E(x)=f(x)k

1 定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为： 则随机变量X 的数学期望为: X x1 p(x1 ) x2 p(xi)  xi  P p(x2 )  设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x, 则随机变量X的数学期望为 一、一维随机变量的数学期望 定义2： 第三章 随机变量的数字特征 （一）基本内容

二、二维随机变量的数学期望 (1)设二维离散随机变量(X的联合概率函数为p(x,y),则 随机变量X及Y的数学期望分别定义如下: E(x)=∑∑xp(x,),E(y)=∑∑y以(x,y) 即:(x)∑xn1(x),E()=∑m( 假定级数是绝对收敛的 (2)设二维连续随机变量(X,的联合概率密度为f(x,y),则 随机变量X及Y的数学期望分别定义如下: E(x)=J。f(x,yxd,E()=上。y(,y)d 即:E(x)=」。可xk,E)=(地 假定积分是绝对收敛的

2 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： 即： 假定级数是绝对收敛的. 假定积分是绝对收敛的. 二、二维随机变量的数学期望 即：

维随机变量函数的数学期望 (1)设离散型随机变量X的概率分布为: 2 dn P(X=xi) P(xi)p(x2) p(n) 则定义随机变量函数Y=g(X)的数学期望为: EY=Eg(x)=∑(x)n(x) (2)若X为连续型随机变量,其概率密度为f(x)则定义随 机变量函数Y=g(X)数学期望为 EY=Eg(x)=g(x)r()dx

3 则定义随机变量函数 Y  gX  的数学期望为： X x1 p(x1 ) x2  xn  P(X  xi) p(x2 )  p(xn )  （1）设离散型随机变量X 的概率分布为： 三、一维随机变量函数的数学期望 机变量函数Y  gX 的数学期望为： （2）若X为连续型随机变量，其概率密度为 f x, 则定义随

四、二维随机变量的函数的数学期望 (1)设二维离散随机变量(X,)的联合概率函数为p(x,y),则 随机变量函数g(X,Y的数学期望如下: Eg(x,1)=∑∑(x,yp(x,y) 假定这个级数是绝对收敛的 (2)设二维连续随机变量(X,Y的联合概率密度为八x,y),则 随机变量g(X,Y)的数学期望如下 假定这个积分是绝对收敛的

4 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量g(X,Y)的数学期望如下： 假定这个级数是绝对收敛的. 假定这个积分是绝对收敛的. 四、二维随机变量的函数的数学期望

五、关于数学期望的定理 定理1E(a+bx)=a+bEX 推论(1)Ea=a (2) Ela+X=a+EX (3)E(6X)=bEX 定理2E(X+)=E(x)+E(y) 推论:E∑X∑Ex 定理3若X、Y独立,则有:E(XY)=E(x)() 推论若X,X2,…,X,相互独立,则E∏x|=IEX i=1

5 五、关于数学期望的定理 定理1 推论 （1） （2） （3） 定理2 推论： 定理3 若X、Y 独立，则有： 推论 若X1 , X 2 ,, X n相互独立，则

六、方差与标准差 定义x的方差:Dx=E(x-EX 定义X的标准差:ox=√DX 若X为离散型随机变量,则有(x)=∑(x-EX)n i=1 若X为连续型随机变量,则有D(x)=。(x-Exy(x) 方差的计算公式:DX=E(x2)[E(x 有关方差的定理:定理1D(aX+b)=a2DX 推论:Db=0;D(X+b)=DX;D(aX)=a2DX

6 定义 定义 X 的标准差： X 的方差： 若X 为离散型随机变量，则有 若X 为连续型随机变量，则有 方差的计算公式: 定理1 推论： 有关方差的定理： 六、方差与标准差

定理2:若X与Y独立,D(X+)=DX+DY 推论:D∑X=∑D(x) i=1 七、某些常用分布的数学期望及方差 0-1分布:EX=D,DX=P二项分布:EX=p,DX=npq Poisson分布EX=4,DX=几何分布:EX DY-9 P 均匀分布:EX 2,DY(b-a)2 a+b 12 指数分布:EX DX

7 定理2： 若X与Y 独立， 推论： 七、某些常用分布的数学期望及方差 0 -1分布：EX  p, DX  pq 二项分布：EX  np, DX  npq EX   , DX   几何分布: 2 p q , DX  1 p EX  12 ( ) 2 b a DX  ,  2 a b EX  均匀分布:  , 1  EX  2 1  指数分布: DX  Poisson分布

二维随机变量的方差: 离散型随机变量(X,) D(x)=∑x,-EN)n(x)=∑∑(x1-Ex)x,) D(y)=∑(;-EY)n2(v)=∑∑U-Ey)x,) 连续型随机变量(X,Y) DX=M(x-EX) x(x dx ∫∫。(x-EX)f(x,y)d Dy=(y-EY)fr(dy ∫。∫(-Ey)f(x,y)d

8    , . 2 i j i j j  y  EY p x y    , , 2 i j i j i  x  EX p x y        j i Y j y EY p y 2 DX     X i i i   x  EX p x 2 DY 二维随机变量的方差：               , , 2 x EX f x y dxdy               , . 2 y EY f x y dxdy        DY  y  EY f y dy Y 2        DX  x  EX f x dx X 2 连续型随机变量 离散型随机变量

八、原点矩与中心矩 定义1:随机变量x的k阶原点矩:v(x)=E(x) 其中k为正整数。特别的,v1=EX 对于离散随机变量:v(X)=∑xp(x) 对于连续随机变量:v4(X)=「x5f(x)dx 定义2:X的阶中心矩:A(x)=E{x-E(x)} 特别的,H1=0;p2=DX 对于离散随机变量:AA(X)=∑[x,-E(X)4p(x) 对于连续随机变量:4(X)=「x-E(X)]f(x)d

9  1  EX 定义1： 随机变量X 的 k 阶原点矩： 定义2： X 的k 阶中心矩： 0; 1   2  DX 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 其中k为正整数。特别的， 特别的， 八、原点矩与中心矩

九、协方差与相关系数 1、X与Y的协方差(或相关矩): 定义cov(X,Y)=E{X-E(X)Y-E(Y) 注()离散型随机变量: coy(x,)=∑∑(x;-EXMv-EY)n(x,y (2)连续型随机变量: cOIX ∫r。(x-ExXU-EP)(,)d 定理1cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 定理2若X与Y独立,则:cov(X,Y)=0.逆命题不成立。 注设X与Y是任两个随机变量, D(X +Y=D(X)+D()+2cov(X,Y

10              cov X,Y  x  EX y  EY f x, y dxdy. ⑴ 离散型随机变量： ⑵ 连续型随机变量： 1、X与Y 的协方差（或相关矩）： 定义 注 cov  ,           , . i j i j i j X Y x EX y EY p x y 九、协方差与相关系数 定理1 定理2 若X与Y 独立，则： 注 设X与Y是任两个随机变量， 逆命题不成立