习题课(三)
习题课 (三)
内容小结 、数学期望(一维、二维、函数的期望、性质) 2、方差(定义、计算、性质) 3、常见的随机变量的期望、方差(0-1分布、二项分 布、泊松分布、均匀分布、指数分布) 4、原点矩、中心矩 5、协方差、相关系数 6、切比雪夫不等式 7、大数定律
1、数学期望（一维、二维、函数的期望、性质） 3、常见的随机变量的期望、方差（0-1分布、二项分 布、泊松分布、均匀分布、指数分布） 2、方差（定义、计算、性质） 4、原点矩、中心矩 5、协方差、相关系数 6、切比雪夫不等式 7、大数定律 一、内容小结
习题选讲 1、设离散随机变量X的概率函数为 3 p(x,) 238 试计算:E(X),E(x),E(-2X+1),D(X) 习题课三
习题课三 1、 设离散随机变量X 的概率函数为 X -1 0 2 3 1 1 3 1 ( ) 8 4 8 4 i p x 试计算： ( ) ( ) ( ) 3 E X E X E X D X , , 2 1 , ( ) − + 二、习题选讲
0 3求E(X)E(x3) E(-2x+1),D(X) 4 解:E(x)=(-1) 23838 -+0×—+2×-+3× 48 ELX3 )=(1)×+0×+22+3x 77 48 E(2X+12=3×1+1×2+(3)x3+(5)×=-7 或E(-2X+1)=-2E(X)+> 4 e(x)=(×1+x+2x32+3×x=31; 127 D(X)=E(X2)-[E(X)]= 64 习题课三
习题课三 X -1 0 2 3 1 1 3 1 ( ) 8 4 8 4 p xi ( ) ( ) ( ) 3 , , 2 1 , ( ) E X E X E X D X − + 求 ( ) ( ) ; 8 11 4 1 3 8 3 2 4 1 0 8 1 解： E X = −1 + + + = ( ) ( ) 3 3 3 3 3 1 1 3 1 77 1 0 2 3 ; 8 4 8 4 8 E X = − + + + = ( ) ( ) ( ) 4 1 5 8 3 3 4 1 1 8 1 E − 2X +1 = 3 + + − + − . 4 7 = − ( ) ( ) 7 2 1 2 1=- 4 或E X E X − + = − + ( ) ( ) ; 8 31 4 1 3 8 3 2 4 1 0 8 1 1 2 2 2 2 2 E X = − + + + = 2 2 127 ( ) ( ) [ ( )] 64 D X E X E X = − =
2x0<x<1 2、设随机变量X的概率密度f(x) 0其它 求E(X),E(cosX),D(X) AF: E(X)= f(x)dx=x.2xdr= -r-2 +Oo + E(cos X) cos Xt(xax COS x. 2xdx=2 xdsinx 0 0 2xsin x-2 sin xdx=2 sin 1-2 cos x =2 sin1-2 cos1+2 0 E(X2)=x'f(x)dx=J x2.2xdx=x D(X)=E(X2)-[E(X) 2(3)18 习题课三
习题课三 2、设随机变量X的概率密度 求E X E X D X ( ), (cos ), ( ) 解: 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 (cos ) cos ( )d cos 2 d 2 dsin 2 sin 2 sin d 2sin1 2cos 2sin1 2cos1 2 E X xf x x x x x x x x x x x x + − = = = = − = − = − + 1 1 2 2 2 4 0 0 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 E X x f x dx x xdx x + − = = = = 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] = − 2 1 2 1 2 3 18 = − = 1 1 3 0 0 2 2 ( ) ( )d 2 d 3 3 E X xf x x x x x x + − = = = = 2 0 1 0 x x f x = 其它 ( )
3、设随机变量(X,Y)的联合如下,求cop(X,,R(X,Y) 0.150.15 0.450.25 解:E(X)=00.15+00.15+1045+10.25=0.7 E(Y)=10.15+10.45+20.15+20.25=1.4, E(XY)=0·10.1540.20.15+11.0.45+1·20.25=095 COv(X,Y=E(XY-E(XE(Y=-003 习题课三
习题课三 3、 设随机变量(X , Y )的联合如下，求cov(X,Y),R(X,Y) X Y 1 2 0 0.15 0.15 1 0.45 0.25 E XY ( ) =0 1 0.15 + 0 2 0.15 + 1 1 0.45+ 1 2 0.25= 0.95 解: E X( ) 0 0.15 0 0.15 1 0.45 1 0.25 0.7, = + + + = cov X Y E XY E X E Y ( , ) ( ) ( ) ( ) 0.03 = − = − E Y( ) 1 0.15 1 0.45 2 0.15 2 0.25 1.4, = + + + =
