重庆交通大学：《地理数学方法》研究生课程教学资源（教材讲义）第七章灰色系统理论及其应用.pdf_大学文库

171 目录第七章灰色系统理论及其应用 ..........................................................................................172 第一节灰色系统的概念与基本原理.............................................................................172 一、灰色系统理论产生和发展动态.............................................................................172 二、几种不确定方法的比较 ........................................................................................172 三、灰色系统理论的基本概念.....................................................................................173 四、灰色系统理论的基本原理.....................................................................................173 五、灰色系统理论的主要内容及特点.........................................................................173 六、灰数........................................................................................................................174 第二节序列算子与灰色序列生成.................................................................................176 一、冲击扰动系统与序列算子.....................................................................................177 二、缓冲算子公理........................................................................................................177 三、实用缓冲算子的构造 ............................................................................................178 四、均值生成算子........................................................................................................181 五、序列的光滑性........................................................................................................182 六、级比生成算子........................................................................................................182 七、累计生成算子与累减生成算子.............................................................................182 八、灰指数律................................................................................................................183 第三节灰色关联分析....................................................................................................185 一、灰色关联因素和关联算子集.................................................................................186 二、灰色关联公理与灰色关联度.................................................................................187 三、灰色关联分析的应用举例.....................................................................................192 四、广义灰色关联度 ....................................................................................................197 五、灰色相对关联度 ....................................................................................................197 六、灰色综合关联度 ....................................................................................................198 第四节灰色系统模型....................................................................................................202 一、GM(1,1)模型...........................................................................................................203 二、残差 GM(1,1)模型..................................................................................................205 三、灰色系统模型的检验 ............................................................................................209 四、应用举例................................................................................................................210 第五节灰色系统预测....................................................................................................220 一、灰色预测概述........................................................................................................220 二、数列预测................................................................................................................221 三、古树屋边坡变形预测 ............................................................................................223

第七章灰色系统理论及其应用第一节灰色系统的概念与基本原理、灰色系统理论产生和发展动态 1982年,北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文“灰色系统的控制问题”,同年,《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》,这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生 1985灰色系统研究会成立,灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》,同年,英文版国际刊物《灰色系统杂志正式创刊。目前,国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文,许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域,成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题,取得了显著成果二、几种不确定方法的比较概率统计,模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统硏究方法。其硏究对象都具有某种不确定性,是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别,才派生了这三种各具特色的不确定学科概率统计硏究的是“随机不确定”现象,考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本,并服从某种典型分布。模糊数学着重硏究“认识不确定”问题,其硏究对象具有“内涵明确,外延不明确”的特点比如“年轻人”内涵明确,但要你划定一个确定的范围,在这个范围内是年轻人,范围外不是年轻人,则很难办到。灰色系统理论着重研究概率统计,模糊数学难以解决的“小样本,贫信息”不确定性问题, 着重研究“外延明确,内涵不明确”的对象。如到2050年,中国要将总人口控制在15亿到 16亿之间,这“15亿到16亿之间“是一个灰概念,其外延很清楚,但要知道具体数值,则不清楚。表71三种不确定性系统研究方法的比较分析灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列算子频率统计数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重点内涵内涵外延见实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭经验

172 第七章灰色系统理论及其应用第一节灰色系统的概念与基本原理一、灰色系统理论产生和发展动态 1982 年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文“灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。 1985 灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989 海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内 300 多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著 3000 多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。二、几种不确定方法的比较概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到。灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到 2050 年，中国要将总人口控制在 15 亿到 16 亿之间，这“15 亿到 16 亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。表 7.1 三种不确定性系统研究方法的比较分析项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列算子频率统计截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重点内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭经验

