敏数值积分与教值微分 A 数值积分与数值 微分 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 数值积分与数值 微分 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
敏数值积分与教值微分 第八章数值积分与数值微分 §1求积公式 数值积分 求积公式J(x)=∑4f(x)+E()(82) 其中x∈[a,b称为求积节点,它只与积分区间{a,b 有关,A称为求积系数,它与求积节点x有关,与fx)的 具体表达形式无关.E(称为余项 二、代数精度与插值型求积公式 定义8.1若求积公式(8.,2)对所有次数不超过r次的多项 式均能准确成立(E(f)=0),而至少有一个r+1次多项式 不能准确成立.则称求积公式(8,2)具有r次代数精度 定理8.1对任意给定的n+1个相异节点 2不函 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 22 第八章 数值积分与数值微分 §1 求积公式 一、数值积分 求积公式 0 ( ) ( ) ( ) (8.2) n b j j a j f x dx A f x E f = ò = + å 其中xjÎ[a, b]称为求积节点, 它只与积分区间[a, b] 有关. Aj称为求积系数, 它与求积节点xj有关, 与f(x)的 具体表达形式无关. E(f)称为余项. 二、代数精度与插值型求积公式 定义8.1 若求积公式(8.2)对所有次数不超过r次的多项 式均能准确成立(E( f )=0), 而至少有一个r+1次多项式 不能准确成立. 则称求积公式(8.2)具有r次代数精度. 定理8.1 对任意给定的n+1个相异节点 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值积分与数值微分 a<<x1<.<C<b 总存在相应的求积系数A0,A1,…,An使求积公式(82) 至少具有n次代数精度 插值型求积公式 对被积函数利用插值多项式近似代替的方法来构 造求积公式,以求积节点x为插值节点对fx)进行 Langrange插值有 f(x)=∑/(x)f(x)+ f(m(ξ) n+1 (8.4) n+ 其中(x)=∏X (x-x) i=0, iJj i=0 对(84)两端在[a,b上积分,有 3不 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 33 a£x0<x1<…<xn£b 总存在相应的求积系数A0 , A1 , …, An使求积公式(8.2) 至少具有n次代数精度. 四、插值型求积公式 对被积函数利用插值多项式近似代替的方法来构 造求积公式. 以求积节点xj为插值节点对f(x)进行 Langrange插值有 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.4) ( 1)! n n j j n j f f x l x f x P x n x + + = = + + å 其中 1 0, 0 ( ) , ( ) ( ) n n i j n i i i j i j i x x l x P x x x x x + = ¹ = - = = - Õ Õ - 对(8.4)两端在[a,b]上积分, 有 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
敏数值积分与教值微分 ∫(k=门(x)+5n(x)(85 令 (x)dxj=0,1,2,…,n (n+1) E( (n+E)P 1( PI(x). (n+ (n+ 其中:f(x)∈C+{a,b,Pn1(x)在{a,b上不变号,∈(a,b) n∈{a,b且与有关由8.5)式得求积公式 f(x)d=∑4,(x)+E( 当f(x)∈Mn时,fm+(x)=0.由(8.5)式求积公式具有n次代 数精度 §2 Newton- Cotes公式 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 44 ( 1) 1 0 ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) (8.5) ( 1)! n n b b b j j n a a a j f f x dx l x dx f x P x dx n x + + = = + + ò å ò ò 令 ( ) 0,1,2, , b j j a A = = l x dx j n ò L ò ò + + + + + = + = b a n n b a n n P x dx n f f P x dx n E f ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1)! 1 ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) h x 其中: f(x)ÎCn+1[a, b], Pn+1(x)在[a, b]上不变号, xÎ(a, b), hÎ[a, b]且与x有关由(8.5)式得求积公式 0 ( ) ( ) ( ) n b j j a j f x dx A f x E f = ò = + å 当f(x)ÎMn时, f (n+1)(x)º0. 由(8.5)式求积公式具有n次代 数精度. §2 Newton-Cotes公式 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值积分与数值微分 、 Newton-Cotes公式 将区间|a,bn等分,步长h=(b-a)/n,求积节点为:x=a+ih, i=0,1,2,…,n.令x=a+th, A=l()dx=()'ho j(n-)!J01 ∏(-1),j=0,1,2,…,n(87) 令 (88) b-a nj!(n 称为 Cotes系数,则求积公式可化为 b (n+1) f(x)x=(b-a)∑Cf(x)+ I(x-x(89) n+ 若取(x)=1,由(89)有:∑C=1 j=0 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 55 一、Newton-Cotes公式 将区间[a, b]n等分, 步长h=(b-a)/n, 求积节点为: xi =a+ih, i=0, 1, 2, …, n. 令x=a+th, 0 0, ( 1) ( ) ( ) , 0,1, 2, , (8.7) !( )! n j n b n j j a i i j h A l x dx t i dt j n j n j - = ¹ - = = - = ò ò - Õ L 令 0 0, ( 1) ( ) (8.8) !( )! n j n n j j i i j A C t i dt b a n j n j - = ¹ - = = - - × - ò Õ 称为Cotes系数, 则求积公式可化为 ( 1) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (8.9) ( 1)! n n n b b j j i a a j i f f x dx b a C f x x x dx n h + = = = - + - + ò ò å Õ 若取f(x)≡1, 由(8.9)有: å= º n j Cj 0 1 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值积分与数值微分 常见的 Newton-Cotes公式 1.