问题1:设函数y=f(x)在点x=0可导,且f(0)=0,则一定有f(O)=0,对吗? 答:不一定例如f(x)=sinx,f(0)=0,而∫(0)=cosx=0=1,错误的原因是将 f(x)与[f(x)的含义混淆了前者表示f(x)在x点的导数,后者是函数值(常数)的导 数,必为0 问题2:设∫(x)在x可导,则f(x0)=lim f(x0)-f(x0-a) ,对吗? 答:对。可令h=-a,则 f(x)-/(x-a)=m-f(x)-/(x+h)=1mnf(x+h)-(x)= h h 问题3:f(x)在x可导与曲线y=f(x)在(x0,f(x)有切线是一回事吗? 答:不是一回事如果∫(x)在x可导,则曲线y=f(x)在(x,f(x)一定有切线,反 之,不然例如,曲线y=√x在(0,0)处有切线y轴,即x=0,但f(x)=√x在x=0处 不可导 x≥1 问题4:设函数f(x)={3 用下列方法求∫(x)正确吗? x2,x<1 解:当x21时,有f(x)=2x,当x<1时,f(x)=2xf(x)=,x21 2x.x< 答:不正确在分段点x=1处,由于不连续,所以∫(x)在x=1处不可导在分段函数的 分段处的导数,应该用单侧导数来考察,事实上 ∵≈fx)-八=33 2 =2im(x-1Xx+x+)=2 2x f()=(x)-/(y=Ai3s 不存在.∴f(x)在x=1处不可导 正确答案应是f(x)={2x,x<1 不存在,x=1
17 问题 1：设函数 y f x = ( ) 在点 x = 0 可导，且 f (0) 0 = ，则一定有 f '(0) 0 = ，对吗？ 答：不一定.例如 f x x ( ) sin = ， f (0) 0 = ，而 0 '(0) cos | 1 x f x = = = ，错误的原因是将 0 f x'( ) 与 ' 0 [ ( )] f x 的含义混淆了.前者表示 f x( ) 在 0 x 点的导数，后者是函数值(常数)的导 数，必为 0. 问题 2：设 f x( ) 在 0 x 可导，则 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim f x f x f x → − − = ，对吗？ 答：对。可令 h = −, 则 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim h h f x f x f x f x h f x h f x f x h h → → → − − − + + − = − = = 问题 3： f x( ) 在 0 x 可导与曲线 y f x = ( ) 在 0 0 ( , ( )) x f x 有切线是一回事吗？ 答：不是一回事.如果 f x( ) 在 0 x 可导，则曲线 y f x = ( ) 在 0 0 ( , ( )) x f x 一定有切线，反 之，不然.例如，曲线 3 y x = 在 (0,0) 处有切线 y 轴，即 x = 0 ，但 3 f x x ( ) = 在 x = 0 处 不可导. 问题 4：设函数 3 2 2 , 1 ( ) 3 , 1 x x f x x x = ，用下列方法求 f x'( ) 正确吗？ 解：当 x 1 时，有 2 f x x '( ) 2 = ，当 x 1 时， f x x '( ) 2 = . 2 2 , 1 '( ) 2 , 1 x x f x x x = 答：不正确.在分段点 x =1 处，由于不连续，所以 f x( ) 在 x =1 处不可导.在分段函数的 分段处的导数，应该用单侧导数来考察，事实上 3 2 ' 1 0 2 2 ( ) (1) 2 ( 1)( 1) 3 3 (1) lim 2 1 1 3 1 x x f x f x x x f x x x + → + − − − + + = = = = − − − ，而 ' 1 0 2 2 ( ) (1) 3 (1) lim 1 1 x x f x f f x x − → − − − = = − − 不存在. f x( ) 在 x =1 处不可导. 正确答案应是 2 2 , 1 '( ) 2 , 1 , 1 x x f x x x x = = 不存在
问题5:设f(x)= 0 求∫(0).下列做法是否正确? 0.x x0 解:当x≠0时,f(x)=2xsin--cos-,故∫(O)=f(x)=lim(2xsin--cos-) 不存在 答:不正确事实上,f(O)=m(x)-f0 x sIn =lim- 0,函数∫(x)在x处 可导,但导函数∫(x)当x→x时不一定存在极限但当f(x)满足了以下定理条件时,有 lim f(x)=f(xo) 定理:如果∫(x)在x处连续,在x的去心邻域内可导,且limf(x)存在,那么f(x) 在x0处可导,且有imf(x)=f(x0)(可用以后要学的微分中值定理证明) 注意:在本章中,对分段函数在分段点的导数,必须用定义来求 问题6:若f(x)和g(x)在x=x均不可导,f(x)·g(x)在x是否也不可导? 答:不一定例如∫()x/’(x)=x在x=0处均不可导,但f(x)g(x)=x显然 可导 问题7:若f(x)在x0处可导,g(x)在点x处不可导,f(x)·g(x)在点x处是否可导? 答:不一定例如f(x)=x,8()x .x≠ f(x)可导,而g(x)在x=0不 0,x=0 x2sin-x≠0 可导,但f(x)·g(x) x=0可导 又例∫(x)=x可导,g(x)=1在x=0处不可导,f(x)g(x)=x|在x=0不可导 e cost. d 问题8:设 J=eSdy问下列运算正确吗?
