第十六章差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广,可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍,下一章我们将介绍马氏链模型。 §1差分方程 1差分方程简介 规定t只取非负整数。记y为变量y在点的取值,则称Ay1=y1+1-y1为y的 阶向前差分,简称差分,称Ay2=△(Ay)=Ay-Ay1=y1+2-2ym+y,为y的二 阶差分。类似地,可以定义y2的n阶差分△"y。 由t、y,及y的差分给出的方程称为y的差分方程,其中含y2的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如,二阶差分方程 Δy+Ay2+y2=0也可改写成y+2-y1+1+y1=0。 满足一差分方程的序列y称为差分方程的解。类似于微分方程情况,若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时,称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数,则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 aoynt +a,yn-+.+a,y =b(t) (1) 为n阶常系数线性差分方程,其中a02a12…,an是常数,a0≠0。其对应的齐次方程为 aoyn+t +a,yn-1+.+a,y=0 (2) 容易证明,若序列y与y2)均为(2)的解,则y1=c1y+c2y2)也是方程(2)的 解,其中c1c2为任意常数。若y是方程(2)的解,y2是方程(1)的解,则 y=y+y2)也是方程(1)的解。 方程(1)可用如下的代数方法求其通解 (I)先求解对应的特征方程 +a,-1+ (Ⅱ)根据特征根的不同情况,求齐次方程(2)的通解。 (i)若特征方程(3)有n个互不相同的实根A1,…,,则齐次方程(2)的通解 为 c14+…+Cnn(C1,…,Cn为任意常数) (i)若是特征方程(3)的k重根,通解中对应于的项为(1+…+c41-)x c(i=1,…,k)为任意常数 (ⅲ)若特征方程(3)有单重复根λ=a±B,通解中对应它们的项为 p r+ c,p sin pr,其中p={a2+p2为的模,=acg为的幅角 (i)若=a土是特征方程(3)的k重复根,则通解对应于它们的项为 (1+…+4t-)p'coso+(ck+…+c21*-)p'sint
-192- 第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差 分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数。记 t y 为变量 y 在t 点的取值，则称 t t t Δy = y − y +1 为 t y 的一 阶向前差分，简称差分，称 t t t t t t t Δ y = Δ Δy = Δy − Δy = y − y + y +1 +2 +1 2 ( ) 2 为 t y 的二 阶差分。类似地，可以定义 t y 的n 阶差分 t n Δ y 。 由 t t、y 及 t y 的差分给出的方程称为 t y 的差分方程，其中含 t y 的最高阶差分的阶 数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 0 2 Δ yt + Δyt + yt = 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0。 满足一差分方程的序列 t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 ( ) 0 1 1 a y a y a y b t n+t + n+t− +L+ n t = （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中a a an , , , 0 1 L 是常数，a0 ≠ 0。其对应的齐次方程为 a0 yn+t + a1 yn+t−1 +L+ an yt = 0 （2） 容易证明，若序列 (1) t y 与 (2) t y 均为（2）的解，则 (2) 2 (1) t 1 t t y = c y + c y 也是方程（2）的 解，其中 1 2 c , c 为任意常数。若 (1) t y 是方程（2）的解， (2) t y 是方程（1）的解，则 (1) (2) t t t y = y + y 也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I）先求解对应的特征方程 0 0 1 0 + 1 + + = − a a a λ n λ n L （3） （II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根λ λn , , 1 L ，则齐次方程（2）的通解 为 t n n t c1λ1 +L+ c λ （ n c , ,c 1 L 为任意常数） （ii）若λ 是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ 的项为 k t k (c c t )λ 1 1 − +L+ ， c (i 1, ,k) i = L 为任意常数。 （iii）若特征方程（3）有单重复根 λ = α ± βi ，通解中对应它们的项为 c t c t t t 1ρ cosϕ + 2ρ sinϕ ，其中 2 2 ρ = α + β 为λ 的模， α β ϕ = arctg 为λ 的幅角。 （iv）若λ = α ± βi 是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为 c c t t c c t t k t k k k t ( k )ρ cosϕ ( )ρ sinϕ 1 1 2 1 1 − + − +L+ + +L+
