2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) x2cos.若x≠0, (1)设∫(x)= 其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是A>2 0, 若x=0, (2)已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切,则b2可以通过a表示为b2=4a° (3)设a>0,f(x)=g(x) ja若0≤x≤1 0其他而D表示全平面,则 I=lf(x)g(-x)dxdy= a (4)设n维向量a=(a,0,…,0,a),a<0;E为n阶单位矩阵,矩阵 A=E-ao b=E+-aa 其中A的逆矩阵为B,则a=-1 (5)设随机变量X和Y的相关系数为09,若Z=X-04,则Y与Z的相关系数为 (6)设总体X服从参数为2的指数分布,X12X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样 本,则当n→∞时,Hn=∑x2依概率收敛于 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有 项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且f(0)存在,则函数g(x)=(x) (A)在x=0处左极限不存在 (B)有跳跃间断点ⅹ=0 (C)在x=0处右极限不存在 (D)有可去间断点ⅹ=0 (2)设可微函数f(xy)在点(x,y)取得极小值,则下列结论正确的是 (A)f(x0,y)在y=y处的导数等于零.(B)∫(x0,y)在y=y0处的导数大于零 (C)f(x0,y)在y=y处的导数小于零.(D)f(x0,y)在y=y处的导数不存在 a (3)设pn= n=1,2,…,则下列命题正确的是 2
2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）设 0, 0, 0, , 1 cos ( ) = = x x x x f x 若 若 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是 2 . （2）已知曲线 y = x − a x + b 3 2 3 与 x 轴相切，则 2 b 可以通过 a 表示为 = 2 b 6 4a . （ 3 ） 设 a>0 ， ， a x f x g x 其他 若0 1, 0, , ( ) ( ) = = 而 D 表示全平面，则 = − D I f (x)g(y x)dxdy = 2 a . （4）设 n 维向量 = (a,0, ,0,a) ,a 0 T ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 T A = E − ， T a B E 1 = + ， 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a= -1 . （5）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若 Z = X −0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 0.9 . （6）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X X Xn , , , 1 2 为来自总体 X 的简单随机样 本，则当 n → 时， = = n i n Xi n Y 1 1 2 依概率收敛于 2 1 . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数 x f x g x ( ) ( ) = (A) 在 x=0 处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点 x=0. (C) 在 x=0 处右极限不存在. (D) 有可去间断点 x=0. [ D ] （2）设可微函数 f(x,y)在点 ( , ) 0 0 x y 取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数等于零. （B） ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数大于零. (C) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数小于零. (D) ( , ) 0 f x y 在 0 y = y 处的导数不存在. （3）设 2 n n n a a p + = ， 2 n n n a a q − = ， n = 1,2, ，则下列命题正确的是
(A)若∑an条件收敛,则∑Pn与∑qn都收敛 (B)若∑an绝对收敛,则∑Pn与∑q都收敛 (C)若∑an条件收敛,则∑Pn与∑qn敛散性都不定 (D)若∑an绝对收敛,则∑Pn与∑qn敛散性都不定 b b (4)设三阶矩阵A=bab,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有 bb (A)a=b或a+2b=0 (B)a=b或at2b≠0 (C)a≠b且a+2b=0 (D)a≠b且a+2b≠0 (5)设a1,a2…a,均为n维向量,下列结论不正确的是 (A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,k,,都有k2a1+k2a2+…+k2a≠0 则a1,a2…,a,线性无关 (B)若a12a2,…,a,线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,k,都有 +k.a.=0 (C)a1,a2…,a,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s (D)a12a2,…,a,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 (6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次 出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件 (A)A1,A2A3相互独立 (B)A2,A3,A4相互独立 (C)A1,A2,A3两两独立 (D)A2,A3,44两两独立 三、(本题满分8分) x∈[,1) 丌snax(1-x)
