2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 选择题(18小题每小题4分共32分,下列每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所 选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数∫(x)=n(2+1)dt则f(x)的零点个数 (A)0 (C2 (D)3 (2)函数∫(x,y)= arctan一在点(0,1)处的梯度等于 y (C)J (D) (3)在下列微分方程中,以y=Ce2+C2Cos2x+C3sin2x(C1C2,C3为任意常数)为通解的是 4y-4y=0 V= (C)y”-y-4y+4y=0 (4设函数f(x)在(-,+∞)内单调有界{xn}为数列,下列命题正确的是 (A)若{xn}收敛则{f(x)收敛 B)若{x}单调则{f(x)收敛 诺若{f(x)收敛则{xn}收敛 D若{(x)单调则{xn}收敛 (5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A3=0,则 (A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆E+A可逆 (C)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆E+A不可逆 (6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程 Z (x,y:A|y|=1在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A的正特征值个数为 (A)0 (7设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F(x)则Z=max{x,}分布函数为 (A)F2(
2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题(1-8小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所 选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数 2 0 ( ) ln(2 ) x f x t dt = + 则 f x ( ) 的零点个数 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)函数 ( , ) arctan x f x y y = 在点 (0,1) 处的梯度等于 (A) i (B)- i (C) j (D) − j (3)在下列微分方程中,以 1 2 3 cos 2 sin 2 x y C e C x C x = + + ( 1 2 3 C C C , , 为任意常数)为通解的是 (A) y y y y + − − = 4 4 0 (B) y y y y + + + = 4 4 0 (C) y y y y − − + = 4 4 0 (D) y y y y − + − = 4 4 0 (4)设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内单调有界,xn 为数列,下列命题正确的是 (A)若 xn 收敛,则 f x( ) n 收敛 (B)若 xn 单调,则 f x( ) n 收敛 (C)若 f x( ) n 收敛,则 xn 收敛 (D)若 f x( ) n 单调,则 xn 收敛 (5)设 A 为 n 阶非零矩阵,E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A = 0,则 (A) E A− 不可逆,E A+ 不可逆 (B) E A− 不可逆,E A+ 可逆 (C) E A− 可逆,E A+ 可逆 (D) E A− 可逆,E A+ 不可逆 (6) 设 A 为 3 阶实对称矩阵 , 如果二次曲面方程 ( , , ) 1 x x y z y z = A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则 A 的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (7)设随机变量 X Y, 独立同分布且 X 分布函数为 F x( ) ,则 Z X Y = max , 分布函数为 (A) ( ) 2 F x (B) F x F y ( ) ( )
[1-F(x)] [1-F(x)][1-F(y)] (8设随机变量X~N(0,)Y~N(4)且相关系数py=1则 (A)P{Y=-2X-l=1 B)P{Y=2X-1}=1 )P{Y=-2X+}=1 P({Y=2X+l}=1 二、填空题(914小题每小题4分共24分请将谷案写在答题纸指定位量上 (微分方程x+y=0满足条件y(1)=1的解是y= 1曲线sin(xy)+n(y-x)=x在点(O,)处的切线方程为 (1)已知幂级数∑an(x+2)在x=0处收敛在x=处发散,则幂级数∑an(x-3)”的收 敛域为 2)设曲面∑是=√4-x-y2的上侧则∫h+d+xdh= (13)设A为2阶矩阵1,2为线性无关的2维列向量Aa1=0,Aa2=2a1+a2,则A的非零特 征值为 4)设随机变量X服从参数为1的泊松分布则P{X=Ex2}= 三、解题(15-23小题共%分请将解写在谷题纸指定的位置上解谷应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) (15本题满分10分) 求极限 lim lsin x-sin(snx)sinx (16本题满分10分) 计算曲线积分∫sin2xdk+2(x2-1)其中L是曲线y=simx上从点(Q)到点(0) (17本题满分10分) 已知曲线C 2+y2-2=0求曲线C距离XOy面最远的点和最近的点 x+y+3z=5 (18)本题满分10分) 设∫(x)是连续函数