2 0150.15 0450.25 解:E(X)=00.15+00.15+10.45+1025=07 E(Y)=1.0.15+10.45+20.15+2.0.25=1.4, E(XY)=0·10.15+0·20.15+1.1.0.45+1·2.0.25=0.95 COV(X, Y=E(XY -E(XE()=-003 E(X2)=020.15+020.15+120.45+120.25=07, D(X)=E(X2)-[E(X)]=0.21 E(Y2)=120.15+12.045+20.15+20.25=22, D(Y)=E(Y2)-[E(Y)2=0.24, R(X,) cov(X,Y) 0.03 14 ≈-0.134 D(X)√D(Y)√0.21√v02428 习题课三
习题课三 X Y 1 2 0 0.15 0.15 1 0.45 0.25 E XY ( ) =0 1 0.15 + 0 2 0.15 + 1 1 0.45+ 1 2 0.25= 0.95 解: E X( ) 0 0.15 0 0.15 1 0.45 1 0.25 0.7, = + + + = cov X Y E XY E X E Y ( , ) ( ) ( ) ( ) 0.03 = − = − E Y( ) 1 0.15 1 0.45 2 0.15 2 0.25 1.4, = + + + = ( , ) 0.03 14 ( , ) 0.134 ( ) ( ) 0.21 0.24 28 cov X Y RXY D X D Y − = = = − − 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] 0.21, = − = 2 2 2 2 2 E X( ) 0 0.15 0 0.15 1 0.45 1 0.25 0.7, = + + + = 2 2 2 2 2 E Y( ) 1 0.15 1 0.45 2 0.15 2 0.25 2.2, = + + + = 2 2 D Y E Y E Y ( ) ( ) [ ( )] 0.24, = − =
4、设X,的联合概率分布为 证明(1)X,Y不相关, 03/83/80(2)x,Y不独立 1/8001/8 解:E(X)=1·0+1·+1·+10+3·+3:0+30+3 88 8 82 E(Y)=00+0·+1·+1.0+2·+20+30+3 88 82 E(XY)=(1×0)×0+(1×1)×x+(1×2)×+(1×3)×0 8 +(3×0)×+(3×1)×0+(3×2)×0+(3×3) 84 cOv(X,Y)=E(XY)-E(XE(Y)=0从而X,Y不相关 习题课三
习题课三 4、 设(X,Y)的联合概率分布为 证明(1)X,Y不相关， (2)X,Y不独立 解: 8 1 (3 1) 0 (3 2) 0 (3 3) 8 1 (3 0) (1 3) 0 8 3 (1 2) 8 3 ( ) (1 0) 0 (1 1) + + + + E XY = + + + 4 9 = X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 3 3 1 1 3 ( ) 1 0 1 1 1 0 3 3 0 3 0 3 , 8 8 8 8 2 E X = + + + + + + + = cov X Y E XY E X E Y ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 = − = 1 3 3 1 3 ( ) 0 0 0 1 1 0 2 2 0 3 0 3 , 8 8 8 8 2 E Y = + + + + + + + = 从而X,Y不相关
4、设(X,的联合概率分布为 证明(1)X,Y不相关, 038380(2)X,Y不独立 1/8001/8 解:X,Y的边缘概率函数分别为 X13 Y 0 23 l3414z)A838381A8 因为P{X=,y=0}=0≠P{X=}P{Y=0}=332, 因此Y,Y不独立 习题课三
习题课三 4、 设(X,Y)的联合概率分布为 证明(1)X,Y不相关， (2)X,Y不独立 解: X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 X Y, 的边缘概率函数分别为 因为P X Y P X P Y { =1, =0} 0 { =1} { =0}=3/32, = X 1 3 p(xi ) 3/4 1/4 Y 0 1 2 3 p(yj ) 1/8 3/8 3/8 1/8 因此X Y, 不独立
5:设e服从[-z,z上的均匀分布,又X=sin0,y=cosθ, 求cOX,),R(X,Y)。 解由题意有f)=320b其它 丌<6<x E(X)=E(sin 0)=sin 0fo(0)de T 1 sin 0d0=0 2丌 E(Y)=E(cos0)=cos efo()de=j cos 0de 2丌 sin 0=0 2 习题课三
习题课三 解 E X( ) = 5：设 服从[− , ]上的均匀分布，又X = sin ，Y = cos ， 求cov X Y R X Y ( , ), ( , )。 − = 0，其它 , 2 1 ( ) 由题意有 f sin ( ) f d + − 1 sin 2 d − = = 0 cos ( ) f d + − E Y( ) = 1 cos 2 d − = 1 sin 2 − = = 0 E(sin ) = E(cos ) =