2004年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 、填空题(本题共6小题每小题4分满分24分把答案填在题中横线上) (1)曲线y=Inx上与直线x+y=1垂直的切线方程为 (2)已知f(e)=xe-x,且f(1)=0,则f(x)= (没L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分则曲线积分∫xd-2yt的值 (4)欧拉uady +4x2,+2y=0(x>0)的通解为 (5)设矩阵A=120,矩阵B满足ABA'=2BA+E,其中A为A的伴随矩 阵E是单位矩阵则B= (6)设随机变量X服从参数为的指数分布则P{X>√DX}= 二、选择题本题共8小题每小题4分满分32分每小题给出的四个选项中只有一个符 合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内) (把x→0时的无穷小量a=Cos:h月=mn√y=-smrb,使排在后 面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A)a,B,y (B)a,r, B (C)B,a,r (D)B,r,a (8)设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在d>0,使得 (A)f(x)在(,)内单调增加 (B)f(x)在(-6,0)内单调减少 (C)对任意的x∈(0,6)有f(x)>f(0) (D)对任意的x∈(-6,0)有 f(x)>f(0) (9)设∑an为正项级数,下列结论中正确的是
2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 y x = ln 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为__________ . (2)已知 (e ) e x x f x − = ,且 f (1) 0 = ,则 f x( ) =__________ . (3)设 L 为正向圆周 2 2 2 x + y = 在第一象限中的部分,则曲线积分 − L xdy 2ydx 的值 为__________. (4)欧拉方程 4 2 0( 0) 2 2 2 + + y = x dx dy x dx d y x 的通解为__________ . (5)设矩阵 2 1 0 1 2 0 0 0 1 = A ,矩阵 B 满足 * * ABA BA E = + 2 ,其中 * A 为 A 的伴随矩 阵, E 是单位矩阵,则 B =__________ . (6)设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,则 P{X DX } = __________ . 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把 → + x 0 时的无穷小量 t dt tdt t dt x x x = = = 0 3 0 0 2 cos , tan , sin 2 ,使排在后 面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 (A) , , (B) , , (C) ,, (D) , , (8)设函数 f x( ) 连续,且 f (0) 0, 则存在 0,使得 (A) f x( ) 在(0, ) 内单调增加 (B) f x( ) 在 (− ,0) 内单调减少 (C)对任意的 x (0, ) 有 f x f ( ) (0) (D) 对 任 意 的 x (− ,0) 有 f x f ( ) (0) (9)设 n=1 n a 为正项级数,下列结论中正确的是
(A)若 lim na=0,则级数∑an收敛 (B)若存在非零常数元使得mman=,则级数∑an发散 (C)若级数∑an收敛则lmnn2an,=0 (D)若级数∑an发散,则存在非零常数,使得 lim na= (0)设(x)为连续函数F()=∫d(x),则F(2)等于 (A)2f(2) (B)f(2) (C)-f(2) (D)0 (11)设A是3阶方阵将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为 010 (A)100 (B)101 10 (C)100 (D)100 001 (12)设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a(0un}=a,若P1<x=a,则x等于 (A)u
(A)若 n n na → lim =0,则级数 n=1 n a 收敛 (B)若存在非零常数 ,使得 = → n n lim na ,则级数 n=1 n a 发散 (C)若级数 n=1 n a 收敛,则 lim 0 2 = → n n n a (D)若级数 n=1 n a 发散, 则存在非零常数 ,使得 = → n n lim na (10)设 f x( ) 为连续函数, = t t y F t dy f x dx 1 ( ) ( ) ,则 F(2) 等于 (A) 2 (2) f (B) f (2) (C) − f (2) (D) 0 (11)设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B ,再把 B 的第 2 列加到第3 列得 C , 则满足 AQ C= 的可逆矩阵 Q 为 (A) 1 0 1 1 0 0 0 1 0 (B) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 (C) 0 1 1 1 0 0 0 1 0 (D) 0 0 1 1 0 0 0 1 1 (12)设 AB, 为满足 AB O= 的任意两个非零矩阵,则必有 (A) A 的列向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关 ,B 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关 (D) A 的行向量组线性相关 ,B 的列向量组线性相关 (13) 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1), 对给定的 (0 1) , 数 u 满 足 P{X u} = ,若 P{ X x} = ,则 x 等于 (A) 2 u (B) 2 1 − u
