方阵的特征值和特征向量的计箕 A 方阵的特征值和特 征向量的计算 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 方阵的特征值和特 征向量的计算 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
〈方阵的特征值和特征向量的计算 第四章方阵的特征值和特征向量 §1乘幂法 、乘幂法 用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量 定理设矩阵A具有n个线性无关的特征向量x,x2,…,xn 其相应的特征值λ,λ1,…,λ满足 1>12213≥…2入 则对任取的一初始非零向量v由 vk=Avk1=…=A-v,k=1,2, 产生的向量序列{vk}满足 aX (2)im( k→》∞ k→o(Vk)m x是1所对应的特征向量,(vm表示v的第m个分量 2 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 22 第四章 方阵的特征值和特征向量 §1 乘幂法 定理设矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1 , x2 , ··· , xn , 其相应的特征值l1 , l2 , ··· , ln满足 一、乘幂法 则对任取的一初始非零向量v0由 产生的向量序列{vk }满足 用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量. |l1 |>|l2 |³|l3 |³···³|ln | vk =Avk-1= ··· =Akv0 , k=1, 2, ··· 1 1 1 (1) lim k k k v a x ®¥ l = 1 1 ( ) (2) lim ( ) k m k k m v v l + ®¥ = x1是l1所对应的特征向量, (vk )m表示vk的第m个分量. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
〈方阵的特征值和特征向量的计算 注1收敛速度由比值λ21确定,比值越小收敛速度就 越快,比值接近与1,收敛速度就越慢 注2当矩阵的按模最大特征值是重根时,定理的结论仍 然成立 改进的乘幂法 其中max()表示向量v的绝对值(或模)为最大的分量 maX(] A max(A"-vo) max(v,) max(Avo) lim uk Im k→∞ maX(x lim max(vk)=入1 k→∞ max(x1)k→0 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 33 注1 收敛速度由比值|l2 /l1 |确定, 比值越小收敛速度就 越快, 比值接近与1, 收敛速度就越慢. 注2 当矩阵的按模最大特征值是重根时, 定理的结论仍 然成立. 二、改进的乘幂法 其中max(v) 表示向量 v 的绝对值(或模)为最大的分量 0 0 m 0 ax( ) v u v = 0 0 1 1 0 0 , max( ) max( ) max( ) k k k k k k k k k A v v A v v Au u A v v A v - - = = = = 1 1 lim , max( ) k k x u ®¥ x = 1 1 1 lim , max( ) k k x v x l ®¥ = × 1 lim max( ) k k v l ®¥ = PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
B(阵的持征值和特征向量的计 反幂法 反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的 特征向量 只要求出A1的按模最大的特征值,也就求出了A的按 模最小的特征值,及其相应的特征向量 §2 Jacobi方法 Jacobi方法用来求实对称矩阵的所有特征值和相应 的特征向量 经典的 Jacobi方法 经典的 Jacobi方法的特点是每次变换将绝对值最大 的非对角元素化为零 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 44 三、 反幂法 反幂法用来求矩阵A的按模最小特征值及其相应的 特征向量. 只要求出A-1的按模最大的特征值, 也就求出了A的按 模最小的特征值, 及其相应的特征向量. §2 Jacobi方法 Jacobi方法用来求实对称矩阵的所有特征值和相应 的特征向量. 经典的Jacobi方法 经典的Jacobi方法的特点是每次变换将绝对值最大 的非对角元素化为零。 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