(i=1,…,2k)为任意常数。 (I)求非齐次方程(1)的一个特解。若y1为方程(2)的通解,则非齐次方 程(1)的通解为+y。 求非齐次方程(1)的特解一般要用到常数变易法,计算较繁。对特殊形式的b(1) 也可使用待定系数法。例如,当b(1)=bP4(1),P4()为t的k次多项式时可以证明: 若b不是特征根,则非齐次方程(1)有形如bq(01)的特解,q1(1)也是t的k次多项 式;若b是r重特征根,则方程(1)有形如brq;(1)的特解。进而可利用待定系数法 求出q(),从而得到方程(1)的一个特解y。 例1求解两阶差分方程y+2+y1=1。 解对应齐次方程的特征方程为22+1=0,其特征根为A12=土,对应齐次方程 的通解为 y,=C cos-[+C? sin-I 原方程有形如a+b的特解。代入原方程求得a=1,b=-1,故原方程的通解 为 C, cos--I+C, sin-t+-t-- 2 例2在信道上传输仅用三个字母a,b,c且长度为n的词,规定有两个a连续出现 的词不能传输,试确定这个信道容许传输的词的个数。 解令h(n)表示容许传输且长度为n的词的个数,n=1,2,…,通过简单计算可 求得:h(1)=3,h(2)=8。当n≥3时,若词的第一个字母是b或c,则词可按h(n-1) 种方式完成;若词的第一个字母是a,则第二个字母是b或c,该词剩下的部分可按 h(n-2)种方式完成。于是,得差分方程 h(m)=2h(n-1)+2h(n-2),(n=3,4,…) 其特征方程为 特征根 1=1+√3,42=1-3 则通解为 h(m)=c(1+3)+c2(1-√3)”,(n=3,4…) 利用条件h(1)=3,h(2)=8,求得 2+√3 h(n) (1-√3)”,(n=12…) 在应用差分方程研究问题时,我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性 差分方程(1),若不论其对应齐次方程的通解中任意常数c1…,Cn如何取值,在t→>+∞ 时总有y,→>0,则称方程(1)的解是稳定的。根据通解的结构不难看出,非齐次方
-193- c (i 1, ,2k) i = L 为任意常数。 （III）求非齐次方程（1）的一个特解 t y 。若 t y 为方程（2）的通解，则非齐次方 程（1）的通解为 t t y + y 。 求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t) 也可使用待定系数法。例如，当b(t) b p (t) k t = ， p (t) k 为t 的k 次多项式时可以证明： 若b 不是特征根，则非齐次方程（1）有形如b q (t) k t 的特解， q (t) k 也是t 的 k 次多项 式；若b 是 r 重特征根，则方程（1）有形如b t q (t) k t r 的特解。进而可利用待定系数法 求出 q (t) k ，从而得到方程（1）的一个特解 t y 。 例 1 求解两阶差分方程 y y t t+2 + t = 。 解 对应齐次方程的特征方程为 1 0 2 λ + = ，其特征根为 = ±i λ1,2 ，对应齐次方程 的通解为 y c t c t t 2 sin 2 cos 1 2 π π = + 原方程有形如 at + b的特解。代入原方程求得 2 1 a = ， 2 1 b = − ，故原方程的通解 为 2 1 2 1 2 sin 2 cos c1 t + c2 t + t − π π 例 2 在信道上传输仅用三个字母a,b,c 且长度为n 的词，规定有两个a 连续出现 的词不能传输，试确定这个信道容许传输的词的个数。 解 令 h(n) 表示容许传输且长度为 n 的词的个数， n = 1,2,L，通过简单计算可 求得：h(1) = 3，h(2) = 8。当n ≥ 3 时，若词的第一个字母是b 或c, 则词可按h(n −1) 种方式完成；若词的第一个字母是 a ，则第二个字母是b 或 c ，该词剩下的部分可按 h(n − 2) 种方式完成。于是，得差分方程 h(n) = 2h(n −1) + 2h(n − 2)，(n = 3,4,L) 其特征方程为 2 2 0 2 λ − λ − = 特征根 1 3 λ1 = + ， 1 3 λ2 = − 则通解为 n n h(n) c (1 3) c (1 3) = 1 + + 2 − ，(n = 3,4,L) 利用条件h(1) = 3，h(2) = 8，求得 n n h n (1 3) 2 3 2 3 (1 3) 2 3 2 3 ( ) − − + + + + = ，(n = 1,2,L) 在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性 差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数 n c , ,c 1 L 如何取值，在t → +∞ 时总有 yt → 0 ，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方