(C)l1 (14)设随机变量X1,X2…Xn(n>1)独立同分布,且其方差为a2>0.令 (A)CoV(X,, Y) (B)Cov(X,,Y=o 2 (C)D(X1+Y) (D)D(x1-Y) 三、解答题(本题共9小题满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分12分) 设e(b-a) (16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时,为了諴少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大 阻力,使飞机迅速减速并停下 现有一质量为9000kg的飞机着陆时的水平速度为700km/h经测试减速伞打开后,飞机 所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=60×10°)问从着陆点算起,飞机滑行 的最长距离是多少? (注kg表示千克km/h表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分1=2xh+2y+3(2-1)td其中∑是曲面 1-x2-y2(z≥0)的上侧 (18)(本题满分11分) 设有方程x”+nx-1=0,其中n为正整数证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当 a>1时级数∑x收敛 (19)(本题满分12分) 设z=(x,y)是由x2-6x+10y2-2y2-2+18=0确定的函数求z=x(x,y)的极 值点和极值 (20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组
(C) 2 1− u (D) u1− (14) 设随机变量 , , , ( 1) X1 X2 Xn n 独立同分布 , 且其方差为 0. 2 令 = = n i Xi n Y 1 1 ,则 (A) 2 Cov( , ) X Y1 n = (B) 2 Cov( , ) X Y1 = (C) 2 1 2 ( ) n n D X Y + + = (D) 2 1 1 ( ) n n D X Y + − = 三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 12 分) 设 2 e e a b ,证明 2 2 2 4 ln ln ( ) e b a b a − − . (16)(本题满分 11 分) 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大 阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机 所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 6.0 10 ). 6 k = 问从着陆点算起,飞机滑行 的最长距离是多少? (注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分 12 分) 计算曲面积分 2 2 3( 1) , 3 3 2 I x dydz y dzdx z dxdy = + + − 其 中 是曲面 1 ( 0) 2 2 z = − x − y z 的上侧. (18)(本题满分 11 分) 设有方程 1 0 n x nx + − = ,其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 n x ,并证明当 1 时,级数 1 n n x = 收敛. (19)(本题满分 12 分) 设 z z x y = ( , ) 是由 2 2 2 x xy y yz z − + − − + = 6 10 2 18 0 确定的函数,求 z z x y = ( , ) 的极 值点和极值. (20)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组
(1+a)x1+x2+…+xn=0, 2x+(2+a)x+…+2x=0 (n≥2) Hx1+mx2+…+(n+a)xn=0 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解 (21)(本题满分9分) 设矩阵A=-14-3的特征方程有一个二重根求a的值并讨论A是否可相似对 角化 (22)(本题满分9分) 设A,B为随机事件且P(A)=,P(B|A)=,P(AB)=,令 A发生 「1,B发生, A不发生;=10B不发生 求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布 (2)X和Y的相关系数pxy (23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为F(x,B) 其中未知参数β>1,X12X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本 求(1)B的矩估计量 (2)B的最大似然估计量
1 2 1 2 1 2 (1 ) 0, 2 (2 ) 2 0, ( 2) , ( ) 0, n n n a x x x x a x x n nx nx n a x + + + + = + + + + = + + + + = 试问 a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解. (21)(本题满分 9 分) 设矩阵 1 2 3 1 4 3 1 5 a − = − − A 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对 角化. (22)(本题满分 9 分) 设 A B, 为随机事件,且 111 ( ) , ( | ) , ( | ) 432 P A P B A P A B = = = ,令 ; , 0, 1, 不发生 发生 A A X = . , 0, 1, 不发生 发生 B B Y = 求:(1)二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布. (2) X 和 Y 的相关系数 . XY (23)(本题满分 9 分) 设总体 X 的分布函数为 1, 1, 0, , 1 1 ( , ) − = x x x F x 其中未知参数 X X Xn 1, , , , 1 2 为来自总体 X 的简单随机样本, 求:(1) 的矩估计量. (2) 的最大似然估计量