(A) 若 n=1 n a 条件收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 都收敛. (B) 若 n=1 n a 绝对收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 都收敛. (C) 若 n=1 n a 条件收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 敛散性都不定. (D) 若 n=1 n a 绝对收敛，则 n=1 n p 与 n=1 n q 敛散性都不定. [ B ] （4）设三阶矩阵 = b b a b a b a b b A ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 (A) a=b 或 a+2b=0. (B) a=b 或 a+2b 0. (C) a b 且 a+2b=0. (D) a b 且 a+2b 0. [ C ] （5）设 s , , , 1 2 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，都有 k11 + k2 2 ++ ks s 0， 则 s , , , 1 2 线性无关. (B) 若 s , , , 1 2 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，都有 0. k11 + k2 2 ++ ks s = (C) s , , , 1 2 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s. (D) s , , , 1 2 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次 出现正面}， A3 ={正、反面各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则事件 (A) 1 2 3 A , A , A 相互独立. (B) 2 3 4 A , A , A 相互独立. (C) 1 2 3 A , A , A 两两独立. (D) 2 3 4 A , A , A 两两独立. [ C ] 三 、（本题满分 8 分） 设 ,1). 2 1 , [ (1 ) 1 sin 1 1 ( ) − = + − x x x x f x
试补充定义1)使得fx)在[1]上连续 四、(本题满分8分) 设印u具有二阶连续偏导数,且满足f9=1,又8(x,y)= 2) 求。+0 五、(本题满分8分) 计算二重积分 =』esmx2+y2)d 其中积分区域D=(x,y)x2+y2≤m 六、(本题满分9分) 求幂级数1+∑(-1)-(x<1)的和函数fx)及其极值 七、(本题满分9分) 设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(-∞,+∞)内满足以下条件 f(x)=g(x), g(x)=f(x),H f(O=0, f(x)+g(x)=2e (1)求F(x)所满足的一阶微分方程 (2)求出F(x)的表达式 八、(本题满分8分) 设函数f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导,且f0)+(1)+(2)=3,f(3)=1.试证必存在 5∈(0,3),使∫()=0. 九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组 (a1+b)x1+a2x2+a3x3+…+anxn=0, a1x1+(a2+b)x2+a3x3+…+anxn=0, a1x1+a2x2+(a3+b)x3+…+anxn=0, la,x,+a2x2+a3x3++(a, +b)xn=0, 其中∑a1≠0.试讨论a1,a2…an和b满足何种关系时, (1)方程组仅有零解 (2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系
试补充定义 f(1)使得 f(x)在 ,1] 2 1 [ 上连续. 四 、（本题满分 8 分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 1 2 2 2 2 = + v f u f ，又 ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y , 求 . 2 2 2 2 y g x g + 五 、（本题满分 8 分） 计算二重积分 sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = + − + − 其中积分区域 D= {( , ) }. 2 2 x y x + y 六、（本题满分 9 分） 求幂级数 = + − 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) n n n x n x 的和函数 f(x)及其极值. 七、（本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 (−,+) 内满足以下条件： f (x) = g(x) ， g (x) = f (x) ，且 f(0)=0, ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e (1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式. 八、（本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 (0,3) ，使 f ( ) = 0. 九、（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组 + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x 其中 0. 1 = n i ai 试讨论 a a an , , , 1 2 和 b 满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系
十、(本题满分13分) 设二次型 f(x1,x2,x3)=XAX=ax2+2x2-2x32+2bx1x3(b>0), 中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 (1)求ab的值 (2)利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 十一、(本题满分13分) 设随机变量Ⅹ的概率密度为 ∈[18] 其他; F(x)是X的分布函数求随机变量Y=F(X的分布函数 十二、(本题满分13分) 设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为 X 0.30.7 而Y的概率密度为fy),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u
十、（本题满分 13 分） 设二次型 ( , , ) 2 2 2 ( 0) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = X AX = ax1 + x − x + bx x b T ， 中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 ; [1,8], 0, , 3 1 ( ) 3 2 其他 若 = x x f x F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 0.3 0.7 1 2 X ~ ， 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)