三、灰色系统理论的基本概念信息完全明确的系统称为白色系统。信息未知的系统称为黑色系统。部分信息明确,部分不明确的系统称为灰色系统在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。比如:农业方面,农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变,因此很难准确计算农田产量、产值,这是缺乏耕地面积信息:生物防治方面,害虫与天敌间的关系即使是明确的, 但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确,这是缺乏生物间的关联信息:一项土建工程,尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的,可是还很难估计施工进度与质量,这是缺乏劳动力及技术水平的信息:一般社会经济系统,除了输出的时间数据列(比如产值、产量、总收入、总支出等)外,其输入数据列不明确或者缺乏,因而难以建立确定的完整的模型,这是缺乏系统信息:工程系统是客观实体,有明确的“内”、“外”关系(即系统内部与系统外部,或系统本体与系统环境),可以较清楚地明确输入与输出,因此可以较方便地分析输入对输出的影响,可是社会、经济系统是抽象的对象,没有明确的“内”、“外”关系,不是客观实体,因此就难以分析输入(投入)对输出(产出)的影响,这是缺乏“模型信息”(即用什么模型,用什么量进行观测控制等信息)。信息不完全的情况归纳起来有:元素(参数)信息不完全:结构信息不完全;关系信息 (特指“内”、“外”关系)不完全;运行的行为信息不完全。一个商店可看作是一个系统,在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下,可算出该店的盈利大小、库存多少,可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等,这样的系统是白色系统遥远的某个星球,也可以看作一个系统,虽然知道其存在,但体积多大,质量多少,距离地球多远,这些信息完全不知道,这样的系统是黑色系统人体是一个系统,人体的一些外部参数(如身高、体温、脉搏等)是已知的,而其他些参数,如人体的穴位有多少,穴位的生物、化学、物理性能,生物的信息传递等尚未知道透彻,这样的系统是灰色系统显然,黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统,因为任何系统总有未确知的部分,也没有绝对的黑色系统,因为既然一无所知,也就无所谓该系统存在四、灰色系统理论的基本原理差异信息原理:“差异”即信息,凡信息必有差异解的非唯一性原理:信息不完全,不确定的解是非唯一的最少信息原理:灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息认知根据原理:信息是认知的根据。新信息优先原理:新信息对认知的作用大于老信息灰性不灭原理:“信息完全”是相对的,信息不完全”是绝对的五、灰色系统理论的主要内容及特点灰色系统理论经过多年的发展,现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要

173 三、灰色系统理论的基本概念信息完全明确的系统称为白色系统。信息未知的系统称为黑色系统。部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难准确计算农田产量、产值，这是缺乏耕地面积信息；生物防治方面，害虫与天敌间的关系即使是明确的，但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是缺乏生物间的关联信息；一项土建工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内”、“外”关系（即系统内部与系统外部，或系统本体与系统环境），可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输入对输出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内”、“外”关系，不是客观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么量进行观测控制等信息）。信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息（特指“内”、“外”关系）不完全；运行的行为信息不完全。一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在。四、灰色系统理论的基本原理差异信息原理：“差异”即信息，凡信息必有差异。解的非唯一性原理：信息不完全，不确定的解是非唯一的。最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息”。认知根据原理：信息是认知的根据。新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。灰性不灭原理：“信息完全”是相对的,“信息不完全”是绝对的。五、灰色系统理论的主要内容及特点灰色系统理论经过多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。其主要

内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系;以灰色序列生成为基础的方法体系;以灰色关联空间为依托的分析体系:以灰色模型(GM)为核心的模型体系以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色系统的特点:灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统为研究对象 (1)用灰色数学来处理不确定量,使之量化在数学发展史上,最早研究的是确定型的微分方程,即在拉普拉斯决定论框架内的数学他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值,就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概率论与数理统计,用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清晰界限的事物,如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等,它通过隶属函数来使模糊概念量化,因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及著干人文科学。灰色系统理论则认为不确定量是灰数,用灰色数学来处理不确定量,同样能使不确定量予以量化。 1,2,3 不确定量量化(用确定量的方法研究) 1、概率论与数理统计;2、模糊数学;3、灰色数学(灰色系统理论) (2)充分利用己知信息寻求系统的运动规律。研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法,它能利用时间序列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程,而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程,通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化,从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。这样,对某些大系统和长期预测问题,就可以发挥作用。 (3)灰色系统理论能处理贫信息系统灰色预测模型只要求较短的观测资料即可,这和时间序列分析,多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。因此,对于某些只有少量观测数据的项目来说,灰色预测是一种有用的工具六、灰数灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。在应用中,灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用记号“⑧”表示灰数。灰数有以下几类 1)仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为②∈[a,∞],其中a是灰数⑧的下确界, 是确定的数,我们称[a,∞]为⑧的取数域,简称②的灰域 2)仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为⑧∈[-∞,a,其中a是灰数⑧的上确界,是确定的数。 3)区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数,记为②∈[a,a]

