带微分方程的数值解法) A 常微分方程的数值 解法 主讲:王开荣 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 常微分方程的数值 解法 主讲：王开荣 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
BAA(常微分方程的数值解浅 第九章常微分方程的数值解法 §1引言 考虑常微分方程初值问题 f(x,y),a≤x≤b dx ly(a)=yo (9.1 定理91设常微分方程(9,1)中的二元函数f(x,y)满足 (1)在区域D={(x,y)a≤x≤b,-0-y<+o}上连续 (2)在D上关于y满足 Lipschitz条件,即存在常数L,使 fxy)-f(x,y2)≤Luyl,V(x,y),(x,y)∈D(9.2) 其中L称为 Lipschitz常数则问题(9.1)在区间{a,b上存 在唯一连续可微的解y=y(x) 2 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 22 第九章 常微分方程的数值解法 考虑常微分方程初值问题 0 ( , ), ( ) dy f x y a x b dx y a y ì ï = £ £ í ï î = (9.1) 定理9.1 设常微分方程(9.1)中的二元函数f(x, y)满足 (1)在区域D={(x, y)|a£x£b, -¥<y<+¥}上连续. (2)在D上关于y满足Lipschitz条件, 即存在常数L, 使 其中L称为Lipschitz常数. 则问题(9.1)在区间[a, b]上存 在唯一连续可微的解y=y(x). |f(x,y)-f(x, y * )|£L|y-y * |, "(x, y), (x, y * )ÎD (9.2) §1 引言 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) 数值解法常分为两大类 1)单步法:计算节点x处的近似值y1时只用到了前 面一个点x处的信息 (2)多步法:计算节点x1处的近似值y1时用到了前面 多个点xpx1,…,xp处的信息 定义9.,1若对vy(x)∈M,微分方程的数值解法的计算 公式均准确成立,但至少有一个r+1次的多项式不能准 确成立,则称计算公式是r阶的 记y(x)为准确值,y1为计算的近似值,称 Ty(x+1)-y+1 为近似值y1的局部截断误差 当公式是阶时,有y(x1)y1=Ch r+1 称C为渐进误差常数 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 33 数值解法常分为两大类 (1) 单步法: 计算节点xi+1处的近似值yi+1时只用到了前 面一个点xi处的信息. (2) 多步法:计算节点xi+1处的近似值yi+1时用到了前面 多个点xi , xi-1, ··· , xi-p处的信息. 定义9.1 若对"y(x)ÎMr , 微分方程的数值解法的计算 公式均准确成立, 但至少有一个r+1次的多项式不能准 确成立, 则称计算公式是r 阶的. 记y(xi+1)为准确值, yi+1为计算的近似值, 称 当公式是r阶时, 有 称C为渐进误差常数. 为近似值yi+1的局部截断误差. Ti =y(xi+1)-yi+1 y(xi+1)-yi+1 =Chi r+1 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) §2 Euler方法 Euler方法 设y是y(x)的近似值,则对方程(9.1)有差分方程 ∫yn=y+b(x2y) 94)称为求解初值问题(9,1)的 Euler方法,从(9,3)(94) 可知,E山r方法是一阶的单步显式法 二、改进的Euer法 1.中点方法 差分方程 yH1=y1+2h/(x1,y)(9.5 局部截断误差7 hy"(5)5,∈(x1,x PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 44 §2 Euler 方法 一 、Euler方法 设yi是y(xi )的近似值, 则对方程(9.1)有差分方程 î í ì = + = + ( ) ( , ) 0 1 y y a y y hf x y i i i i (9.4) (9.4)称为求解初值问题(9.1)的Euler方法. 从(9.3) (9.4) 可知, Euler方法是一阶的单步显式法. 二、改进的Euler法 1. 中点方法 差分方程 2 ( , ) i 1 i 1 i i y = y + hf x y + - (9.5) 局部截断误差 3 1 1 ( ), ( , ) 3 i i i i i h T y x x x x - + = Î ¢¢¢ PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) 差分方程(9.5)称为中点公式,中点公式(95)是二步二阶 显式方法 2.梯形方法 差分方程 y#1=y+=[(x12y)+f(x11y+1) 局部截断误差为T=-y"()25∈(x1,x1) 差分方程(96称为梯形公式,它是单步二阶方法由于 (9.6)式的两端均含有y1的信息,它是关于未知量y1的 个隐函数方程,称之为隐式方法 3. Euler预测-校正法 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 55 差分方程(9.5)称为中点公式, 中点公式(9.5)是二步二阶 显式方法. 2. 梯形方法 差分方程 [ ( , ) ( , )] 2 i+1 = i + i i + i+1 i+1 f x y f x y h y y 局部截断误差为 3 1 ( ), ( , ) 12 i i i i i h T y x x x x + = - Î ¢¢¢ 差分方程(9.6)称为梯形公式, 它是单步二阶方法. 由于 (9.6)式的两端均含有yi+1的信息, 它是关于未知量yi+1的 一个隐函数方程, 称之为隐式方法. 