2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题1~8小题每小题4分共32分下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合 题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1)下列曲线有渐近线的是 (A)y=x+sin x (B)y=x+sinx (C)y=x+sin- (D)y=x+sin- (2)设函数∫(x)具有二阶导数,g(x)=f(0(1-x)+f(1)x,则在区间[O,上() (A)当f(x)≥0时,f(x)≥g(x) (B)当f(x)≥0时,f(x)≤g(x) (C)当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x) (D)当∫"(x)≥0时,f(x)≤g(x) ()设(x)是连续函数,则∫小(xy)= (厂1(xyb+fx So drfo /(x, y)dy+ dx e/(x,ydy (c)2deloso-sine f(rcos e, rsin 0)dr+2 def./(rcose,sine)dr 2delcsesine f(rcos e, r sin O)rdr+sdefof(coso,sine)rdr (4)*[(x-a, cos x-b sinx)'dx=min[(x-acosx-bsinx)'dx,qu a, cos x+b, sinx=y+xi 2+x2y+6 (A)sinx (B)2 cosx (C)sinx b 0 式 do Al (B)(ad-bc) (D)b'c2-a'd2
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y x x = + sin (B) 2 y x x = +sin (C) 1 y x sin x = + (D) 2 1 y x sin x = + (2) 设函数 f x( ) 具有二阶导数， g x f x f x ( ) (0)(1 ) (1) = − + ，则在区间 [0,1] 上 ( ) (A) 当 f x ( ) 0 时， f x g x ( ) ( ) (B) 当 f x ( ) 0 时， f x g x ( ) ( ) (C) 当 f x ( ) 0 时， f x g x ( ) ( ) (D) 当 f x ( ) 0 时， f x g x ( ) ( ) (3) 设 f x( ) 是连续函数，则 2 1 1 0 1 ( , ) y y dy f x y dx − − − = ( ) (A) 2 1 1 0 1 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − − − + (B) 2 1 1 0 0 0 0 1 1 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − − − − + (C) 1 1 2 cos sin 0 0 0 2 d f r r dr d f r r dr ( cos , sin ) ( cos , sin ) + + (D) 1 1 2 cos sin 0 0 0 2 d f r r rdr d f r r rdr ( cos , sin ) ( cos , sin ) + + (4) 若 π π 2 2 1 1 -π , -π ( cos sin ) min ( cos sin ) a b R x a x b x dx x a x b x dx − − = − − ，则 1 1 a x b x cos sin + = 3 2 2 y xy x y + + + = 6 0 ( ) (A) 2sin x (B) 2cos x (C) 2 sin x (D) 2 cos x (5) 行列式 0 0 0 0 0 0 0 0 a b a b c d c d = ( ) (A) 2 ( ) ad bc − (B) 2 − − ( ) ad bc (C) 2 2 2 2 a d b c − (D) 2 2 2 2 b c a d −
(6)设a1,a2,a3均为三维向量,则对任意常数k,l,向量组a1+ka3,a2+la2线性无关是向量 B=( aaa 性 (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 (7)设随机事件A与B相互独立,且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=() (A)0.1 (B)02 (C)03 (D)04 (8)设连续性随机变量X1与X2相互独立,且方差均存在,X1与X2的概率密度分别为 f(x)与 f2(x),随机变量H的概率密度为f1(y)=L1(0)+f2(y),随机变量y2=(x1+X2), (A) EY>EY,, DY>DY, (B)EY=EY, DY= DY (C) EY=EY, DY DY 、填空题:9~14小题每小题4分共24分请将答案写在答题纸指定位置上 (9)曲面z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为 (10)设∫(x)是周期为4的可导奇函数,且∫(x)=2(x-1),x∈[0,2],则 f(7) (1)微分方程x+y(nx-lny)=0满足条件y(1)=e的解为y (12)设L是柱面x2+y2=1与平面y+z=0的交线,从Ax=0轴正向往z轴负向看去为逆 时针方向,则曲线积分zx+yz (13)设二次型∫(x,x2,x)=x2-x2+2axx2+4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围 (14)设总体X的概率密度为f(x,O)=1302 ,6<x<26, 其中b是未知参数 0,其他