阵的特征值和特征向量的计算 计算步骤为 1)首先在4中选择绝对值最大的非对角线元素,设 maxa.≠0 1≠ 选择平面旋转矩阵S1=S(i,i)使T1=S1AS1的非对角线 元素 )=0 (2)再在T1中选择绝对值最大的非对角线元素,设 (1) max|t≠0 12J2 ≠ 选择平面旋转矩阵S2=S(i2)使T2=S2T1S2的非对角线 元素 (2)二f( 0 12/2 此时的t1(2)=51(2又可能变换成了非零元素 (3)重复以上过程,直到满足预定精度为止 5 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 55 计算步骤为 (1)首先在A中选择绝对值最大的非对角线元素, 设 1 1 max 0 i j ij i j t a ¹ = ¹ 选择平面旋转矩阵S1 =S(i1 , j1 )使T1 =S1 TAS1的非对角线 元素 1 1 1 1 (1) (1) 0 i j j i t t = = (2)再在T1中选择绝对值最大的非对角线元素, 设 2 2 (1) (1) max 0 i j ij i j t t ¹ = ¹ 2 2 2 2 (2) (2) 0 i j j i t t = = 此时的t i1j1 (2)=t j1i1 (2)又可能变换成了非零元素. 选择平面旋转矩阵S2 =S(i2 , j2 )使T2 =S2 TT1S2的非对角线 元素 (3)重复以上过程, 直到满足预定精度为止. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
〈方阵的特征值和特征向量的计算 Jacobi过关法 经典的 Jacobi方法每次选取的是矩阵中绝对值最大 的非对角元素作为消去对象,需要在所有的非对角线元 素中进行比较选择,计算工作量相当大. Jacobi过关法也 称为“阈” Jacobi方法,是一种改进方法 计算 ∑∑ =lj=1,j≠ (1)设置阈值,也称为“关” ∑∑ i=1j=1,j 扫描矩阵所有非对角线元素,对绝对值小于阈值v1的 元素,就让其过“关”,暂不作处理.对绝对值 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 Jacobi过关法 经典的Jacobi方法每次选取的是矩阵中绝对值最大 的非对角元素作为消去对象, 需要在所有的非对角线元 素中进行比较选择, 计算工作量相当大. Jacobi过关法也 称为“阈”Jacobi方法, 是一种改进方法. 2 0 1 1, n n ij i j j i v a = = ¹ 计算 =å å (1)设置阈值, 也称为“关” 2 1 1, 1 n n ij i j j i a v n = = ¹ = å å 扫描矩阵所有非对角线元素, 对绝对值小于阈值v1的 元素, 就让其过“关” , 暂不作处理. 对绝对值 66 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
〈方阵的特征值和特征向量的计算 大于等于阈值v1的元素,就构造平面旋转矩阵,并利用 旋转变换将其变为零.多次扫描非对角元素,直到所有 的非对角线元素的绝对值都小于阈值v为止 (2)缩小阈值 ∑∑ j=l,j≠i 多次扫描矩阵从(1)所得矩阵的非对角线元素,并做 相应的平面旋转变换.直到所有的非对角线元素的绝 对值都小于阈值v2为止 (k)设置阈值"k n少x≤E8为给定的误差精度 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 77 大于等于阈值v1的元素, 就构造平面旋转矩阵, 并利用 旋转变换将其变为零. 多次扫描非对角元素, 直到所有 的非对角线元素的绝对值都小于阈值v1为止. (2)缩小阈值 2 1 1 1, 2 2 n n ij i j j i a v v n n = = ¹ = = å å 多次扫描矩阵从(1)所得矩阵的非对角线元素, 并做 相应的平面旋转变换. 直到所有的非对角线元素的绝 对值都小于阈值v2为止. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (k)设置阈值 k 1 0 k k v v v n n e - = = £ e为给定的误差精度. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
B(阵的持征值和特征向量的计 §3QR方法 QR方法可以用来求一般矩阵所有特征值 构造一个矩阵序列{4} A=FR k=1.2 RF 4是相似矩阵序列,因此它们具有相同特征值 (1)当取F为下三角矩阵L时,R为上三角矩阵时,就得 到矩阵的LR分解. 包)当取F为正交矩阵Q时,R1为上三角矩阵时,就得 矩阵的QR分解 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
方阵的特征值和特征向量的计算 88 §3 QR方法 QR方法可以用来求一般矩阵所有特征值. 1 1 1, 2, k k k k k k A A A F R k A + R F ì = ï í = = ï î = L 构造一个矩阵序列{Ak } {Ak }是相似矩阵序列, 因此它们具有相同特征值. (1)当取Fk为下三角矩阵L时, Rk为上三角矩阵时,就得 到矩阵的LR分解. (2)当取Fk为正交矩阵Q时, Rk为上三角矩阵时, 就得 到矩阵的QR分解. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com