程(1)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1 2常系数线性差分方程的Z变换解法 常系数线性差分方程采用解析解法比较容易,而且对其解的意义也容易理解,但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐,通常是采用Z变换,将差分方 程变换为代数方程去求解。 设有离散序列x(k),(k=0,1,2,…),则x(k)的Z变换定义为 X()=Zx(k)=∑x(k) (4) 其中二是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部 X(二)的Z反变换记作 (k)=Z IX(I 121几个常用离散函数的Z变换 (i)单位冲激函数(k)的Z变换 Z[6(k=∑6(k)-=[1×-1k=0=1 即单位冲激函数的Z变换为1 (i)单位阶跃函数U/(k)的Z变换 ZU(k=∑U(k)k=∑1×x 即 z[U(k)]=-(二卜1) (ⅲ)单边指数函数f(k)=a4的Z变换(a为不等于1的正常数) ∑ (|=卜 122Z变换的性质 (i)线性性质 设Z[f(k)=F1(=),Z[2(k)=F2(),则 Z[a1(k)+b/2(k)=aF1(二)+bF2(=) 其中a,b为常数。收敛域为F1(z)和F2()的公共区域 (i)平移性 设Z[f(k)=F(=),则 Z[f(k+1)=-{[F(=)-f(0), Z(k+N)==[F()-∑f(k)2], Z[f(k-1)==-[F()+f(-1)z], Z(k-N)=F()+∑f(-k)2 例3求齐次差分方程
-194- 程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。 1.2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法 常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。 设有离散序列 x(k) ，(k = 0,1,2,L) ，则 x(k) 的 Z 变换定义为 ∑ ∞ = − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) k k X z Z x k x k z （4） 其中 z 是复变量。显然上式右端的级数收敛域是某个圆的外部。 X (z)的 Z 反变换记作 ( ) [ ( )] 1 x k Z X z − = 1.2.1 几个常用离散函数的 Z 变换 （i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换 ∑ ∞ = = − − = = × = 0 [ ( )] ( ) [1 ] 0 1 k k k k Z δ k δ k z z 即单位冲激函数的 Z 变换为 1。 （ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换 ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − = = × 0 0 [ ( )] ( ) 1 k k k k Z U k U k z z ， 即 (| | 1) 1 [ ( )] > − = z z z Z U k （iii）单边指数函数 k f (k) = a 的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数） ∑ ∞ = − > − = = 0 [ ] (| | ) k k k k z a z a z Z a a z 1.2.2 Z 变换的性质 （i）线性性质 设 [ ( )] ( ) 1 1 Z f k = F z ， [ ( )] ( ) 2 2 Z f k = F z ，则 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 Z af k + bf k = aF z + bF z 其中a,b 为常数。收敛域为 ( ) 1 F z 和 ( ) 2 F z 的公共区域。 （ii）平移性 设 Z[ f (k)] = F(z) ，则 Z[ f (k +1)] = z[F(z) − f (0)]， [ ( )] [ ( ) ( ) ] 1 0 ∑ − = − + = − N k N k Z f k N z F z f k z ， [ ( 1)] [ ( ) ( 1) ] 1 Z f k − = z F z + f − z − ， [ ( )] [ ( ) ( ) ] 1 1 ∑ − = − − = + − N k N k Z f k N z F z f k z 例 3 求齐次差分方程
x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0,x(0)=0,x(1)=1 的解。 解令Z[x(k)=X(=),对差分方程取Z变换,得 z2X()-z+3xX(z)+2X(z)=0, 2 X(=) +3z+22+12+2 对上式取〓反变换,便得差分方程的解为 x(k)=(-1)4-(-2) §2蛛网模型 2.1问题提出 在自由竞争的社会中,很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中,可以从自 由集市上某种商品的价格变化看到如下现象:在某一时期,商品的上市量大于需求,引 起价格下跌,生产者觉得该商品无利可图,转而经营其它商品:一段时间之后,随着产 量的下降,带来的供不应求又会导致价格上升,又有很多生产商会进行该商品的生产 随之而来的,又会出现商品过剩,价格下降。在没有外界干扰的情况下,这种现象将会 反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢? 22模型假设 (i)设k时段商品数量为xk,其价格为yk。这里,把时间离散化为时段,一个时 期相当于商品的一个生产周期。 (i)同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量,把 y,=f(n) 为需求函数。出于对自由经济的理解,商品的数量越多,其价格就越低,故可以假 需求函数为一个单调下降函数。 (ⅲi)下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定,把 xu=g() (6) 称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大,故可假设供应函数是一个单调上升 的函数 23模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形,设两条曲线相交于 P(x0,y),则B为平衡点因为此时x=g(y),y=f(x),若某个k,有xk=x0, 则可推出 y1=y0,x1=x,(=k,k+1,…) 即商品的数量保持在x0,价格保持在ya,不妨设x1≠x,下面考虑xk,yk在图上的变 化(k=1,2,…)。如下图所示,当x1给定后,价格y由∫上的