3. Euler预测-校正法 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) 将Euer方法求出的解作为初值,再用梯形方法迭代一次 得到的值作为y1的近似值 1=y+bf(x2,y1) (98) yi+lf(x y)+f(xi ,yiDI (9.9) 称(98)为预测式,(99)为校正式 §3 Runge-Kut方法 Runge--Kutt法的基本思想是利用函数fxy)在某 些点上函数值的线性组合来计算y(x1)处的近似值y 四阶经典 Runge-Kut公式 也称为标准四阶 Runge- Kutta方法,它常用来作线性 多步法的启动值计算 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 66 将Euler方法求出的解作为初值, 再用梯形方法迭代一次 得到的值作为yi+1的近似值. 1 1 1 1 ( , ) (9.8) [ ( , ) ( , )] (9.9) 2 i i i i i i i i i i y y hf x y h y y f x y f x y + + + + ì = + ï í = + + ï î 称(9.8)为预测式, (9.9)为校正式. §3 Runge-Kutta方法 Runge-Kutta方法的基本思想是利用函数f(x,y)在某 些点上函数值的线性组合来计算y(xi+1)处的近似值yi+1. 四阶经典Runge-Kutta公式 也称为标准四阶Runge-Kutta方法, 它常用来作线性 多步法的启动值计算 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) y+1=y+(K1+2K2+2K3+K4)y1=y+(K1+2K2+2K3+K4) k=hf(x,y) K=f(x,,y) h K K2=h(x1+,y+ K2=f(x,+o,y+kD 2 2 或 h K K,=hf( K3=f(x1+,y1+K2) 2 K4=h(x1+h,y1+K3) lK4=f(x,+h, y,+hk,) §4线性多步法 Adams- Bashforth公式,四步四阶显式法 h y1=y+2465-=591+372-913)934) 251 hy3(2 (935) 720 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 77 1 1 2 3 4 1 1 2 2 3 4 3 1 ( 2 2 ) 6 ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) 2 2 ( , ) i i i i i i i i i i y y K K K K K hf x y h K K hf x y h K K hf x y K hf x h y K + = + + + + ì = ï ï = + + ï í ï = + + ï ï î = + + 1 1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3 ( 2 2 ) 6 ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) 2 2 ( , ) i i i i i i i i i i h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK + = + + + + ì = ï ï = + + ï í ï = + + ï ï î = + + 或 §4 线性多步法 Adams-Bashforth公式,四步四阶显式法. 1 1 2 3 5 (5) (55 59 37 9 ) (9.34) 24 251 ( ) (9.35) 720 i i i i i i i i h y y f f f f T h y x + = + - - + - - - = PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) Adams- Moulton公式,三步四阶隐式方法 y#1=y+(9f1+19f-5f1+f2) (9.37) 24 hy(2,) (938 实用中常将(9.34)和(9,37)联合起来构成 Adams预测 校正公式 y+1=y+x(55f-59 24 )f1+37f2-9f3) (939) (9f+19f-5f-1+f2) 24 其中f1=f(x1,y1)称第一式为预测公式,第二式为校正 公式,并用经典的四阶 Runge-Kutta作启动值计算 8 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 88 Adams-Moulton公式, 三步四阶隐式方法. 1 1 1 2 (9 19 5 ) (9.37) 24 i i i i i i h y y f f f f + = + + + - + - - 19 5 (5) ( ) (9.38) 720 Ti i = - h y x 实用中常将(9.34)和(9.37)联合起来构成Adams预测— 校正公式 1 1 2 3 1 1 1 2 (55 59 37 9 ) 24 (9.39) (9 19 5 ) 24 i i i i i i i i i i i i h y y f f f f h y y f f f f + - - - + + - - ì = + - + - ïï í ï = + + - + ïî 其中 称第一式为预测公式, 第二式为校正 公式, 并用经典的四阶Runge-Kutta作启动值计算。 1 1 1 ( , ) i i i f f x y + = + + PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(常微分方程的数值解法) 修正的 Adams预测校正法 预测y=y+[55f-591+372-9f=3] 修正 1=0+251 (y-y0) 270 校正V#1=y1+~9f41+19′-5f1+f2 局部截断误差估计为T≈-(y1-y() 270 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
常微分方程的数值解法 99 修正的Adams预测—校正法 预测 [55 59 37 9 ] 24 1 2 3 (0) i+1 = i + i - i- + i- - if f f f h y y 修正 ( ) 270 (0) 251 (0) i 1 i 1 i i y = y + y - y + + 校正 [9 19 5 ] 24 i+1 = i + i+1 + i - i-1 + i-2 f f f f h y y 局部截断误差估计为 (0) 1 1 19 ( ) 270 Ti i i y y » - - + + PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com