绝密★启用前 数学(三)参考解答 填空题(本题共5小题每小题3分,满分15分 ()设常数a,则四2m22 (2)交换积分次序:4(x,)d+上(x,)=J。八(x,)由 (3)设三阶矩阵A=212,三维列向量a=(a,1,1)·已知Aa与a线性相关, 则a= (4)设随机变量X和Y的联合概率分布为 0.180.15 0.32 则X2和Y2的协方差cov(x2,P2)=-0.02 (5)设总体X的概率密度为 ",若x≥θ f(x;6) 0,若x<0 而X1,X2,…,X。是来自总体X的简单随机样本,则未知参数6的矩估计量为 X4-1 【注】答X-1者也对 选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分) (1)设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则 (A)当fa)f(b)<0时存在∈(a,b),使f()=0 (B)对任何E∈(a,b),有im[f(x)-f()]=0. (C)当f(a)=f(b)时,存在fc(a,b),使f'()=0 (D)存在Ee(a,b),使f(b)-f(a)=f()(b-a) (2)设幂级数∑x与∑x的收敛半径分别为3与了,则标级数 b2的收敛半径为 (A)5 (D)
(3)设A是mxn矩阵,B是nxm矩阵,则线性方程组(AB)x=0 (A)当n>m时仅有零解 (B)当n>m时必有非零解 (C)当m>n时仅有零解 (D)当m>n时必有非零解 【D (4)设A是n阶实对称矩阵P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量a是A的属于特征值A的 特征向量则矩阵(PAP)属于特征值A的特征向量是 (A)P"a. (B)Pa (C)Pa (D)(P) (5)设随机变量X和Y都服从标准正态分布则 (A)X+Y服从正态分布 (B)x2+P服从x2分布 (C)X和Y2都服从x2分布 (D)X2/F2服从F分布 C】 三.(本题满分5分) 求极限 fU aretas(1 +D)dadu 解法1 fU arctan(1+1)dr]due x(1 arctan(1 +ndn lim 2xaretan(+r sint sint cosr 2 lim arctan (1 +x)lim 解法2 (1+1)de du (1+t) 2 lin
arctan(I +t)dt 2 li 四.(本题满分7分) 设函数u=f(x,y,)有连续偏导数,且z=x(x,y)由方程xe-ye=ze所确定,求da 解法1设F(x,y,z)=xe’-ye-e',则 F,=(x+1)e (y+1)e F,=-(x+1)e 故 x+1 dz f, +f. f, +f f,+,=,-f 所以 x + adx+,-f 2十 解法2在xe-ye'=ze'两边微分,得 dx xe'dx-e'dy-ye'dy edz zedz 故 k=(1+ a)edr-(1 +y)edy (1+z)e
f(x,y,),得 du =f, dx+/, dy+f, ds, 五,(本题满分6分) 设f(sin2x) fx)dx sin2x,则有 nx=√a fr resinr 于是 =arcsin d(1 dvx 21 √x+2√x+C 六.(本题满分7分) 设D是由抛物线y=2x2和直线x=a,x=2及y=0所围成的平面区域;D2是由抛物 线y=2x2和直线y=0,x=a所围成的平面区域,其中0<a<2 (1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1:D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V; (2)问当a为何值时,V1+V取得最大值?试求此最大值
解(1) v,=.(2r)'dx V, a'. 2a2-ody D (2)设 V =V,+V2 32 V"=4ra'(1-a)=0, 得区间(0,2)内的唯一驻点a=1 当00;当a>1时,W<0.因此a=1是极大值点即最大值点 此时V+V2取得最大值,等 七.(本题满分7分) (1)验证函数y(x)=1+3+,+0+“+(3m)!(-四<x<+∞)满是微分 方程 (2)利用(1)的结果求幂级数 (3n)的和函数 解(1)因为 xx°x (x)=1+ (3n)! y'(x)=++G+…+ y"(x)=x+++…+ (2)与y"+y+y=e’相应的齐次微分方程为
其特征方程为 特征根为A1:=-2+2.因此齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 Ae 将y代入方程y"+y…+y=e得A=1,于是 方程通解为 y=y+ C, cos Y=x +C,sin 当x=0时,有 (0)=0=-1c+c2+1 由此,得C1=2,c2 于是幂级数∑3)的和函数为 y(x)=se2cosxt-e 0.利用闭区间上连续函数性质,证明存在 点∈[a,b],使 f(x)g(x)dx=/(5)g(x)dx 证明因为f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)>0,由最值定理,知f(x)在[a,b]上
有最大值M和最小值m,即 m≤f(x)≤M mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x) )dx≤f(x)g(x)dx≤LMg(x)dx f(xg(x)dx ≤M Ig(x)da 由介值定理知,存在∈[a,b],使 f(x)g(x)dx f() g(x)da f(x)g(x)dx=f(5)g(x)dx 九.(本题满分8分) 设齐次线性方程组 b bx1+bx2+bx3+…+ 其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷 多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解 解方程组的系数行列式 6 b b|=[a+(n-1)b1(a-b) 66 6 (1)当a≠b且a≠(1-n)b时,方程组仅有零解
(2)当a=b时,对系数矩阵A作行初等变换,有 000 0 原方程组的同解方程组为 其基础解系为 a1=(-1,1,0,…,0),a2=(-1.0,1,…,0)",…,an1=(-1,0,0,…,1) 方程组的全部解是 x=c1a1+c2a2+…+cnan(c1,c2,…,cn1为任意常数) (3)当a=(1-n)b时,对系数矩阵A作行初等变换,有 b (1-n)b b b (1-n)b 010 001 00 原方程组的同解方程组为 R2=x. 其基础解系为 方程组的全部解是
cB(c为任意常数) 十.(本题满分8分) 设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O,已知A的秩r(A)=2 (1)求A的全部特征值; (2)当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵 解法1(1)设A为A的一个特征值,对应的特征向量为a,则 Aa=Aa,(a≠o) A'a=A'a 于是 (A2+2A)a=(A2+2A)a 由条件A2+2A=O推知 (A2+2A)a=o 又由于a≠o,故有 A+2A=0 解得 A=-2,A=0. 因为实对称矩阵A必可对角化,且r(A)=2,所以 因此矩阵A的全部特征值为 (2)矩阵A+kE仍为实对称矩阵,由(1)知,A+kE的全部特征值为 2+k,-2+k,k 于是,当k>2时矩阵A+kE的全部特征值大于零.因此,矩阵A+kE为正定矩阵 解法2(1)同解法1 (2)实对称矩阵必可对角化,故存在可逆矩阵P,使得 P AP=4 A PAP
于是 A +kE= PAP+kPP P(A+kE)P 所以 A+kE-1+kE 1+kE= A+E为正定矩阵,只需其顺序主子式均大于0,即k需满足 k-2>0,(k-2)2>0,(k-2)2k 因此,当k>2时,矩阵A+kE为正定矩阵 十一.(本题满分8分) 假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布随机变量 1,若U≤-1 1.若U≤1 1,若U>-1 若U 试求(1)X和Y的联合概率分布;(2)D(X+1) 解(1)随机向量(X,Y)有四个可能值:(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1) P|X=-1,Y =P|U≤-1,U≤I PX=-1,Y=l}=P|U≤-1,U>1|=0; P|x=1,y=-1|=P|U>-1,U≤1|=1; PIX=1,Y=1=PIU 于是,得X和Y的联合概率分布为 (-1,-1)(-1,1)(1,-1)(1,1) (2)X+Y和(X+Y)2的概率分布相应为 Y+I (X+1)2