(C) ( ) 2 1 1 − − F x (D) 1 1 − − F x F y ( ) ( ) (8)设随机变量 X N~ 0,1 ( ) ,Y N~ 1,4 ( ) 且相关系数 1 XY = ,则 (A) P Y X = − − = 2 1 1 (B) P Y X = − = 2 1 1 (C) P Y X = − + = 2 1 1 (D) P Y X = + = 2 1 1 二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程 xy y + = 0 满足条件 y (1 1 ) = 的解是 y = . (10)曲线 sin ln ( xy y x x ) + − = ( ) 在点 (0,1) 处的切线方程为 . (11)已知幂级数 ( ) 0 2 n n n a x = + 在 x = 0 处收敛,在 x =−4 处发散,则幂级数 ( ) 0 3 n n n a x = − 的收 敛域为 . (12)设曲面 是 2 2 z x y = − − 4 的上侧,则 2 xydydz xdzdx x dxdy + + = . (13)设 A 为 2 阶矩阵, 1 2 α ,α 为线性无关的 2 维列向量, 1 2 1 2 Aα = = + 0, 2 Aα α α ,则 A 的非零特 征值为 . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 2 P X EX = = . 三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) (15)(本题满分 10 分) 求极限 ( ) 4 0 sin sin sin sin lim x x x x → x − . (16)(本题满分 10 分) 计算曲线积分 ( ) 2 sin 2 2 1 L xdx x ydy + − ,其中 L 是曲线 y x = sin 上从点 (0,0) 到点 (,0) 的一段. (17)(本题满分 10 分) 已知曲线 2 2 2 2 0 : 3 5 x y z C x y z + − = + + = ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. (18)(本题满分 10 分) 设 f x( ) 是连续函数
)利用定义证明函数F(x)=.f()d可导且F(x)=f(x) 当(x)是以2为周期的周期函数时证明函数G(x)=2()d-x5()也是以2为周 的周期函数 (19)(本题满分10分 (x)=1-x0≤Xsx)用余弦级数展开米∑() 的和 (20(本题满分11分) A=a+β,a为a的转置阝为B的转置证明: (1)r(A)≤2 (2)若a,阝线性相关,则r(A)<2 (21)(本题满分11分 2 设矩阵A= 现矩阵A满足方程AX=B,其中 (x1…,x),B=(10…,0) (求证A|=(n+1)a (2)a为何值方程组有唯一解,求x (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解 (22)本题满分11分) 设随机变量X与相互独立,X的概率分布为P(X==2(=-10.1)Y的概率密度为 0≤y≤l fr() ,记Z=X+Y, 0其它 (1)求PZ≤X=0 (2)求Z的概率密度 Q23本题满分11分) 设X12X2…Xn是总体为N(,a2)的简单随机样本
(1)利用定义证明函数 ( ) ( ) 0 x F x f t dt = 可导,且 F x f x ( ) = ( ) . (2)当 f x( ) 是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 ( ) 2 0 0 2 ( ) ( ) x G x f t dt x f t dt = − 也是以 2为周 期的周期函数. (19)(本题满分 10 分) ( ) 2 f x x x = − 1 (0 ) ,用余弦级数展开,并求 ( ) 1 2 1 1 n n n − = − 的和. (20)(本题满分 11 分) T T A = + αα ββ , T α 为 α 的转置, T β 为 β 的转置.证明: (1) r( ) 2 A . (2)若 α,β 线性相关,则 r( ) 2 A . (21)(本题满分 11 分) 设矩阵 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a a a = A , 现矩阵 A 满足方程 AX B= , 其 中 ( 1 , , ) T n X = x x ,B = (1,0, ,0) , (1)求证 ( 1) n A = +n a . (2) a 为何值,方程组有唯一解,求 1 x . (3) a 为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为 ( ) 1 1,0,1 3 P X i i = = = − , Y 的概率密度为 ( ) 1 0 1 0 Y y f y = 其它 ,记 Z X Y = + , (1)求 1 0 2 P Z X = . (2)求 Z 的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设 1 2 , , , X X X n 是总体为 2 N( , ) 的简单随机样本. 记 1 1 n i i X X n = = , 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n = = − − , 2 2 1 T X S n = −
(1)证明T是2的无偏估计量 (2)当=0,G=1时,求DT
(1)证明 T 是 2 的无偏估计量. (2)当 = = 0, 1 时 ,求 DT