-195- x(k + 2) + 3x(k +1) + 2x(k) = 0， x(0) = 0 ， x(1) = 1 的解。 解 令 Z[x(k)] = X (z) ，对差分方程取 Z 变换，得 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 2 z X z − z + zX z + X z = ， 3 2 1 2 ( ) 2 + − + = + + = z z z z z z z X z ， 对上式取 z 反变换，便得差分方程的解为 k k x(k) = (−1) − (−2) 。 §2 蛛网模型 2.1 问题提出 在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自 由集市上某种商品的价格变化看到如下现象：在某一时期，商品的上市量大于需求，引 起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品；一段时间之后，随着产 量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产； 随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会 反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢？ 2.2 模型假设 （i）设k 时段商品数量为 k x ，其价格为 k y 。这里，把时间离散化为时段，一个时 期相当于商品的一个生产周期。 （ii）同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量，把 ( ) k k y = f x （5） 称之为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低，故可以假 设：需求函数为一个单调下降函数。 （iii）下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把 ( ) k 1 k x = g y + （6） 称之为供应函数。由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调上升 的函数。 2.3 模型求解 在同一个坐标系中做出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于 ( , ) 0 0 0 P x y ，则 P0 为平衡点。因为此时 ( ) 0 0 x = g y ， ( ) 0 0 y = f x ，若某个k ，有 0 x x k = ， 则可推出 0 y y l = ， 0 x x l = ，(l = k,k +1,L) 即商品的数量保持在 0 x ，价格保持在 0 y ，不妨设 1 0 x ≠ x ，下面考虑 k k x , y 在图上的变 化(k = 1,2,L) 。如下图所示，当 1 x 给定后，价格 1 y 由 f 上的 P1
点决定,下一时段的数量x2由g上的P点决定,y2又可由∫上的B点决定。依此类 推,可得一系列的点P(x1,y1),P2(x2,y1),P(x2y2),P4(x3y2),图上的箭头 表示求出P的次序,由图知 lim P(x, y)=P(xo, yo) 即市场经济将趋于稳定 并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定,若给定的∫与g的图形如下图所 示,得出的P3P,…就不趋于P,此时,市场经济趋向不稳定。 上两图中的折线P2,P2P3P3P…形似蛛网,故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中,∫取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平,g取决于 生产者的生产、管理等能力。 当已经知道需求函数和供应函数之后,可以根据∫和g的性质判断平衡点P的稳 定性。利用结论:当|x1-x0|较小时,B点的稳定性取决于∫与g在P点的斜率,即 If(oklo(yo) 时,B点稳定,当 f(x0)||g'(y0) (8) 时,B点不稳定。 这一结论的直观解释是:需求曲线越平,供应曲线越陡,越有利于经济稳定 设a=f(x),=g(y0),在P点附近取∫与g的线性近似,由(5),(6) 式得 196-