18 问题 5：设 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = ，求 f '(0).下列做法是否正确？ 解：当 x 0 时， 1 1 f x x '( ) 2 sin cos x x = − ，故 0 1 1 '(0) '( ) lim(2 sin cos ) x f f x x → x x = = − 不存在. 答：不正确.事实上， 2 0 0 1 sin ( ) (0) '(0) lim lim 0 x x x f x f x f → → x x − = = = ，函数 f x( ) 在 0 x 处 可导，但导函数 f x'( ) 当 0 x x → 时不一定存在极限.但当 f x( ) 满足了以下定理条件时，有 0 0 lim '( ) '( ) x x f x f x → = . 定理：如果 f x( ) 在 0 x 处连续，在 0 x 的去心邻域内可导，且 0 lim '( ) x x f x → 存在，那么 f x( ) 在 0 x 处可导，且有 0 0 lim '( ) '( ) x x f x f x → = .(可用以后要学的微分中值定理证明) 注意：在本章中，对分段函数在分段点的导数，必须用定义来求. 问题 6：若 f x( ) 和 g x( ) 在 0 x x = 均不可导， f x g x ( ) ( ) 在 0 x 是否也不可导？ 答：不一定.例如 ( ) | | x f x x = ，g x x ( ) | | = 在 x = 0 处均不可导，但 f x g x x ( ) ( ) = 显然 可导. 问题 7：若 f x( ) 在 0 x 处可导， g x( ) 在点 0 x 处不可导， f x g x ( ) ( ) 在点 0 x 处是否可导？ 答：不一定.例如 f x x ( ) = ， 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x g x x x = = ， f x( ) 可导，而 g x( ) 在 x = 0 不 可导，但 2 1 sin , 0 ( ) ( ) 0, 0 x x f x g x x x = = 在 x = 0 可导. 又例 f x x ( ) = 可导， | | ( ) x g x x = 在 x = 0 处不可导， f x g x x ( ) ( ) | | = 在 x = 0 不可导. 问题 8：设 cos , sin . t t x e t y e t = = 求 2 2 . d y dx 问下列运算正确吗？
sin t+ cost er cost coSt-sin t 解 dy d 2 dxl dx coSt-sin t 答:不正确.因为一阶导数的表达式是变量t的函数故对变量x求导时,可以将t作为复 合函数的中间变量.正确的解法为 dy d(dy d dy dt dx2 dxdx( dx dx d( sint+cost,dx dt( cost-sint)dt (cost-sint) 问题9:函数f(x)的导数与微分的关系?有什么联系?有什么区别? 答:对于一元函数y=f(x)来说,可导与微分是等价的,且d=∫(x)x.但导数与微 分是两个完全不同的概念,导数是函数对自变量的变化率,只依赖于自变量x,而微分是函 数增量的线性主部,不仅依赖于x,还依赖于自变量的增量.从几何上看,导数∫(x)是曲 线y=f(x)上一点的切线斜率;而微分表示曲线在该点处切线上点的纵坐标的增量
19 解 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 sin sin cos , cos sin cos sin cos 2 . cos sin cos sin t t dy t t e t dx t t e t d y d dy t t dx dx dx t t t t + = = − + = = = − − 答：不正确. 因为一阶导数的表达式是变量 t 的函数,故对变量 x 求导时,可以将 t 作为复 合函数的中间变量. 正确的解法为 ( ) 2 2 3 sin cos 2 / . cos sin cos sin d y d dy d dy dt dx dx dx dt dx dx d t t dx dt t t dt t t = = + = = − − 问题 9: 函数 f x( ) 的导数与微分的关系？有什么联系？有什么区别？ 答：对于一元函数 y f x = ( ) 来说，可导与微分是等价的，且 dy f x dx = ( ) .但导数与微 分是两个完全不同的概念，导数是函数对自变量的变化率，只依赖于自变量 x ，而微分是函 数增量的线性主部，不仅依赖于 x ，还依赖于自变量的增量.从几何上看，导数 f x'( ) 是曲 线 y f x = ( ) 上一点的切线斜率；而微分表示曲线在该点处切线上点的纵坐标的增量