2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分下列每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)若lim-(--ae2=1,则a等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2)设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)x的两个特解,若常数元, l使Ay1+y2是该方程的解,Ay1-l0y2是该方程对应的齐次方程的解,则() (A)=-,= (B)A= 2 2 (C)=2,=1 (D)A= (3)设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且g(x)0 (C)f(a)0 (4)设f(x)=ln"x,g(x)=x,h(x)=e0,则当x充分大时有() (A)g(x)s (C)若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s(D)若向量组Ⅱ线性相关,则r>s 6)设A为4阶实对称矩阵,且A2+A=0,若A的秩为3,则A相似于
2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 若 0 1 1 lim ( ) 1 x x a e → x x − − = ，则 a 等于 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 (2) 设 1 y ， 2 y 是一阶线性非齐次微分方程 ' y p x y q x x + = ( ) ( ) 的两个特解，若常数 ， u 使 1 2 y uy + 是该方程的解， 1 2 y uy − 是该方程对应的齐次方程的解，则（） （A） 1 1 2 2 = = ， （B） 1 1 2 2 = − = − ， （C） 2 1 3 3 = = ， （D） 2 2 3 3 = = ， (3) 设函数 f x( ) , g x( ) 具有二阶导数，且 " g x( ) 0 。若 0 g x a ( )= 是 g x( ) 的极值，则 f g x ( ) 在 0 x 取极大值的一个充分条件是（） （A） ' f a( ) 0 （B） ' f a( ) 0 （C） " f a( ) 0 （D） " f a( ) 0 (4) 设 10 f x x ( ) ln = ， g x x ( ) = , 10 ( ) x h x e = ,则当 x 充分大时有（） （A） g x h x f x ( ) ( ) ( ) （B） h x g x f x ( ) ( ) ( ) （C） f x g x h x ( ) ( ) ( ) （D） g x f x h x ( ) ( ) ( ) (5) 设向量组Ⅰ： 1 2 ， ， r 可由向量组Ⅱ： 1 2 ， ， s 线性表示，下列命题正确 的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （B）若向量组Ⅰ线性相关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s （D）若向量组Ⅱ线性相关，则 r s (6) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 2 A A + = 0,若 A 的秩为 3，则 A 相似于
(B) 0 0 0,b>0)为概率密度,则a,b应满足 bf(x)x> (A)2a+3b=4 (B) (C)a+b=1 (D)a+b=2 、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (10)设位于曲线y= (e≤x<+∞)下方,x轴上方的无界区域为G,则G vx(1+Inx) 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是 (1)设某商品的收益函数为R(p),收益弹性为1+p3,其中p为价格,且R(1)=1, 则R(p) (12)若曲线y=x2+ax2+bx+1有拐点(-1,0),则b 3)设A,B为3阶矩阵,且4=3,|B=2,|2+B=2,则A+B|=
（A） 1 1 1 0 （B） 1 1 1 0 − （C） 1 1 1 0 − − （D） 1 1 1 0 − − − (7) 设随机变量的分布函数 0 0 1 ( ) 0 1 2 1 1 x x F x x e x − = − ，则 P X = = 1 （A）0 （B） 1 2 （C） 1 1 2 e − − （D） 1 1 e − − (8) 设 1 f x( ) 为标准正态分布的概率密度， 2 f x( ) 为 −1,3 上的均匀分布的概率密度， 若 1 2 ( ) 0 ( ) ( 0, 0) ( ) 0 af x x f x a b bf x x = 为概率密度，则 a b, 应满足 （A） 2 3 4 a b + = （B） 3 2 4 a b + = （C） a b + =1 （D） a b + = 2 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数 y y x = ( ) 由方程 2 2 0 0 sin x y x t e dt x t dt + − = 确定，则 x 0 dy dx = = ______. (10) 设位于曲线 2 1 ( ) (1 ln ) y e x x x = + + 下方， x 轴上方的无界区域为 G ,则 G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积是______. (11) 设某商品的收益函数为 R p( ) ，收益弹性为 3 1+ p ，其中 p 为价格，且 R(1) 1 = ， 则 R p( ) =______. (12) 若曲线 3 2 y x ax bx = + + +1 有拐点 ( 1, 0) − ,则 b = ______. (13) 设 A ，B 为 3 阶矩阵，且 A = 3， B = 2 ， 1 A B 2 − + = ，则 1 A B− + = ______
