延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第三章 随机变量的数字特征 3.7 协方差及相关系数

第七节协方差及相关系数 协方差 相关系数

第七节 协方差及相关系数 协方差 相关系数

前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差, 对于二维随机变量(X,Y),我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外,还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征,这就是本讲要讨论的 协方差和相关系数

前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征，这就是本讲要讨论的 协方差和相关系数

D(X+Y)=E{(X+1)-E(X+Y)} E{[(X-E(X)+(Y-E(Y)} =EILX-E(XP+[Y-E(Y)P+2[X-E(XILY-E(YIA E{[X-E(X)}+E{Y-E(Y)2}+2{E[X-E(X)y-E(Y) D(X)+D()+2ELX-E(XILY-E(nI

D(X +Y) 2 = + − + E X Y E X Y {[( ) ( )] } 2 = − + − E X E X Y E Y {[( ( )) ( ( )] } 2 2 = − + − + − − E X E X Y E Y X E X Y E Y {[ ( )] [ ( )] 2[ ( )][ ( )]} 2 2 = − + − + − − E X E X E Y E Y E X E X Y E Y {[ ( )] } {[ ( )] } 2{ [ ( )][ ( )]} = + + − − D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]}

、协方差 1定义E{XE(X川YE(功称为随机变量X和Y 的协方差(相关矩),记为c0w(X,Y,即 cOv(X,=E{X-E(O川YE( 特别地cov(Y,X)=E{[IX-E(X)}D(X)

E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量X和Y 的协方差(相关矩),记为cov(X,Y) ，即 一、协方差 cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义 特别地 cov(X, X) 2 = − E X E X {[ ( )] }= D(X)

2.计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质,可得 COVX,=EIX-E(XIIY-E(YI FEXY-XE(Y-YE(X+E(XE(Y E(XY-E(E(Y-E(YE(X+E(XE(Y FE(XY-E(XE(Y 即[cowx,YE(XYE(E(Y

cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 2. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 =E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]

3独立与不相关 定理2若X与Y独立,cov(X,Y)=0 注1:当cov(X,Y)=0时,称X与Y不相关

定理2 若X 与 Y 独立，cov(X,Y)= 0 . 注1：当cov(X,Y)= 0时，称X 与 Y 不相关 3. 独立与不相关

例1 求cov(X, 0 0 1/3 0 1/3 解:E(X)=1-+1.=2B(Y)=(-1)-1+1=0 33 E(XY=(-1)1·。+1·1·=0 COV(,Y=E(XD-E(XE(Y=0 注2:X与Y独立一定不相关但不相关不一定独立

例1 求cov(X,,Y) 解： E(XY) = cov(X,Y) Y X -1 0 1 0 0 1/3 0 1 1/3 0 1/3 3 2 3 1 1 3 1 E(X ) =1 +  = 0 3 1 1 3 1 E(Y) = (−1) +  = 0 3 1 1 1 3 1 (−1)1 +   = =E(XY)-E(X)E(Y)=0 注2：X 与 Y 独立一定不相关但不相关不一定独立

4、方差与协方差 D(X+Y=EL(X+r)-E(X+F) E{[(X-E(X)+(Y-E(Y)} =EILX-E(XP+[Y-E(Y)P+2[X-E(XILY-E(YIA EALX-E(X+ELY-E(]+2ELX-E(XILY-E(n D(X)+D(r)+2ELX-E(XILY-E(nI =D(X)+D(Y±2cou(X,Y

D(X +Y) 2 = + − + E X Y E X Y {[( ) ( )] } 2 = − + − E X E X Y E Y {[( ( )) ( ( )] } 2 2 = − + − + − − E X E X Y E Y X E X Y E Y {[ ( )] [ ( )] 2[ ( )][ ( )]} 2 2 = − + − + − − E X E X E Y E Y E X E X Y E Y {[ ( )] } {[ ( )] } 2{ [ ( )][ ( )]} = + + − − D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]} 4、方差与协方差 =D(X)+D(Y)+2cov(X,Y) _ _ _ _ _ _ _ _

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间 的关系,但它是有量纲的量,为了克服这一缺点, 考虑标准化的随机变量 Y) X X-E(X RRY-EC D( D(Y 的协方差,称之为随机变量X与Y的相关系数,记作 R(X,Y)

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间 的关系，但它是有量纲的量，为了克服这一缺点， 考虑标准化的随机变量 D(Y) Y - E Y Y D(X) X - E X X * * ( ) ( ) = ， = 的协方差，称之为随机变量X与Y的相关系数，记作 R(X,Y)

=-E(X) Y Y-E(Y DA DY 因为E(X)=E(Y)=0 R(X, Y)=COV(X,Y)=E(XY)-E(X DE() X-E(XY-E(r =E(XYFE DO) DY EX-E(X川ⅣY-E(Dcov(X,Y D(x√D( D(X√D(Y

( ) = ( ) = 0, * * 因为E X E Y R(X,Y ) D(Y) Y - E Y Y D(X) X - E X X * * ( ) ( ) = ， = ( , ) * * = cov X Y ( ) ( ) * * * * = E X Y − E X )E(Y ( ) * * = E X Y         =  D(Y) Y - E Y D(X) X - E X E ( ) ( ) D(X) D(Y) E{[X - E(X)][Y - E(Y)]} = D(X) D(Y) cov(X,Y ) =