第八章习题课 多元函数微分学
第八章 习题课 多元函数微分学
基本要求 1理解二元函数的概念,会求定义域。 2了解二元函数的极限和连续的概念。 3理解偏导数的概念,掌握偏导数及高阶偏 导数的求法。 4掌握多元复合函数的微分法。 5了解全微分形式的不变性。 6掌握隐函数的求导法
一 基本要求 1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏 导数的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法
7会求曲线的切线及法平面,曲面的切平面及 法线。 8了解方向导数的概念和计算公式。 9了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向 导数之间的关系。 10掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法 及最大(小)值的求法
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及 法线。 8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向 导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法 及最大（小）值的求法
二要点提示 注意1从一元函数推广 2多元函数与一元函数的区别 (一)函数的概念 点函数的定义: 设Ω是一个点集,如果对于每一点P∈g 变量z按照一定的法则总有确定的值和它 对应,则称z是点P的函数,记为 z=f(P)
二 要点提示 （一）函数的概念 1.点函数的定义： 设 是一个点集，如果对于每一点 变量 按照一定的法则总有确定的值和它 对应，则称 是点 的函数，记为 P z f P = ( ) z z P P 注意 1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别
当P∈ΩcR时, z=f(P)=f(x)为一元函数; 当P∈ΩcR2时, z=f(P)=f(x,y)为二元函数; 当P∈cR3时, z=f(P)=f(x1,x2x3)为三元函数; ●●● 当P∈ΩcR时, z=f(P)=f(x12x2…xn)为1元函数
• 当 时， 为一元函数； • 当 时， 为二元函数； • 当 时， 为三元函数； … … • 当 时， 为 元函数。 P R z f P f x = = ( ) ( ) 2 P R 1 2 3 z f P f x x x = = ( ) ( , , ) z f P f x y = = ( ) ( , ) n P R 3 P R 1 2 ( ) ( , , ) n z f P f x x x = = n
2.多元初等函数: 由多元多项式及基本初等函数经过有 限次的四则运算和复合步骤所构成,可 用一个式子所表示的函数,称为多元初 等函数。 一切多元初等函数在其定义区域内是连 续的
2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有 限次的四则运算和复合步骤所构成，可 用一个式子所表示的函数，称为多元初 等函数。 • 一切多元初等函数在其定义区域内是连 续的
(二)偏导数与全微分 1.偏导数 (1)定义:偏导数是函数的偏增量与自变 量增量之比的极限。 /n、△3=imf(x+△x,y)-f(x,y) az Ax→>0△x 0 △x f(x,y+△y)-f(x2y) Im △y->0 △ △y→>0 △
（二）偏导数与全微分 1．偏导数 （1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变 量增量之比的极限。 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y z x x x → → + − = = 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y y y z f x y y f x y z y y y → → + − = =
(2)计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数 的微分法问题,对一个变量求导,暂时将 其余变量看作常数。 2.全微分 微分公式:若z=f(x,y)的全微分存在,则 dx+dy
若 的全微分存在，则 z f x y = ( , ) z z dz dx dy x y = + （2）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数 的微分法问题，对一个变量求导，暂时将 其余变量看作常数。 2．全微分 微分公式：
(三)多元函数连续、偏导存在与可微之 间的关系 元函数:可导函数可微, 元函数:可导→连续, 多元函数:偏导数连续 →函数可微→函数的偏导数存在 →函数连续 多元函数连续函数的偏导数存在
（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之 间的关系 • 一元函数：可导 函数可微， 一元函数：可导 连续， • 多元函数：偏导数连续 函数可微 多元函数连续 函数的偏导数存在。 函数的偏导数存在 函数连续
(四)多元函数微分法 多元复合函数求导法 (1)链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变 量求导。依据函数的复合结构,可按照 “连线相乘,分线相加”的原则来进行
（四）多元函数微分法 1．多元复合函数求导法 （1）链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变 量求导。依据函数的复合结构，可按照 “连线相乘，分线相加”的原则来进行