(14)设x,x2,xn为来自整体N(Aa2)(a>0)的简单随机样本,记统计量 X2,则ET 三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分10分) 求极限lm(xx-1)x (16)(本题满分10分) 计算二重积分(x+y)adod,其中D由曲线x=+y2与直线x+√2y=0及 √2y=0围成。 (17)(本题满分10分) 求函数u=xy+2y在约束条件x2+y2+22=10下的最大值和最小值 (18)(本题满分10分) (1)比较「m[m+)d与rnt(m=12,)的大小,说明理由 (Ⅱ)设=「hm(+ah(m=12…),求极限lmn (19)(本题满分10分) 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=f(x)x=f(2)+f(3), (I)证明:存在n∈(0,2),使f(7)=f(0) (Ⅱ)证明:存在ξ∈(0,3),使∫()=0 (20)(本题满分11分) 设A=0A-10,b 已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解 (Ⅰ)求λ
(14) 设 1 x ， 2 x ， n x 为来自整体 2 N( , )( 0) 的简单随机 样本，记统 计量 2 1 1 n i i T X n = = ，则 ET = ______. 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分) 求极限 1 1 ln lim ( 1) x x x x →+ − (16) (本题满分 10 分) 计算二重积分 3 ( ) D x y dxdy + ，其中 D 由曲线 2 x y = +1 与直线 x y + = 2 0 及 x y − = 2 0 围成。 (17) (本题满分 10 分) 求函数 u xy yz = + 2 在约束条件 2 2 2 x y z + + =10 下的最大值和最小值 (18) (本题满分 10 分) （Ⅰ）比较 1 0 ln ln(1 ) n t t dt + 与 1 0 ln n t t dt ( 1, 2, ) n = 的大小，说明理由 （Ⅱ）设 1 0 ln ln(1 ) n n u t t dt = + ( 1, 2, ) n = ，求极限 lim n n u → (19) (本题满分 10 分) 设函数 f x( ) 在 0,3 上 连 续 ， 在 (0,3) 内 存 在 二 阶 导 数 ， 且 2 0 2 (0) ( ) (2)+ (3) f f x dx f f = = ， （Ⅰ）证明：存在 (0, 2) ，使 f f ( ) (0) = （Ⅱ）证明：存在 (0,3) ，使 " f ( ) 0 = (20) (本题满分 11 分) 设 1 1 0 1 0 1 1 A = − ， 1 1 a b = 已知线性方程组 Ax b = 存在 2 个不同的解 （Ⅰ）求 ， a
(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解 (21)(本题满分11分) 0-14 设A=-13a,正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵,若Q的第1列为 0 √6 (1,2,1),求a,Q (22)(本题满分11分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=Ae2+2y-) 0<x<+,-0<y<+∞0,求常数A及条件概率密度f(yx) (23)(本题满分11分) 箱内有6个球,其中红,白,黑球的个数分别为1,2,3,现在从箱中随机的取出2个 球,设X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数, (I)求随机变量(x,Y)的概率分布 (Ⅱ)求Cov(X,Y)
（Ⅱ）求方程组 Ax b = 的通解 (21) (本题满分 11 分) 设 0 1 4 1 3 4 0 A a a − = − ，正交矩阵 Q 使得 T Q AQ 为对角矩阵，若 Q 的第 1 列为 1 (1, 2,1) 6 T ,求 a，Q (22) (本题满分 11 分) 设 二 维 随 机 变 量 ( ) X Y ， 的 概 率 密 度 为 2 2 2 2 ( ) x xy y f x y Ae− + − ， = ， − + x , − + y ,求常数 A 及条件概率密度 ( ) Y X f y x (23) (本题满分 11 分) 箱内有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 1，2，3，现在从箱中随机的取出 2 个 球，设 X 为取出的红球个数， Y 为取出的白球个数， （Ⅰ）求随机变量 ( ) X Y ， 的概率分布 （Ⅱ）求 Cov X Y ( )