-196- 点决定，下一时段的数量 2 x 由 g 上的 P2 点决定， 2 y 又可由 f 上的 P3 点决定。依此类 推，可得一系列的点 ( , ) 1 1 1 P x y ， ( , ) 2 2 1 P x y ， ( , ) 3 2 2 P x y ， ( , ) 4 3 2 P x y ，图上的箭头 表示求出 Pk 的次序，由图知： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y P x y k k = →+∞ ， 即市场经济将趋于稳定。 并不是所有的需求函数和供应函数都趋于稳定，若给定的 f 与 g 的图形如下图所 示，得出的 P1,P2 ,L就不趋于 P0 ，此时，市场经济趋向不稳定。 上两图中的折线 P1P2 ,P2P3 ,P3P4 ,L形似蛛网，故把这种模型称为蛛网模型。在进 行市场经济分析中， f 取决于消费者对某种商品的需要程度及其消费水平， g 取决于 生产者的生产、管理等能力。 当已经知道需求函数和供应函数之后，可以根据 f 和 g 的性质判断平衡点 P0 的稳 定性。利用结论：当| | 1 0 x − x 较小时，P0 点的稳定性取决于 f 与 g 在 P0 点的斜率，即 当 | '( ) | | '( ) | 0 0 f x g y （8） 时， P0 点不稳定。 这一结论的直观解释是：需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。 设 | '( ) | 0 α = f x ， | '( ) | 1 0 = g y β ，在 P0 点附近取 f 与 g 的线性近似，由（5），（6） 式得
(9) xo=B(x-yo) 上两式中消去y,得 xkl=-aBxx +(1+ap)xo (11) (11)式对k=1,2,…均成立,有 Bxx+(1+aB)xo CaB)xk=(-aB)xk+(-aB)(1+aB)xo (-aB) (-aB)x2=(-aB)x1+(-aB)-(1+aB 以上k个式子相加,有 x=(-aB)x1+(1+aB)x0[+(-aB)+…+(-aB)-1 (-aB)2x1+[1-(-aB)4]x0 此为(11)式的解 若P是稳定点,则应有 结合(12)式考虑,B点稳定的条件是 (13) 同理,P点不稳定的条件是 ab>1 (14) 此时,imx+1=∞。这与(7),(8)式是一致的。 24模型的修正 在上面模型假设的第(ⅲi)点中引进了供应函数,并且知道g取决于管理者的生产、 管理水平。如果生产者的管理水平更高一些,他们在决定该商品生产数量x1时,不仅 考虑了前一时期的价格ν,而且也考虑了价格yx。为了简化起见,不妨设xk+1由 (yk+yk-1)决定,则供应函数可写成
-197- ( ) 0 0 y y x x k − = −α k − （9） ( ) 1 0 0 x x y y k + − = β k − （10） 上两式中消去 k y ，得 1 0 x x (1 )x k + = −αβ k + +αβ （11） （11）式对k = 1,2,L均成立，有 1 0 x x (1 )x k + = −αβ k + +αβ 1 0 2 ( )x ( ) x ( )(1 )x −αβ k = −αβ k − + −αβ +αβ 0 2 2 3 1 2 ( ) x ( ) x ( ) (1 )x −αβ k − = −αβ k − + −αβ +αβ ……………………………………………… 0 2 2 1 3 2 ( ) x ( ) x ( ) (1 )x k k k −αβ = −αβ + −αβ +αβ − − − 0 1 2 1 1 ( ) x ( ) x ( ) (1 )x k k k −αβ = −αβ + −αβ +αβ − − 以上k 个式子相加，有 1 0 1 1 0 ( ) [1 ( ) ] ( ) (1 ) [1 ( ) ( ) ] x x x x x k k k k k αβ αβ αβ αβ αβ αβ = − + − − = − + + + − + + − L − （12） 此为（11）式的解。 若 P0 是稳定点，则应有： 1 0 lim x x k k + = →+∞ 结合（12）式考虑， P0 点稳定的条件是 αβ 1 （14） 即 β α 1 > 此时， + = ∞ →+∞ 1 lim k k x 。这与（7），（8）式是一致的。 2.4 模型的修正 在上面模型假设的第（iii）点中引进了供应函数，并且知道 g 取决于管理者的生产、 管理水平。如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定该商品生产数量 k +1 x 时，不仅 考虑了前一时期的价格 k y ，而且也考虑了价格 k −1 y 。为了简化起见，不妨设 k +1 x 由 ( ) 2 1 k + k −1 y y 决定，则供应函数可写成
xk+1=8(yk+yk-1) 在P附近取线性近似,则有 xk+1-x0=(y4+yk-1-2y0) (15) 由(9)式有 y=yo -a(xg-x k-1=y0-a(xk-1-x) 将上两式代入(15)式,整理得 2xk+1+ak+afxk1=(1+aB)x,(k=2,3,…) 这是一个二阶线性差分方程,其特征方程为 22+aB+aB=0 经计算,可得其特征根 -aB±√(aB)2-8aB (16) 4 结论:若方程的特征根均在单位圆内,即|A1k1,|2k1,则P为稳定点。 当a>8时,(16)式有两个实根,因 B-v(aB)-8aB aB 2 则有2卜2,故此时P不是稳定点 当a<8时,(16)式有两个共轭复根,此时 A=1(4(4V8aB-(a 4 要使尸为稳定点,只需 与(13)式相比,a与β的范围扩大了。这是由于经营者经营管理水平的提高带来的 结果。 §3商品销售量预测 在利用差分方程建模硏究实际问题时,常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟 合出差分方程的系数。其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根。对问题的进一步研究 又常需考虑到随机因素的影响,从而用到相应的概率统计知识。 例4某商品前5年的销售量见表。现希望根据前5年的统计数据预测第6年起该 商品在各季度中的销售量。 份 第一年第二年第三年第四年第五年 13 16