174 内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系；以灰色序列生成为基础的方法体系；以灰色关联空间为依托的分析体系；以灰色模型（GM）为核心的模型体系；以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色系统的特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小样本”、“贫信息”不确定型系统为研究对象。（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。不确定量量化（用确定量的方法研究） 1、概率论与数理统计； 2、模糊数学； 3、灰色数学（灰色系统理论）（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。（3）灰色系统理论能处理贫信息系统。灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。六、灰数灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用记号“ ”表示灰数。灰数有以下几类： 1)仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为  ∈ [ , ] a −  ，其中 a 是灰数  的下确界，是确定的数，我们称 [ , ] a −  为  的取数域，简称  的灰域。 2)仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为  ∈ [ , ] a − − ，其中 a −− 是灰数  的上确界，是确定的数。 3)区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为  ∈ [ , ] a a −− −− 1，2，3

178 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.5）称 D 为序列算子，称 XD 为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的，若 1 2 3 D D D , , 都是序列算子，我们称 DD1 2 为二阶算子，并称 1 2 1 2 1 2 1 2 XD D x d d x d d x n d d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.6）为二阶算子作用序列，同理， D D D 1 2 3 为三阶序列算子…… 定义 2.2.3 称下述三公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子 D 称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶……缓冲算子作用序列称为一阶，二阶，三阶……缓冲序列。公理 1（不动点公理）设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统行为数据系列，D 为序列算子，则 D 满足 x n d x n ( ) ( ) = 。不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据 xn( ) 保持不变。根据定性分析的结论，亦可使 xn( ) 以后的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如，令 x j d x j x i d x i ( ) ( ) ( ) ( )  = 且（7.7）其中, 1,2 , 1 , 1, , . j k i k k n = − = + 公理 2.（信息充分利用公理）系统行为数据序列 X 中的每一个数据 x k k ( ), 1,2, = ，都要充分地参与算子的作用全过程。公理 3（解析化、规范化公理）任意的 x k d k ( ) ,( 1,2, ) = ，皆可由一个统一的 x x x n (1), (2), , ( ) 的初等解析式表达。定义 2.2.4 设 X 为原始数据序列，D 为缓冲算子，当 X 分别为增长序列，衰减序列或振荡序列时： 1.若缓冲序列 XD 比原始序列 X 的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，则称缓冲算子 D 为弱化算子。 2.若缓冲序列 XD 比原始序列 X 的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，则称缓冲算子 D 为强化算子。三、实用缓冲算子的构造定理 2.3.1 设原始数据序列 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) ，令缓冲序列 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.8）其中 1 ( ) [ ( ) ( 1) ( )] 1 x k d x k x k x n n k = + + + + − + ；k=1,2,……，n （7.9）则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为弱化算子，并称为平均弱化缓冲算子（AWBO）证明：直接利用 x k d k ( ) ,( 1,2, ) = 的定义，可知定理成立

180 冲算子（GAWBO）。定理 2.3.5 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统行为数据序列，各时点的权重向量为 1 2 ( , )     = n ，则 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.24）其中 1 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) , 1,2 , k k n k k n x k x k x n x k d k n       + + + + + + = = + + + （7.25）则当 X D 皆为弱化缓冲算子，并称 D 为加权平均弱化缓冲算子（WAWBO）。定理 2.3.6 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) ，各时点的权重向量为 1 2 ( , )     = n >0，令 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.26）其中 1 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ( 1) ( )] [ ( )] , 1,2 , k k n k k n k k n n i k x k d x k x k x n x i k n          + + + + + + + + + = = + = =  （7.27）则当 X D 为弱缓冲算子，并称 D 为加权几何平均弱化缓冲算子（WGAWBO）。定理 2.3.7 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统行为数据序列，令 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.28）其中 2 ( 1) ( ) ( ) , 1,2 , ( ) ( 1) ( ) n k x k x k d k n x k x k x n − + = = + + + + （7.29）则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称 D 为平均强化缓冲算子（ASBO）定理 2.3.8 设 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为非负的系统行为数据序列，令 XD x d x d x n d = ( (1) , (2) , , ( ) ) （7.30）其中 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , 1,2 , [ ( ) ( 1) ( )] [ ( )] n n k n k i k x k x k x k d k n x k x k x n x i − + − + = = = = +  （7.31）则当 X 为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D 为强化缓冲算子，并称 D 为几何平均强化缓冲算子（GASBO）。以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子，缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它各种模型建模。通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影响，往往会收到预期的效果

重庆交通大学：《地理数学方法》研究生课程教学资源（教材讲义）第七章 灰色系统理论及其应用

重庆交通大学：《地理数学方法》研究生课程教学资源（教材讲义）第七章灰色系统理论及其应用