(6) 设 1 2 3 a a a , , 均为三维向量，则对任意常数 kl, ,向量组 1 3 a ka + , 2 3 a la + 线性无关是向量 组 B = ( 1 2 3 ) 线性无关的 ( ) (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 (7) 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P B( ) 0.5 = ，P A B ( ) 0.3 − = ，则 P B A ( ) − = ( ) (A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4 (8) 设连续性随机变量 X1 与 X2 相互独立，且方差均存在， X1 与 X2 的概率密度分别为 1 f x( ) 与 2 f x( ) ，随机变量 Y1 的概率密度为 1 1 2 1 ( ) [ ( ) ( )] 2 Y f y f y f y = + ，随机变量 2 1 2 1 ( ) 2 Y X X = + ， 则 ( ) (A) EY EY 1 2 ， DY DY 1 2 (B) EY EY 1 2 = ， DY DY 1 2 = (C) EY EY 1 2 = ， DY DY 1 2 (D) EY EY 1 2 = ， DY DY 1 2 二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上. (9) 曲面 2 2 z x y y x = − + − (1 sin ) (1 sin ) 在点 (1,0,1) 处的切平面方程为__________. (10) 设 f x( ) 是周期为 4 的 可 导 奇 函 数 ， 且 f x ( ) = − 2( 1), x x[0, 2] ， 则 f (7) = __________. (11) 微分方程 xy y x y + − = (ln ln ) 0 满足条件 3 y e (1) = 的解为 y = __________. (12) 设 L 是柱面 2 2 x y + =1 与平面 y z + = 0 的交线，从 A 0 x = 轴正向往 z 轴负向看去为逆 时针方向，则曲线积分 L zdx ydz + = __________. (13) 设二次型 ( ) 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x ax x x x , , 2 4 = − + + 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围 _________. (14) 设总体 X 的概率密度为 ( ) 2 2 , 2 , ; 3 0, x x f x = 其他, 其中 是未知参数
X,X2…,Xn为来自总体X的简单样本,若E(C∑X2)=02,则c= (16(本题满分10分) 设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定,求f(x)的极值 (17)(本题满分10分) 数f(n)具有二阶连续导数,:=f( e y)满足 =4(=+ecsy)e2若f(0)=0.f(0)=0,求f()的表达式 (18)(本题满分10分) 设∑为曲面z=x2+y2(z≤1)的上侧,计算曲面积分 I=[()'dyd=+(y-1)'dedx+(-)drdy (19)(本题满分10分) 设数列{a}{b}满足0<an<,0<bn<万, cos a-an= cosb,且级数∑b收 敛 (1)证明:iman=0 (I)证明:级数∑收敛 (20)(本题满分11分) 1-23-4 设矩阵A=01-11,E为三阶单位矩阵 120-3 (1)求方程组Ax=0的一个基础解系 (I)求满足AB=E的所有矩阵B (21)(本题满分11分) 02 证明n阶矩阵 相似 (22)(本题满分11分) 设随机变量X的概率分布为P(X=1=P{X=2)}=,在给定X=i的条件下,随机 变量Y服从均匀分布U(0,)(=12)
1 2 , , , X X X n 为来自总体 X 的简单样本，若 2 2 1 ( ) n i i E c X = = ，则 c = _________. (16)(本题满分 10 分) 设函数 y f x = ( ) 由方程 3 2 2 y xy x y + + + = 6 0 确定，求 f x( ) 的极值. (17)(本题满分 10 分) 设函数 f u( ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， ( cos ) x z f e y = 满 足 ( ) 2 2 2 2 2 4 cos . z z x x z e y e x y + = + 若 f f (0 0, 0 0 ) = = ( ) ，求 f u( ) 的表达式. (18)(本题满分 10 分) 设 为曲面 2 2 z x y = + (z 1) 的上侧，计算曲面积分 3 3 I x dydz y dzdx z dxdy ( 1) ( 1) ( 1) = − + − + − . (19)(本题满分 10 分) 设数列 a b n n , 满足 0 2 n a ，0 2 n b ，cos cosb n n n a a − = ，且级数 1 n n b = 收 敛. (I) 证明： lim 0 n n a → = . (II) 证明：级数 1 n n n a b = 收敛. (20)(本题满分 11 分) 设矩阵 1 2 3 4 0 1 1 1 1 2 0 3 A − − = − − ， E 为三阶单位矩阵. (I)求方程组 Ax = 0 的一个基础解系； (II)求满足 AB E = 的所有矩阵 B . (21)(本题满分 11 分) 证明 n 阶矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 与 0 0 1 0 0 2 0 0 n 相似. (22)(本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率分布为 1 1 2 , 2 P X P X = = = = 在给定 X i = 的条件下，随机 变量 Y 服从均匀分布 U i i (0, ,( 1,2) ) =
(I)求y的分布函数F(y) (II)求EY (23)(本题满分11分) 设总体X的分布函数为F(x0)={1-e°,x20.,其中O是未知参数且大于 0, x0,都有limP
（I）求 Y 的分布函数 F y Y ( ) ； （II）求 EY . (23)(本题满分 11 分) 设总体 X 的分布函数为 2 1 ( ; ) 0, 0, 0, x x x F x e − = − ， 其 中 是 未 知 参 数且 大 于 零. 1 2 , , , X X X n 为来自总体 X 的简单随机样本. （I）求 E X( ) ， 2 E X( ) ； （II）求 的最大似然估计量 n ； （III）是否存在实数 a ，使得对任何 0 ，都有 lim 0 n n P a → − = ？