-198- ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + − ( ) 2 1 k 1 k k 1 x g y y 在 P0 附近取线性近似，则有 ( 2 ) 2 1 0 1 0 x x y y y k + − = k + k − − β （15） 由（9）式有 ( ) 0 0 y y x x k = −α k − ( ) 1 0 1 0 y y x x k − = −α k − − 将上两式代入（15）式，整理得 1 1 0 2x x x (1 )x k + +αβ k +αβ k − = +αβ ，(k = 2,3,L) 这是一个二阶线性差分方程，其特征方程为 2 0 2 λ +αβλ +αβ = 经计算，可得其特征根 4 ( ) 8 2 1,2 αβ αβ αβ λ − ± − = （16） 结论：若方程的特征根均在单位圆内，即| | 1 λ1 8时，（16）式有两个实根，因 4 4 ( ) 8 2 2 αβ αβ αβ αβ λ ，故此时 P0 不是稳定点。 当αβ < 8 时，（16）式有两个共轭复根，此时 2 8 ( ) 4 1 4 | | 2 1 2 2 2 1,2 αβ αβ αβ αβ λ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 要使 P0 为稳定点，只需 αβ < 2 与（13）式相比，α 与 β 的范围扩大了。这是由于经营者经营管理水平的提高带来的 结果。 §3 商品销售量预测 在利用差分方程建模研究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟 合出差分方程的系数。其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根。对问题的进一步研究 又常需考虑到随机因素的影响，从而用到相应的概率统计知识。 例 4 某商品前 5 年的销售量见表。现希望根据前 5 年的统计数据预测第 6 年起该 商品在各季度中的销售量。 年份 季度 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 1 2 11 12 13 15 16 16 18 20 24 25
3 14 17 从表中可以看出,该商品在前5年相同季节里的销售量呈增长趋势,而在同一年中 销售量先增后减,第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的 销售情况,根据本例中数据的特征,可以用回归分析方法按季度建立四个经验公式,分 别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如,如认为第一季度的销售量大体按线性增 长,可设销售量y=at+b,由 x=[[1:5]',ones(5,1)];y=[1112131516]";z=x\y 求得a=(1)=1.3,b=2(2)=95。 根据y=1.31+9.5,预测第六年起第一季度的销售量为y)=173 y=186,…。由于数据少,用回归分析效果不一定好 如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增 长的,则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例,为简单起见不再引入上杉 以y表示第t年第一季度的销售量,建立形式如下的差分公式 y=a1y-1+a2 y,=a1 等等 上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合,较为合理的办法是用最小二 乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立二阶差分方程y=a1y1+a2y1-2+a3为例, 取 使 ∑D,-(ay-1+a2y12+a3 最小。编写 Matlab程序如下: 0=[1112131516] y=y0(3:5);x=[y0(2:4),y0(1:3),ones(3,1)] 求得a1=(1)=-1,a2=2(2)=3,a3=2(3)=-8。即所求二阶差分方程为 y1=-y-1+3y1-2-8 虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合,但这只是一个巧合。根据这一方程, 可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值y6=21,y=19,…等。 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程,虽然其系数与前5年第 季度的统计数据完全吻合,但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉,第六年估计值明 显偏高,第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析,不难看出,如分别对每一季 度建立一差分方程,则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大,但对同一种商品, 这种差异应当是微小的,故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。为此, 将季度编号为=1,2…,20,令y=a1y-4+a2或y=a1y14+a2y8+a3等,利用 全体数据来拟合,求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例,为求a1,a2a3使得