梯形公式(n=1 近似公式为:(x [f(a)+f(b) 2 截断误差: h E(厂) 12 2. Simpson公式(m=2,抛物形公式) b b +6 f(x)dx f(a)+4f(--)+f(b)](8.10 E(f)=-f4(),n∈(a,b) 3. Cotes公式(m=4) PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 66 常见的Newton-Cotes公式 1. 梯形公式 (n=1) 近似公式为: ( ) [ ( ) ( )] 2 b a b a f x dx f a f b - » + ò 截断误差: 3 ( ) ( ) 12 h E f f = - ¢¢ h 2．Simpson公式 (n=2, 抛物形公式) ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] (8.10) 6 2 b a b a a b f x dx f a f f b - + » + + ò 5 (4) ( ) ( ), ( , ) 90 h E f = - Î f h h a b 3．Cotes公式(n=4) PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
敏数值积分与教值微分 3.Cote公式(n=4) b-a f(x)da [7f(x0)+32f(x1)+12f(x 8h +32f(x)+7f(x1-0f6(m) 945 其中:x=a+i(b-a)4,=0,1,2,3,4 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 479032/9012/9032/907/90 51928875/28850/28850/28875/28819/288 64184021684027840272/8402784021684041/840 当n=8和n≥10时的m阶 Newton- Cotes系数将有正有负 小不 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 77 3．Cotes公式(n=4) 0 1 2 7 (6) 3 4 ( ) [7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 90 8 32 ( ) 7 ( )] ( ) 945 b a b a f x dx f x f x f x h f x f x f h - = + + + + - ò 其中: xi =a+i(b-a)/4, i=0, 1, 2, 3, 4. 6 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840 5 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/288 4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 3 1/8 3/8 3/8 1/8 2 1/6 4/6 1/6 1 1/2 1/2 n 当n=8和n³10时的n阶Newton-Cotes系数将有正有负. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
敏数值积分与教值微分 定理84当n为偶数时,n+1个求积节点的 Newton-Cotes 公式至少具有n+次代数精度 §3复化求积公式 、复化梯形公式 h T ∑|[(x)+f(x1) ∑ [f(x)+f(x+1 =02 f(a)+2∑f(x)+f(b) (8.16 ∑f(x (8.17) Tn=T+U, (8.18 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 88 定理8.4 当n为偶数时, n+1个求积节点的Newton-Cotes 公式至少具有n+1次代数精度. §3 复化求积公式 一、复化梯形公式 1 1 1 1 0 0 1 1 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) (8.16) 2 n n n i i i i i i n i i h h T f x f x f x f x h f a f x f b - - + + = = - = é ù = + = + ê ú ë û é ù = + + ê ú ë û å å å 1 2 1 0 ( ) (8.17) n n i i U h f x - + = = å 2 1 [ ] (8.18) 2 T n = + T U n n PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值积分与数值微分 b-a En(= h2f"(m),n∈(an,b) (8.19) 二、复化 Simpson公式 472n-T1412 821) 4-1 4T-T 4T4n-72 3 En( b-a)h f(η),n∈(a,b)(8.22) 180(2 、复化 Cotes公式 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 99 [ ] 2 1 T4n = T2n +U2n 2 ( ) ( ), ( , ) (8.19) 12 n b a E f h f h h a b - = - Î ¢¢ 二、复化Simpson公式 2 2 4 4 , (8.21) 3 4 1 n n n n n T T T T S - - = = - 4 1 4 3 4 4 2 4 2 2 - - = - = n n n n n T T T T S 4 (4) ( ) ( ) ( ), ( , ) (8.22) 180 2 n b a h E f f h h a b - æ ö = - Î ç ÷ è ø 三、复化Cotes公式 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
敏数值积分与教值微分 42S n 8.23) 42-1 2(b-a)(h EnO) 945(4 n∈(a2b §4 Romberg求积公式 To(h)=7(h) 825) 其中T1(h)是复化 Simpson公式,T(h)是复化 Cotes公式 但对m3时的Tm(h)与 Newton-Cotes公式就没有直接的 联系了,仅是一种递推技巧而已 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值积分与数值微分 1010 2 2 2 4 (8 .2 3) 4 1 n n n S S C - = - 6 2 (6) ( ) ( ) ( ), ( , ) 945 4 n b a h E f f h h a b - æ ö = - Î ç ÷ è ø §4 Romberg求积公式 0 1 1 ( ) ( ) 4 (8.25) ( ) 2 ( ) , 4 1 m m m m m T h T h h T T h T h - - ì = ï ï æ ö í ç ÷ - ï è ø = ïî - 其中T1 (h)是复化Simpson公式, T2 (h)是复化Cotes公式. 但对m³3时的Tm(h)与Newton-Cotes公式就没有直接的 联系了, 仅是一种递推技巧而已. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com