第五章数值积分与数值微分 §51数值积分公式 552牛顿科特斯公式 §53复化求积公式回 §54龙贝格求积公式 §55高斯型求积公式 §56数值微分 557数值实验
第五章 数值积分与数值微分 §5.1 数值积分公式 §5.2 牛顿-科特斯公式 §5.3 复化求积公式 §5.4 龙贝格求积公式 §5.5 高斯型求积公式 §5.6 数值微分 §5.7 数值实验
第5章 引盲 如果F(x)是f(x)的一个原函数则可用牛顿-菜布尼兹公式 计算定积分1=Jf(x=F()-F(a) 但在实际计算中常常会碰到一些困难: 201610.17:7时30分, 神州十一载人号飞船成功发射! 引例:计算椭圆周长 o v vsin-t+b2 cos tdt
引言 如 果 F(x)是 f (x) 的一个原函数则可用牛顿-莱布尼兹公式 计算定积分 ( ) ( ) ( ) b a I f x dx F b F a = = − . 但在实际计算中常常会碰到一些困难： 引例：计算椭圆周长 = + 2 0 2 2 2 2 4 sin cos L a t b tdt 2016.10.17:7时30分, 神州十一载人号飞船成功发射! 第 5章
但在实际计算中常常会碰到一些困难: ①有些函数的原函数均不能用初等函数表达; ②∫(x)的原函数表达式太复杂,计算量太大; ③∫(x)没有解析表达式,仅知道它在某些离散点处的值
但在实际计算中常常会碰到一些困难： ①有些函数的原函数均不能用初等函数表达； ② f (x) 的原函数表达式太复杂，计算量太大； ③ f (x) 没有解析表达式，仅知道它在某些离散点处的值
51数值积分公式 、数值积分的基本概念 引例计算Ⅰ=「.edk 积分中值定理 =/ea≈(2-1)×e 困难:计算f()=e
引例 计算 . 2 1 I = e dx x 积分中值定理 5.1 数值积分公式 困难：计算 f () = e 一、数值积分的基本概念
梯形公式 e dy 2-1)×(e+e
梯形公式
数值积分基本形式 机械求积公式 ∫(x)f(x)(x≈∑4f(x) …(5.3) 其中x1称为求积节点,A称为求积系数 假设∫(x)∈Cla,b] 求积公式(53)的截断误差或余项 门=J(x)x24/(x)
0 ( ) ( ) ( ) n b k k a k x f x dx A f x = 数值积分基本形式 其中 k x 称为求积节点， Ak 称为求积系数. 假设 f (x) C[a,b] ……(5.3) 求积公式(5.3)的截断误差或余项 = = − n i i i b a R f f x dx A f x 0 [ ] ( ) ( ) ——机械求积公式
代数精度 定义5.1如果某个求积公式对于次数不超过 m次的项式∫(x)均准确地成立(即RU/=0),但 对于m1次多项式不准确成立,则称该该求 积公式具有m次代数精度. 注:求积公式53)的代数精度为k次等价于 R{x]=0(i=0,1…,k)且(x+1]≠0 即:求积公式具有m次代数精确度的充要条件 是它对于∫(x)=1,x,x2…x"都准确成立,而 对于f(x)=xm不准确成立
定义5.1 如果某个求积公式对于次数不超过 m次的项式f(x)均准确地成立(即R[f]=0)，但 对于m+1次多项式不准确成立，则称该该求 积公式具有m次代数精度. 注:求积公式(5.3)的代数精度为k次等价于 [ ] 0 ( 0,1, , ) i R x i k = = 且 [ ] 0. 1 k+ R x 即: 求积公式具有 m 次代数精确度的充要条件 是它对于 m f (x) 1, x, x , , x = 2 都准确成立，而 对于 1 ( ) + = m f x x 不准确成立. 代数精度
例51判定梯形公式[f(x、b-, b 2/a)+/(6 的代数精度 解分别将∫(x)=1,x,x2代入梯形公式,计算得 b-a (1+1)=0 2 b RIx] (a+b)=0 b b R[x ]= xdx lb(a+6 c-+ ≠0 因此梯形求积公式具有1次代数精度
例 5.1 判定梯形公式 [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x dx b a + − 的代数精度. 解 分别将 2 f (x) =1, x, x 代入梯形公式，计算得 (1 1) 0 2 [1] + = − = − b a R dx b a ( ) 0 2 [ ] + = − = − a b b a R x xdx b a 2 2 2 2 [ ] ( ) 2 b a b a R x x dx a b − = − + 3 3 ( ) 0 6 2 b a ab a b − + = − 因此梯形求积公式具有1次代数精度
例52确定求积系数A和A1,使求积公式 f(xce Aof(1)+Af() 的代数精度尽可能高,并指明其代数精度 解分别令∫(x)=1,x,代入所给求积公式,使公式 精确成立,得 2=A0+A1 0=-A0+A1 所得求积公式为∫,f(x)≈f(-1)+/() 4 对该求积公式因为Rx2]=x2-(-1)2+￥123×0, 所以代数精度为1
例 5.2 确定求积系数 A0 和 A1 ,使求积公式 ( ) ( 1) (1) 0 1 1 1 f x dx A f − + A f − 的代数精度尽可能高,并指明其代数精度. 解 分别令 f (x) = 1, x ,代入所给求积公式，使公式 精确成立, 得 = − + = + 0 1 0 1 0 2 A A A A 0 1 A A = =1 所得求积公式为 ( ) ( 1) (1) 1 1 f x dx f − + f − . 对该求积公式,因为 0 3 4 [ ] [( 1) 1 ] 2 2 1 1 2 2 = − − + = − − R x x dx , 所以代数精度为 1
二、插值型求积公式 在积分区间[a,b上取有限个点a≤x<x1<…<x≤b 作∫(x)的n次插值多项式 Ln(x)=∑f(xk)k(x) DX 其中l4(x)(k=0,,m)为n次插值基函数 X -X 用Ln(x)近似代替被积函数∫(x),则得 ∫/(x)dL(x)=∑f(x)4(x
在积分区间 [a,b] 上取有限个点 a x0 x1 ... xn b 作 f (x) 的n次插值多项式 = = n k n k k L x f x l x 0 ( ) ( ) ( ) 其中 l (x) (k 0,1,...,n) k = 为 n 次插值基函数. 二、插值型求积公式 = − − = n j k j k j j k x x x x l x 0 ( ) 用 L (x) n 近似代替被积函数 f (x) ，则得 = = n k b a k k b a n b a f x dx L x dx f x l x dx 0 ( ) ( ) ( ) ( )