-199- 3 4 25 26 27 30 32 12 14 15 15 17 从表中可以看出，该商品在前 5 年相同季节里的销售量呈增长趋势，而在同一年中 销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的 销售情况，根据本例中数据的特征，可以用回归分析方法按季度建立四个经验公式，分 别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增 长，可设销售量 yt = at + b (1) ，由 x=[[1:5]',ones(5,1)];y=[11 12 13 15 16]';z=x\y 求得a = z(1) = 1.3 ，b = z(2) = 9.5。 根 据 1.3 9.5 (1) yt = t + ，预测第六年起第一季度的销售量为 17.3 (1) y6 = ， 18.6 (1) y7 = ，…。由于数据少，用回归分析效果不一定好。 如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增 长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简单起见不再引入上标， 以 t y 表示第t 年第一季度的销售量，建立形式如下的差分公式： 1 1 a2 y a y t = t− + 或 1 1 2 2 a3 y a y a y t = t− + t− + 等等。 上述差分方程中的系数不一定能使所有统计数据吻合，较为合理的办法是用最小二 乘法求一组总体吻合较好的数据。以建立二阶差分方程 1 1 2 2 a3 y a y a y t = t− + t− + 为例， 选取 1 2 3 a ,a ,a 使 ∑= − − + − + 5 3 2 1 1 2 2 3 [ ( )] t yt a yt a yt a 最小。编写 Matlab 程序如下： y0=[11 12 13 15 16]'; y=y0(3:5);x=[y0(2:4),y0(1:3),ones(3,1)]; z=x\y 求得 (1) 1 a1 = z = − ， (2) 3 a2 = z = ， a3 = z(3) = −8 。即所求二阶差分方程为 yt = −yt−1 + 3yt−2 −8 。 虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程， 可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值 y6 = 21， y7 = 19 ，…等。 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 5 年第一 季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明 显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季 度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品， 这种差异应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。为此， 将季度编号为t = 1,2,L,20 ，令 1 4 a2 y a y t = t− + 或 1 4 2 8 a3 y a y a y t = t− + t− + 等，利用 全体数据来拟合，求拟合得最好的系数。以二阶差分方程为例，为求 1 2 3 a ,a ,a 使得
Q(a, a2,a, )=2I,-(a,y-4+a2yi-8+a3) 最小,编写 Matlab程序如下 0=[1116251212182614132027151524301516253217] y=y0(9:2 x=[y0(5:16),y0(1:12),ones(12,1)]; z=x\y 求得a1=(1)=0.8737,a2=2(2)=0.1941,a3=x(3)=06957,故求得二 阶差分方程 y1=0.8737y,4+0.1941y8+06957,(t≥21) 根据此式迭代,可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为 y21=17.5869,y25=19.1676 还是较为可信的。 §4遗传模型 随着人类的进化,人们为了揭示生命的奥妙,越来越重视遗传学的研究,特别是遗 传特征的逐代传播,引起人们更多的注意。无论是人,还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲的基因,形成自己的基因对,基因对将确定 后代所表现的特征。下面,我们来研究两种类型的遗传:常染色体遗传和x-链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。 41常染色体遗传模型 常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对, 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的,那么 就有三种基因对,记为AA,Aa,aa。例如,金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色,基 因型是AA的金鱼草开红花,Aa型的开粉红色花,而aa型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是AA或Aa的人,眼睛为棕色,基因型 是aa的人,眼睛为蓝色。这里因为A和Aa都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因a,也可以认为基因a对于A来说是隐性的。当一个亲体的基因型为Aa,而 另一个亲体的基因型是aa时,那么后代可以从aa型中得到基因a,从Aa型中或得到 基因A,或得到基因a。这样,后代基因型为Aa或aa的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合,以及其后代形成每种基因型的概率,如下表所示 父体一母体的基因型 AA-AA AA-Aa AA-aa Aa- Aa Aa-aa aa-aa 后代LA4 基因Aa 0 2 1/2 1/2 0 型 0 0 0 1/4 1/2 例5农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和a。农场计划采用AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后,这种植物的任 一代的三种基因型分布如何? (a)假设 令n=0,1
-200- ∑= = − − + − + 20 9 2 1 2 3 1 4 2 8 3 ( , , ) [ ( )] t Q a a a yt a yt a yt a 最小，编写 Matlab 程序如下： y0=[11 16 25 12 12 18 26 14 13 20 27 15 15 24 30 15 16 25 32 17]'; y=y0(9:20); x=[y0(5:16),y0(1:12),ones(12,1)]; z=x\y 求得 (1) 0.8737 a1 = z = ， (2) 0.1941 a2 = z = ， a3 = z(3) = 0.6957 ，故求得二 阶差分方程 yt = 0.8737yt−4 + 0.1941yt−8 + 0.6957 ，(t ≥ 21) 根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为 17.5869 y21 = ， y25 = 19.1676 还是较为可信的。 §4 遗传模型 随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。 4.1 常染色体遗传模型 常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。 父体—母体的基因型 AA − AA AA − Aa AA − aa Aa − Aa Aa − aa aa − aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 后代 基因 型 aa 0 0 0 1/4 1/2 1 例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？ （a）假设 令n = 0,1,2,L
(i)设an,b和cn分别表示第n代植物中,基因型为A4,Aa和aa的植物占植物 总数的百分率。令xm)为第n代植物的基因型分布 a, b, c,] 当n=0时 ao b 表示植物基因的初始分布(即培育开始时的分布),显然有 (i)第n代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过上面的表格确定的。 (b)建模 根据假设(ⅱi),先考虑第n代中的A型。由于第n-1代的AA型与AA型结合, 后代全部是AA型;第n-1代的Aa型与AA型结合,后代是AA型的可能性为;而 第n-1代的aa型与A型结合,后代不可能是AA型。因此当n=12,…时 bn-1+0·cn 即 类似可推出 b (18) 0 (19) (17),(18),(19)式相加,得 -1cn-1 根据假设(i),有 b+Cn=ao+b+Co=l 对于(17),(18),(19)式,我们采用矩阵形式简记为 x(m)=Mx(m-1),n=1.2 其中 000 由(20)式递推,得 x(n)=Mx(-=M2x0 (21) (21)式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系
-201- （i）设an bn , 和 n c 分别表示第n 代植物中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物占植物 总数的百分率。令 (n) x 为第n 代植物的基因型分布： [ ]T n n n n x = a b c ( ) 当n = 0时 [ ]T x a b c 0 0 0 (0) = 表示植物基因的初始分布（即培育开始时的分布），显然有 a0 + b0 + c0 = 1 （ii）第n 代的分布与第n −1代的分布之间的关系是通过上面的表格确定的。 （b）建模 根据假设（ii），先考虑第n 代中的 AA型。由于第n −1代的 AA型与 AA型结合， 后代全部是 AA型；第n −1代的 Aa 型与 AA型结合，后代是 AA型的可能性为 2 1 ；而 第n −1代的aa 型与 AA型结合，后代不可能是 AA型。因此当n = 1,2,L时 1 1 0 1 2 1 1 − − − = ⋅ + + ⋅ n n n n a a b c 即 1 1 2 1 an = an− + bn− （17） 类似可推出 1 1 2 1 n = n− + n− b b c （18） cn = 0 （19） 将（17），（18），（19）式相加，得 n + n + n = n−1 + n−1 + n−1 a b c a b c 根据假设（i），有 an + bn + cn = a0 + b0 + c0 = 1 对于（17），（18），（19）式，我们采用矩阵形式简记为 ( ) ( −1) = n n x Mx ，n = 1,2,L （20） 其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 2 1 0 0 2 1 1 M 由（20）式递推，得 ( ) ( 1) 2 ( 2) (0) x Mx M x M x n n n n = = = = − − L （21） （21）式给出第n 代基因型的分布与初始分布的关系